2.方程与不等式

中国教育培训领军品牌§2方程与不等式教学目标教学目标板块教学目标A级目标B级目标C级目标方程知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型能够根据具体问题中的数量关系，列出方程能运用方程解决有关问题方程的解了解方程的解的概念会用观察、画图等手段估计方程的解一元一次方程了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数（无需讨论）的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题二元一次方程（组）了解二元一次方程（组）的有关概念能根据实际问题列出二元一次方程组二元一次方程组的解知道代入消元法和加减消元法的意义掌握代入消元法和加减消元法；能选用恰当的方法解二元一次方程组会运用二元一次方程组解决实际问题分式方程及其应用了解分式方程的有关概念能将分式方程转化为整式方程求解会运用分式方程解决实际问题不等式(组)能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义．能根据具体问题中的数量关系列出不等式(组)．不等式的性质理解不等式的基本性质．会利用不等式的性质比较两个实数的大小．解一元一次不等式(组)了解一元一次不等式(组)的解的意义，会在数轴上表示(确定)其解集．会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会根据条件求整数解．能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式解决简单问题．一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题

学习内容学习内容知识梳理知识梳理一、一元一次方程1、一元一次方程的认识及解法板块一等式的概念和性质 1．等式的概念 用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式． 在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则． 2．等式的类型 （1）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式． （2）条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程需要才成立． （3）矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如，． 注意：等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号． 3．等式的性质 等式的性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则； 等式的性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则，． 注意： （1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边． （2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同． （3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：①等式具有对称性，即：如果，那么．②等式具有传递性，即：如果，，那么．板块二方程的相关概念 1．方程 含有未知数的等式叫作方程． 注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母．二者缺一不可． 2．方程的次和元 方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元． 3．方程的已知数和未知数 已知数：一般是具体的数值，如中（的系数是1，是已知数．但可以不说）．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有、、、、等表示． 未知数：是指要求的数，未知数通常用、、等字母表示．如：关于、的方程中，、、是已知数，、是未知数． 4．方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 5．解方程 求得方程的解的过程． 注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程． 6．方程解的检验 要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是．板块三一元一次方程的定义 1．一元一次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数． 2．一元一次方程的形式 标准形式：（其中，，是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形式． 最简形式：方程（，，为已知数）叫一元一次方程的最简形式． 注意： （1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证．如方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误． （2）方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成．板块四一元一次方程的解法 1．解一元一次方程的一般步骤 （1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数． 注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号． （2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． 注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号． （3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边． 注意：①移项要变号；②不要丢项． （4）合并同类项：把方程化成的形式． 注意：字母和其指数不变． （5）系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解． 注意：不要把分子、分母搞颠倒． 2．解一元一次方程常用的方法技巧 解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等．2、含字母系数的一次方程板块一含字母系数的一次方程 1．含字母系数的一次方程的概念 当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程． 2．含字母系数的一次方程的解法 含字母系数的一元一次方程总可以化为的形式，方程的解由、的取值范围确定． (1)当时，，原方程有唯一解； (2)当且时，解是任意数，原方程有无数解； (3)当且时，原方程无解．板块二同解方程及方程的同解原理 1．方程的解 使方程左边和右边相等的未知数的值称为方程的解． 注意：方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用： （1）求解：通过解方程，求出方程的解进而解决问题． （2）代解：将方程的解代入原方程进行解题． 2．同解方程 如果方程①的解都是方程②的解，并且方程②的解都是方程①的解，那么这两个方程是同解方程． 3．方程的同解原理 方程同解原理1：方程两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程． 方程同解原理2：方程两边同时乘以或除以同一个不为零的数，所得的方程与原方程是同解方程． 方程同解原理3：方程与或是同解方程．3、含绝对值的一次方程含绝对值的一次方程的解法 （1）形如型的绝对值方程的解法： ①当时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； ②当时，原方程变为，即，解得； ③当时，原方程变为或，解得或． （2）形如型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程和； ③分别解方程和； ④将求得的解代入检验，舍去不合条件的解． （3）形如型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程或； ②分别解方程和． （4）形如型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的几何意义可知； ②当时，此时方程无解；当时，此时方程的解为；当时，分两 种情况：①当时，原方程的解为；②当时，原方程的解为． （5）形如型的绝对值方程的解法： ①找绝对值零点：令，得，令得； ②零点分段讨论：不妨设，将数轴分为三个区段，即①；②；③； ③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解． （6）形如型的绝对值方程的解法： 解法一：由内而外去绝对值符号： 按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解． 解法二：由外而内去绝对值符号： ①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程和 ； ③解②中的两个绝对值方程．4、一元一次方程的应用应用题是中学数学中的一类重要问题，一般通过对问题中的数量关系进行分析，适当的设未知数，找出等量关系列出方程加以解决．很多同学见到应用题就发怵，觉得题目长，文字多，关系复杂，难以把握．其实应用题关键在于读题，弄懂题意．一些常见的问题，比如行程问题、工程问题、利率问题、浓度问题等等，其中的基本关系一定要深刻理解．板块一设未知数的三种方法 1．直接设未知数 直接设未知数指题目问什么就设什么，它多适用于要求的未知数只有一个的情况． 2．