数学人教A版必修4导学案1.4.2正弦函数余弦函数的性质（第1课时）

第1课时周期函数1．了解周期函数的定义，知道周期函数的周期和最小正周期的含义．2．知道正弦函数和余弦函数都是周期函数．3．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的周期．1．周期函数(1)定义：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个____常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝__，那么函数y＝f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的____．(2)规定：对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个____的正数，就称它为最小正周期．在没有特殊说明的情况下，三角函数的周期均是指它的__________．若函数y＝f(x)是周期函数，T是一个周期，则有：①定义域中含有无限个实数；②对定义域内任意x，均有f(x＋kT)＝f(x)，其中k∈Z；③f(x)的图象每隔一个周期T重复出现一次．【做一做1】函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝eq\r(2)，则f(22)＝__________.2．两种特殊的周期函数(1)正弦函数y＝sinx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是____．(2)余弦函数y＝cosx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是____．(3)正弦函数和余弦函数的周期性，实质是由终边相同的角所具有的周期性所决定的．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，y＝Acos(ωx＋φ)＋b(ω＞0)的周期T＝eq\f(2π,ω).【做一做2】函数y＝sinx，y＝cosx的周期分别是T1，T2，则taneq\f(T1＋T2,16)＝__________.答案：1．(1)非零f(x)周期(2)最小最小正周期【做一做1】eq\r(2)f(22)＝f(12＋10)＝f(12)＝f(10＋2)＝f(2)＝eq\r(2).2．(1)2π(2)2π【做一做2】1T1＝T2＝2π，则taneq\f(T1＋T2,16)＝taneq\f(4π,16)＝taneq\f(π,4)＝1.对周期函数的概念的理解剖析：可以从以下几点来理解周期函数：(1)周期函数定义中的“f(x＋T)＝f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)不能说T是y＝f(x)的周期．例如：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,2)))＝sineq\f(π,4)，但是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,2)))≠sineq\f(π,3)，这就是说，对定义域内的每一个值x，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝sinx不恒成立，因此eq\f(π,2)不是y＝sinx的周期．(2)并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期．(3)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复出现一次．题型一证明周期函数【例1】已知定义在R上的函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，求证：函数y＝f(x)是周期函数．分析：只需找到一个非零实数T，满足f(x＋T)＝f(x)即可．反思：通常用周期函数的定义讨论非三角函数的周期问题，即只需找到一个非零实数T，对定义域内任意x总有f(x＋T)＝f(x)成立．题型二求三角函数的周期【例2】求下列函数的周期：(1)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(π,3)))(x∈R)；(2)y＝|sinx|(x∈R)．分析：解答本题(1)可结合周期函数的定义求解；(2)可通过画函数图象求周期．反思：求三角函数的周期，通常有三种方法．(1)定义法．根据函数周期的定义求函数的周期．如本例(1)．(2)公式法．一般地，对于y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数且A≠0，ω≠0)形式的函数，其周期为T，则T＝eq\f(2π,|ω|).本例(1)可用公式求解如下：T＝eq\f(2π,\f(1,4))＝8π.(3)图象法，即大致画出函数的图象观察．如本例(2)．其中公式法是最常用而且简单的方法．题型三函数的周期的应用【例3】设f(x)是以1为一个周期的函数，且当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))的值．分析：可利用feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－1×4))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))求解．反思：(1)解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．(2)如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义域可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．题型四易错辨析易错点不清楚f(x＋T)表达的意义【例4】利用定义求f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的最小正周期．错解：∵f(x＋2π)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2(x＋2π)－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)＋4π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝f(x)，∴T＝2π是f(x)的最小正周期．错因分析：错解中求的不是最小正周期．对于y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，其周期为eq\f(2π,ω).答案：【例1】证明：令x－2＝t，则x＝t＋2，于是由f(x＋2)＝f(x－2)，得f(t)＝f[(t＋2)＋2]＝f(t＋4)．∴f(t)＝f(t＋4)．∴f(x＋4)＝f(x)．∴函数y＝f(x)是周期函数，4是一个周期．【例2】解：(1)∵f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(π,3)))，∴f(x＋8π)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋8π＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(π,3)＋2π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(π,3)))＝f(x)．∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋\f(π,3)))的周期为8π.(2)函数y＝|sinx|的图象如图所示．由图象知T＝π.【例3】解：∵f(x)是以1为一个周期的函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－4))，从而feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).又当x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋1，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝0.【例4】正解：令z＝2x－eq\f(π,6)，∵x∈R，∴z∈R.又∵y＝sinz的周期是2π，z＋2π＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋2π＝2(x＋π)－eq\f(π,6)，∴f(x＋π)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋π－\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)＋2π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＝f(x)．∴T＝π.1．函数y＝|cosx|的最小正周期是()A. B. C．π D．2π2．函数y＝的最小正周期为()A. B. C．2π D．5π3．若函数f(x)＝sinωx(ω＞0)的周期为π，则ω＝__________.4．已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)＝1，则f(5)＝_______