间接设未知数 设间接未知数，是指所设的不是所求的，而解得的间接未知数对确定所求的量起中介作用． 3．引入辅助未知数 设辅助未知数，就是为了使题目中的数量关系更加明确，可以引进辅助未知数帮助建立方程．辅助未知数往往不需要求出，可以在解题时消去． 注意：解应用题的方法多种多样，除此之外，还有运用逆推法解应用题、运用整体思想解应用题、运用图形图表法解应用题等等，单纯的背这些方法是没有意义的，关键还在于提高理解能力，大量练习，从而学会快速读懂题意，综合运用各种方法去求解问题．板块二列方程解应用题的步骤 1．审：分析好问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系，从中找出能够表示实际问题全部含义的相等关系．要注意题中的相等关系有些是明显的，有些是不明显的，需要结合生活实际来发现； 2．设：设未知数，一般求什么，就设什么为，若有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母表示出来．有时直接设不容易设得话，可采用间接设； 3．找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系； 4．列：根据这个相等关系列出方程； 5．解：解所列出的方程，求出未知数的值； 6．验：检验所求得的解是否符合题意； 7．答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）．注意：（1）审题是很重要的，应反复阅读题目，用笔画出关键的语句，再找出数量之间的关系；（2）一般求解的几个未知量可直接设几个未知数，也可多设或少设．除直接设未知数外，也可以间接设未知数；（3）所设未知数的单位可以与题目中要求的不同，但所列各方程的同一未知数的单位要一致，每个方程两边单位要一致，答与问的单位要一致；（4）检验包含两方面的含义：首先要检验未知数的值是不是原方程（组）的解；其二是检验未知数的值是否符合实际意义．二、二元一次方程（组）1、二（多）元一次方程组的认识及解法板块一二元一次方程1．二元一次方程的概念含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程．判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：①方程两边的代数式都是整式——整式方程；②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”．2．二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式为：（，）3．二元一次方程的解使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．一般情况下，一个二元一次方程有无数个解．板块二二元一次方程组1．二元一次方程组的概念由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组．注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）．如也是二元一次方程组．2．二元一次方程组的解二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数．3．二元一次方程组的解法（1）代入消元法代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法．代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一．“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法．①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如，用另一个未知数如的代数式表示出来，即写成的形式；②代入另一个方程中，消去，得到一个关于的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出的值；④回代求解：把求得的的值代入中求出的值，从而得出方程组的解．⑤把这个方程组的解写成的形式．（2）加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一．加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法．用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值；⑤把这个方程组的解写成的形式．加减消元方法的选择：①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解．2、含字母系数的一次方程组板块一二元一次方程及二元一次方程的解1．二元一次方程的概念含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程．判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：①方程两边的代数式都是整式——整式方程；②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为1——“一次”．2．二元一次方程的一般形式二元一次方程的一般形式为：（，）3．二元一次方程的解使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．一般情况下，一个二元一次方程有无数个解．板块二二元一次方程组及二元一次方程组的解1．二元一次方程组的概念由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组．注意：（1）二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，其中有的方程可以只有一元（不过一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）．如也是二元一次方程组．（2）定义中“两个”的含义：二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数．2．二元一次方程组解的情况（1）在、的方程组中，、、、、、均为已知数，（与、与都至少有一个不等于），则有：由得：由得：当时，方程组有唯一一组解；当，且，时，方程组无解；当，且，时，方程组有无穷多组解；（2）二元一次方程组的解的情况有以下三种：①当时，方程组有无数多解．（∵两个方程等效）②当时，方程组无解．（∵两个方程是矛盾的）③当（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：（这个解可用加减消元法求得）注意：（1）方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行．（2）求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论．三、不定方程板块一不定方程的概念我们曾经学过一元一次方程，例如，解这个方程可得．如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如就是一个二元一次方程．这个方程有无数多组解．比如，，等．这类未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）就叫做不定方程（或方程组）．初中范围内通常只讨论这类方程（组）的正整数解或整数解．板块二不定方程整数解的判定不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解．如果方程的两端对同一个模（常数）不同余,显然,这个方程必无整数解．而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解．板块三不定方程整数解的求法不定方程没有统一的解法，常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法．对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路．定理1：若二元一次不定方程，整数和的最大公约数不能整除，则方程没有整数解．定理2：若整数,互质，则方程有整数解，同时方程也有整数解．若是方程的一个整数解，则，是方程的一个整数解．定理3：整系数方程有整数解．定理4：如果是满足整系数方程的一组整数解，则（其中为任意整数）也是满足上式的整数解．这表明，满足方程的整数解有无穷组，并且在时，可选择为正（负）数，此时为相应的为负（正）数．这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明．由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解．例如，方程的一组解为，则此方程的所有整数解可表示为：．注意：定理2和定理3都是“裴蜀定理”的内容．四、分式方程1、分式方程的有关概念及其解法1．分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2．解分式方程的一般步骤（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．解分式方程的思想：将“分式方程”转化为“整式方程”。3．用换元法解分式方程的一般步骤设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；检验做答 注意：换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。2、利用分式方程解应用题1．列分式方程解应用题的一般步骤①审清题意，分清已知量和未知量；②设未知数；③根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程；④解方程；⑤并验根；⑥写出答案。2．分式方程应用题分类： ①行程类相遇问题追及问题流水问题②工程类③营销类利润与折扣问题盈亏问题④货物运输类⑤浓度3．行程问题 （1）路程＝速度×时间；

（2）在航行问题中，其中数量关系是

顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度

（3）航空问题类似于航行问题4．工程问题（1）工作量＝工作效率×工作时间，

（2）完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1五、不等式1、不等式及其性质板块一不等式的概念：不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：等都是不等式．常见的不等号有5种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．注意：不等式３≥２成立；而不等式３≥３也成立，因为３＝３成立，所以不等式３≥３成立．不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫做不等式的解．例如：，，，，都是不等式的解，当然它的解还有许多．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知数的集合，叫做不等式的解集．不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．在数轴上表示不等式的解集(示意图)：不等式的解集在数轴上表示的示意图板块二不等式基本性质：基本性质1：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或)基本性质3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或)易错点：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．在计算的时候符号方向容易忘记改变．另外，不等式还具有互逆性和传递性．不等式的互逆性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b．不等式的传递性：如果a>b，b>c，那么a>c．注意：⑴在不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，要改变不等号的方向．⑵在不等式两边不能乘以０，因为乘以０后不等式将变为等式，以不等式３＞２为例，在不等式３＞２两边都乘同一个数a时，有下面三种情形：①如果a>0，那么3a>2a；②如果a=0时，那么3a=2a；③如果a<0时，那么3a<2a．板块三不等式的性质与等式性质的对比等式的性质不等式的性质两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变两边都乘(或除以)同一个数(除数不能是０)，所得结果，仍是等式．两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变主要区别：根据等式性质，方程两边可以乘以０，但不能除以０，而不等式性质中，不等式两边不能乘以０，也不能除以０．板块四一元一次不等式一元一次不等式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为或的形式，其中是未知数，是已知数，并且，这样的不等式叫一元一次不等式．或()叫做一元一次不等式的标准形式．解一元一次不等式：

去分母→去括号→移项→合并同类项(化成或形式)→系数化一(化成或的形式)2、解一元一次不等式组一元一次不等式组的有关概念：一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．例如是一元一次不等式组，定义中的“几个”并没有确定个数，但必须是两个或两个以上；另外，这里的几个一元一次不等式组必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次方程组了，例如，不等式组中的每一个不等式虽然都是一元一次不等式，但在这个不等式组中，未知数共有两个，所以这个不等式组不是一元一次不等式组．一元一次不等式组的解集：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解(解集为空集)．解一元一次不等式组的步骤：⑴求出这个不等式组中各个不等式的解集；⑵利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：(表中)不等式图示解集(同大取大数)(同小取小数)(大小交叉中间找)无解(大大小小没有解)六、一元二次方程1、一元二次方程的认识及解法板块一一元二次方程的定义一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：，为二次项系数，为一次项系数，为常数项．⑴要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是．⑵任何一个关于的一元二次方程经过整理都可以化为一般式．要特别注意对于关于的方程，当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程．⑶关于的一元二次方程式的项与各项的系数．为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项．板块二一元二次方程的解法１．一元二次方程的解法：⑴直接开平方法：适用于解形如的一元二次方程．⑵配方法：解形如的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①二次项系数化1．②常数项右移．③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）．④化成的形式．⑤若，选用直接开平方法得出方程的解．⑶公式法：设一元二次方程为，其根的判别式为：，是方程的两根，则：⑴方程有两个不相等的实数根．⑵方程有两个相等的实数根．=3\*GB2⑶方程没有实数根．若、、为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：①把方程化为一般形式②确定、、的值．③计算的值．④若，则代入公式求方程的根．⑤若，则方程无解．⑷因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．2．一元二次方程解法的灵活运用直接开方法，配方法，公式法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．=1\*GB2⑴因式分解法：适用于右边为（或可化为），而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．=2\*GB2⑵公式法：=3\*GB2⑶直接开平方法：用于缺少一次项以及形如或或的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．=4\*GB2⑷配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式（、、为常数，）转化为它的简单形式，这种转化方法就是配方，具体方法为：．所以方程（、、为常数，）就转化为的形式，即，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．板块三可化为一元二次方程的特殊方程解方程的基本思想：化分式方程为整式方程化高次方程为一次或二次方程化多元为一元化无理方程为有理方程总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程．解方程的基本方法：解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），降次（换元降次、因式分解降次、辅助式降次等）等方法．解分式方程：一般采用去分母、换元法、重组法、两边夹等方法．解无理方程：一般采用两边平方、根式的定义、性质、换元、构造、三角函数等方法．2、一元二次方程根的判别式板块一一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到，显然只有当时，才能直接开平方得：．也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．板块二判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．若，，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时是的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，；有两个相等的实数根时，；没有实数根时，．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点．板块三一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：(1)运用判别式，判定方程实数根的个数；(2)利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；(3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题；(4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．3、一元二次方程根与系数的关系（选讲）板块一韦达定理如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．板块二韦达定理的逆定理以两个数，为根的一元二次方程（二次项系数为1）是．一般地，如果有两个数，满足，，那么，必定是的两个根．板块三韦达定理与根的符号关系在的条件下，我们有如下结论：⑴当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：

若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地：①，②且，③且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．⑵若，则方程必有实数根．⑶若，方程不一定有实数根．⑷若，则必有一根．⑸若，则必有一根．板块四韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．4、一元二次方程的公共根与整数根板块一公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．板块二整数根问题对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴为完全平方数；⑵或，其中为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)板块三方程根的取值范围问题(1)先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．(2)利用二次函数的相关性质．例题讲解例题讲解板块一：一元一次方程考点一：一元一次方程的识别例1关于的方程是一元一次方程．则m，n应满足的条件为：m，n。思路分析：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程。解：，点评：此题主要考查了一元一次方程的定义，要注意一次项系数不等于0这个要求．对应训练1．已知(m2－1)x2－(m－1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程，它的解为n．求m，n的值。1．m=-1,n=-4考点二：一元一次方程的解法例2方程的解的相反数是（）A．2B．－2C．3D．－3思路分析：解一元一次方程要注意步骤：去分母去括号移项合并同类项系数化1。解：A点评：对于移项，要按等式的性质进行理解．对应训练2．已知方程的解为，则关于x的方程的解为（）．A．1 B．-1 C．-5 D．52．B板块二：二元一次方程组考点一：二元一次方程组的解法例1解方程组：．思路分析：把方程组整理成一般形式，然后利用代入消元法其求即可．解：方程组可化为，

由②得，x=5y-3③，

③代入①得，5（5y-3）-11y=-1，

解得y=1，

把y=1代入③得，x=5-3=2，

所以，原方程组的解是．点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．对应训练1．（2013•湘西州）解方程组：．1．解：，

由①得：x=1-2y

③，

把③代入②得：y=-1，

把y=-1代入③得：x=3，

则原方程组的解为：．考点二：一（二）元一次方程的应用例2（2013•齐齐哈尔）假期到了，17名女教师去外地培训，住宿时有2人间和3人间可供租住，每个房间都要住满，她们有几种租住方案（）A．5种 B．4种 C．3种 D．2种解：设住3人间的需要有x间，住2人间的需要有y间，3x+2y=17，

因为，2y是偶数，17是奇数，所以，3x只能是奇数，即x必须是奇数，

当x=1时，y=7，

当x=3时，y=4，

当x=5时，y=1，

综合以上得知，第一种是：1间住3人的，7间住2人的，

第二种是：3间住3人的，4间住2人的，

第三种是：5间住3人的，1间住2人的，

答：有3种不同的安排．

故选：C．点评：此题主要考查了二元一次方程的应用，解答此题的关键是，根据题意，设出未知数，列出不定方程，再根据不定方程的未知数的特点解答即可．例3（2013•张家界）为增强市民的节水意识，某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨，超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨．该市小明家5月份用水12吨，交水费20元．请问：该市规定的每户月用水标准量是多少吨？思路分析：设该市规定的每户每月标准用水量为x吨，根据小明家所交的电费判断出x的范围，然后可得出方程，解出即可．解：设该市规定的每户每月标准用水量为x吨，

∵12×1.5=18＜20，

∴x＜12，

从而可得方程：1.5x+2.5（12-x）=20，

解得：x=10．

答：该市规定的每户每月标准用水量为10吨．点评：本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出x的范围，根据等量关系得出方程．对应训练2．（2013•黄石）四川雅安地震期间，为了紧急安置60名地震灾民，需要搭建可容纳6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这60名灾民，则不同的搭建方案有（）A．1种 B．11种 C．6种 D．9种2．C3．（2013•永州）中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：

一．以个人每月工资收入额减去3500纳税级数个人每月应纳税所得额纳税税率1不超过1500元的部分3%2超过1500元至4500元的部分10%3超过4500元至9000元的部分20%4超过9000元至35000元的部分25%5超过35000元至55000元的部分30%6超过55000元至80000元的部分35%7超过80000元的部分45%（1）若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4000元和6000元，请分别求出甲、乙两人的每月应缴纳的个人所得税；

（2）若丙每月缴纳的个人所得税为95元，则丙每月的工资收入额应为多少？3．解：（1）（4000-3500）×3%=500×3%=15（元），

1500×3%+（6000-3500-1500）×10%=45+1000×10%=45+100=145（元）．

答：甲每月应缴纳的个人所得税为15元；乙每月应缴纳的个人所得税145元．

（2）设丙每月的工资收入额应为x元，则

1500×3%+（x-3500-1500）×10%=95，

解得x=5500．

答：丙每月的工资收入额应为5500元．考点三：一元一次方程组的应用例4（2013•宜宾）2013年4月20日，我省芦山县发生7.0级强烈地震，造成大量的房屋损毁，急需大量帐篷．某企业接到任务，须在规定时间内生产一批帐篷．如果按原来的生产速度，每天生产120顶帐篷，那么在规定时间内只能完成任务的90%．为按时完成任务，该企业所有人员都支援到生产第一线，这样，每天能生产160顶帐篷，刚好提前一天完成任务．问规定时间是多少天？生产任务是多少顶帐篷？思路分析：设规定时间为x天，生产任务是y顶帐篷，根据不提速在规定时间内只能完成任务的90%，即提速后刚好提前一天完成任务，可得出方程组，解出即可．解：设规定时间为x天，生产任务是y顶帐篷，

由题意得，，解得：．

答：规定时间是6天，生产任务是800顶帐篷．点评：此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程再求解，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．例5（2013•嘉兴）某镇水库的可用水量为12000立方米，假设年降水量不变，能维持该镇16万人20年的用水量．实施城市化建设，新迁入4万人后，水库只够维持居民15年的用水量．

（1）问：年降水量为多少万立方米？每人年平均用水量多少立方米？

（2）政府号召节约用水，希望将水库的保用年限提高到25年，则该镇居民人均每年需节约多少立方米才能实现目标？思路分析：（1）设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，根据储水量+降水量=总用水量建立方程求出其解就可以了；

（2）设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，同样由储水量+25年降水量=25年20万人的用水量为等量关系建立方程求出其解即可．解：（1）设年降水量为x万立方米，每人每年平均用水量为y立方米，由他提议，得

，

解得：。

答：年降水量为200万立方米，每人年平均用水量为50立方米．

（2）设该城镇居民年平均用水量为z立方米才能实现目标，由题意，得

12000+25×200=20×25z，

解得：z=34

则50-34=16（立方米）．

答：该城镇居民人均每年需要节约16立方米的水才能实现目标．点评：本题是一道生活实际问题，考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据储水量+降水量=总用水量建立方程是关键．对应训练4．（2013•苏州）苏州某旅行社组织甲乙两个旅游团分别到西安、北京旅行，已知这两旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团个有多少人？4．解：设甲、乙两个旅游团个有x人、y人，由题意得：

，解得。

答：甲、乙两个旅游团个有35人、20人．5．（2013•长沙）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米的平均造价多0.5亿元．

（1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？

（2）除1、2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？5．解：（1）设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x亿元，y亿元，

由题意得出：，

解得：，

答：1号线，2号线每千米的平均造价分别是6亿元和5.5亿元；

（2）由（1）得出：

91.8×6×1.2=660.96（亿元），

答：还需投资660.96亿元．板块三：一元二次方程考点一：一元二次方程的解例1（2013•牡丹江）若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013-a-b的值是（）A．2018 B．2008 C．2014 D．2012思路分析：将x=1代入到ax2+bx+5=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可．解：∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根，

∴a•12+b•1+5=0，

∴a+b=-5，

∴2013-a-b=2013-（a+b）=2013-（-5）=2018．

故选A．点评：此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式a+b的值．对应训练1．（2013•黔西南州）已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是．1．1考点二：一元二次方程的解法例2（2013•宁夏）一元二次方程x（x-2）=2-x的根是（）A．-1 B．2 C．1和2 D．-1和2思路分析：先移项得到x（x-2）+（x-2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．解：x（x-2）+（x-2）=0，

∴（x-2）（x+1）=0，

∴x-2=0或x+1=0，

∴x1=2，x2=-1．

故选D．点评：本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．例3（2013•佛山）用配方法解方程x2-2x-2=0思路分析：首先把常数-2移到等号右边，再两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方公式，再开方，解方程即可．解：x2-2x-2=0，

移项得：x2-2x=2，

配方得：x2-2x+1=2+1，

（x-1）2=3，

两边直接开平方得：x-1=±，

则x1=+1，x2=-+1．点评：此题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．例4（2013•兰州）解方程：x2-3x-1=0．思路分析：利于求根公式x=来解方程．解：关于x的方程x2-3x-1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=-3，常数项c=-1，则

x═=，

解得，x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程--公式法．利于公式x=来解方程时，需要弄清楚公式中的字母a、b、c所表示的含义．对应训练2．（2013•陕西）一元二次方程x2-3x=0的根是．2．x1=0，x2=33．（2013•白银）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a2-3a+b，如：3★5=32-3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是．3．-1或44．（2013•山西）解方程：（2x-1）2=x（3x+2）-7．4．解：（2x-1）2=x（3x+2）-7，

4x2-4x+1=3x2+2x-7，

x2-6x=-8，

（x-3）2=1，

x-3=±1，

x1=2，x2=4．考点三：根的判别式的运用例5（2013•乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．思路分析：（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．解答：（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，

当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；

当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，

所以k的值为5或4．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．对应训练5．（2013•泰州）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（）A．x2-3x+1=0 B．x2+1=0 C．x2-2x+1=0 D．x2+2x+3=05．A6．（2013•乌鲁木齐）若关于x的方程式x2-x+a=0有实根，则a的值可以是（）A．2 B．1 C．0.5 D．0.256．D7．（2013•六盘水）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜-2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠17．D8．（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．8．解：（1）根据题意得：△=4-4（2k-4）=20-8k＞0，

解得：k＜；

（2）由k为整数，得到k=1或2，

利用求根公式表示出方程的解为x=-1±，

∵方程的解为整数，

∴5-2k为完全平方数，

则k的值为2．考点四：一元二次方程的应用例6（2013•连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？

（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．”他的说法对吗？请说明理由．思路分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40-x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；

（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40-m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确．解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40-x）cm，由题意，得

（）2+（）2=58，

解得：x1=12，x2=28，

当x=12时，较长的为40-12=28cm，

当x=28时，较长的为40-28=12＜28（舍去）

∴较短的这段为12cm，较长的这段就为28cm；

（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40-m）cm，由题意，得

（）2+（）2=48，

变形为：m2-40m+416=0，

∵△=（-40）2-4×416=-64＜0，

∴原方程无解，

∴小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．点评：本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．对应训练9．（2013•重庆）随着铁路客运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？

（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程，在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）9．解：（1）设甲队单独完成需要x天，则乙队单独完成需要x-5天，

由题意得，x（x-5）=6（x+x-5），

解得x1=15，x2=2（不合题意，舍去），

则x-5=10．

答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；

（2）设甲队施工y个月，则乙队施工y个月，

由题意得，100y+（100+50）≤1500，

解不等式得，y≤8.57，

∵施工时间按月取整数，

∴y≤8，

答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．板块四：分式方程考点一：分式方程的解例1（2013•黑龙江）已知关于x的分式方程=1的解是非正数，则a的取值范围是（）A．a≤-1 B．a≤-1且a≠-2 C．a≤1且a≠-2 D．a≤1思路分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非正数”建立不等式求a的取值范围．解：去分母，得a+2=x+1，解得，x=a+1，

∵x≤0且x+1≠0，∴a+1≤0且a+1≠-1，∴a≤-1且a≠-2，∴a≤-1且a≠-2．

故选B．点评：本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，这也是本题最容易出错的地方．对应训练1．（2013•贵港）关于x的分式方程=-1的解是负数，则m的取值范围是（）A．m＞-1 B．m＞-1且m≠0 C．m≥-1 D．m≥-1且m≠01．B2．（2013•绥化）若关于x的方程+1无解，则a的值是．2．2考点二：解分式方程例2（2013•资阳）解方程：．思路分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：x+2（x-2）=x+2，

去括号得：x+2x-4=x+2，

解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．对应训练3．（2013•泰州）解方程：．3．解：原方程即：，

方程两边同时乘以x（x-2）得：2（x+1）（x-2）-x（x+2）=x2-2，

化简得：-4x=2，

解得：x=-，

把x=-代入x（x-2）=≠0，

故方程的解是：x=-．考点三：由实际问题抽象出分式方程例3（2013•深圳）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（）A． B．C． D．思路分析：首先表示出爸爸和小朱的速度，再根据题意可得等量关系：小朱走1440米的时间=爸爸走1440米的时间-10分钟，根据等量关系，表示出爸爸和小朱的时间，根据时间关系列出方程即可．解：设小朱速度是x米/分，则爸爸的速度是（x+100）米/分，由题意得：

，

即：，

故选：B．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，表示出爸爸和小朱的时间各走1440米所用时间，再由时间关系找出相等关系，列出方程．对应训练4．（2013•锦州）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等，如果设第一次捐款人数是x人，那么x满足的方程是（）A． B．C． D．4．B考点四：分式方程的应用例4（2013•湘西州）吉首城区某中学组织学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道”骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的速度．

思路分析：首先设骑自行车学生的速度是x千米/时，则汽车速度是2x千米/时，由题意可得等量关系；骑自行车学生行驶20千米所用时间-汽车行驶20千米所用时间=，根据等量关系，列出方程即可．解：设骑自行车学生的速度是x千米/时，由题意得：

，

解得：x=20，

经检验：x=20是原分式方程的解，

答：骑自行车学生的速度是20千米/时．点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．对应训练5．（2013•三明）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．

（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？

（2）老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价-进价）5．解：（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，由题意，得

，

解得x=90，

经检验x=90是分式方程的解，符合题意．

答：第一批T恤衫每件的进价是90元；

（2）设剩余的T恤衫每件售价y元．

由（1）知，第二批购进=50件．

由题意，得120×50×+y×50×-4950≥650，

解得y≥80．

答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元．板块四：一元一次不等式（组）考点一：不等式的性质例1（2013•乐山）若a＞b，则下列不等式变形错误的是（）A．a+1＞b+1 B． C．3a-4＞3b-4 D．4-3a＞4-3b思路分析：根据不等式的基本性质进行解答．解：A、在不等式a＞b的两边同时加上1，不等式仍成立，即a+1＞b+1．故本选项变形正确；

B、在不等式a＞b的两边同时除以2，不等式仍成立，即．故本选项变形正确；

C、在不等式a＞b的两边同时乘以3再减去4，不等式仍成立，即3a-4＞3b-4．故本选项变形正确；

D、在不等式a＞b的两边同时乘以-3再减去4，不等号方向改变，即4-3a＜4-3b．故本选项变形错误；

故选D．点评：主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．对应训练1．2013•广东）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（）A．a-5＜b-5 B．2+a＜2+b C． D．3a＞3b1．D考点二：在数轴上表示不等式（组）的解例2（2013•张家界）把不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．思路分析：求出不等式组的解集，表示在数轴上即可．解：，

由②得：x≤3，

则不等式组的解集为1＜x≤3，表示在数轴上，如图所示：

．

故选C点评：此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．对应训练2．（2013•营口）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．2．C考点三：不等式（组）的解法例3（2013•成都）不等式2x-1＞3的解集是．思路分析：移项后合并同类项得出2x＞4，不等式的两边都除以2即可求出答案．解：2x-1＞3，

移项得：2x＞3+1，

合并同类项得：2x＞4，

不等式的两边都除以2得：x＞2，

故答案为：x＞2．点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．例4（2013•永州）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．思路分析：首先分别计算出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”可找出不等式组的解集．解：，

由①得：x＞-1，

由②得：x≤2，

不等式组的解集为：-1＜x≤2，

再数轴上表示为：．点评：此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．对应训练3．（2013•莆田）不等式2x-4＜0的解集是．3．x＜24．（2013•湛江）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．4．解：∵解不等式①得：x＞-1，

解不等式②得：x＜1，

∴不等式组的解集为：-1＜x＜1，

在数轴上表示不等式组的解集为：．考点四：不等式（组）的特殊解例5（2013•雅安）不等式组的整数解有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4思路分析：先求出不等式组的解集，再确定符合题意的整数解的个数即可得出答案．解：由2x-1＜3，解得：x＜2，

由，解得x≥-2，

故不等式组的解为：-2≤x＜2，

所以整数解为：-2，-1，0，1．共有4个．

故选D．点评：本题主要考查了一元一次不等式组的解法，难度一般，关键是会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．对应训练5．（2013•常德）求不等式组的正整数解．5．解：解不等式2x+1＞0，得：x＞-，

解不等式x＞2x-5得：x＜5，

∴不等式组的解集为-＜x＜5，

∵x是正整数，

∴x=1、2、3、4、5．考点五：确定不等式（组）中字母的取值范围例6（2013•宁夏）若不等式组有解，则a的取值范围是．思路分析：先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出a的取值范围．解：∵由①得x≥-a，

由②得x＜1，

故其解集为-a≤x＜1，

∴-a＜1，即a＞-1，

∴a的取值范围是a＞-1．

故答案为：a＞-1．点评：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，进而求得另一个未知数的取值范围．对应训练6．（2013•凉山州）已知x=3是关于x的不等式3x-＞的解，求a的取值范围．6．解：∵x=3是关于x的不等式3x-＞的解，

∴9-＞2，

解得a＜4．

故a的取值范围是a＜4．考点六：不等式（组）的应用例7（2013•天津）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞100．

（1）根据题题意，填写下表（单位：元）累计购物

实际花费130290…x在甲商场127…在乙商场126…（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？

（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？思路分析：（1）根据已知得出100+（290-100）×0.9以及50+（290-50）×0.95进而得出答案，同理即可得出累计购物x元的实际花费；

（2）根据题中已知条件，求出0.95x+2.5，0.9x+10相等，从而得出正确结论；

（3）根据0.95x+2.5与0.9x+10相比较，从而得出正确结论．解：（1）在甲商场：100+（290-100）×0.9=271，

100+（290-100）×0.9x=0.9x+10；

在乙商场：50+（290-50）×0.95=278，

50+（290-50）×0.95x=0.95x+2.5；

（2）根据题意得出：

0.9x+10=0.95x+2.5，

解得：x=150，

∴当x=150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同，

（3）由0.9x+10＜0.95x+2.5，

解得：x＞150，

0.9x+10＞0.95x+2.5，

解得：x＜150，

yB=0.95x+50（1-95%）=0.95x+2.5，正确；

∴当小红累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少；

当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，此题问题较多且不是很简单，有一定难度．涉及方案选择时应与方程或不等式联系起来．例8（2013•黔西南州）义洁中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．

（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？

（2）根据义洁中学实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的．请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？思路分析：（1）设购买一块A型小黑板需要x元，一块B型为（x-20）元，根据，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元可列方程求解．

（2）设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板（60-m）块，根据需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的，可列不等式组求解．解：（1）设购买一块A型小黑板需要x元，一块B型为（x-20）元，

5x+4（x-20）=820，

x=100，

x-20=80，

购买A型100元，B型80元；

（2）设购买A型小黑板m块，则购买B型小黑板（60-m）块，

，

∴20＜m≤22，

而m为整数，所以m为21或22．

当m=21时，60-m=39；

当m=22时，60-m=38．

所以有两种购买方案：方案一购买A21块，B39块、

方案二购买A22块，B38块．点评：本题考查理解题意的能力，关键根据购买黑板块数不同钱数的不同求出购买黑板的钱数，然后要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号小黑板总数量的，列出不等式组求解．对应训练7．（2013•本溪）某中学响应“阳光体育”活动的号召，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，同一种球的单价相同，若购买2个足球和3个篮球共需340元，购买4个排球和5个篮球共需600元．

（1）求购买一个足球，一个篮球分别需要多少元？

（2）该中学根据实际情况，需从体育用品商店一次性购买三种球共100个，且购买三种球的总费用不超过600元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？7．解：（1）设购买一个足球需要x元，则购买一个排球也需要x元，购买一个篮球y元，

由题意得：，

解得：，

答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元；

（2）设该中学购买篮球m个，

由题意得：80m+50（100-m）≤600，

解得：m≤33，

∵m是整数，

∴m最大可取33．

答：这所中学最多可以购买篮球33个．8．（2013•东营）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．

（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？

（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．8．解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：

，

解得：，

答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．

（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30-a）台，根据题意得：

，

解得：15≤a≤17，

∵a只能取整数，

∴a=15，16，17，

∴有三种购买方案，

方案1：需购进电脑15台，则购进电子白板15台，

方案2：需购进电脑16台，则购进电子白板14台，

方案3：需购进电脑17台，则购进电子白板13台，

15×0.5+1.5×15=30（万元），

16×0.5+1.5×14=29（万元），

17×0.5+1.5×13=28（万元），

∵28＜29＜30，

∴选择方案3最省钱．综合题库综合题库测试1：一次方程与方程组一、选择题(每小题6分，共30分)1．下列方程组中是二元一次方程组的是(D)A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xy＝1，,x＋y＝2))B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5x－2y＝3，,\f(1,x)＋y＝3))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋z＝0，,3x－y＝\f(1,5)))D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,\f(x,2)＋\f(y,3)＝7))2．(2012·广东)若x＝eq\f(1,m)是方程mx－3m＋2＝0的根，则x－m的值为(A)A．0B．1C．－1D．23．(2014·泰安)方程5x＋2y＝－9与下列方程构成的方程组的解为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(