2020-2021学年数学北师大版必修4教学教案：2 .1.1位移、速度和力（1 课时）

2.1.1位移、速度和力（1课时）

一、教学目标：

1.知识与技能

（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；

（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.

（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力

2.过程与方法

通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相

等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善

于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.

3.情感态度价值观

通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学

习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习

态度和勇于创新的精神.

二.教学重、难点

重点：向量及向量的有关概念、表示方法.

难点：向量及向量的有关概念、表示方法.

三.学法与教学用具

学法：（1）自主性学习+探究式学习法：

（2）反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

教学用具:电脑、投影机.

四.教学设想

【创设情境】

实例：

1.老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去.猫能否追到老鼠？

不能.猫的速度再快也没用，因为方向错了.\»

速度是既有大小又有方向的量.AB

2.民航每天都有从北京飞往重庆、广州、上海、哈尔滨等地的航班.每次飞行都是民航客机

的一次位移.

由于飞行的距离和方向各不相同，因此，它们是不同的位移.

位移既有大小又有方向.

3.假如学校位于你家东偏北30°方向，距离你家

2000m.从家到学校，可能有长短不同的几条路.

无论走哪条路，你的位移都是向东偏北30°方向

移动了2000m.

四、北、学校

273CT

、家）东

4.飞机向东北方向飞行了150km,飞行时间为半小时，飞行速度的大小是300km/h,方向

是东北.

5.某著名运动员投掷标枪时，标枪的初始速度的记录资料是：平均出手角度。=43.242。，

平均出手速度大小为v=28.35m/s.

6.起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉

力的作用.当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起.

【探究新知】

1.学生阅读教材思考如下问题

［展示投影］（学生先讲，教师提示或适当补充）

1.举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？

既有大小又有方向的量叫向量.例：力、速度、加速度、冲量等

注意:①数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重

性，不能比较大小。

②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2.向量的表示方法有哪些？\/

①几何表示法：有向线段Z//a

（终点）

A（起点）

有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作：A与I'

注意：起点一定写在终点的前面。

-->

有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段的长度

有向线段的三要素：起点、方向、长度

-->—

②字母表示法：也可用字母a、b、c（黑体字）来表示，即A3可表示为a（印刷时用黑体

字）

3.向量的模的概念是如何定义的？

向量AB的大小——长度称为向量的模。

记作：|AB|模是可以比较大小的

4.两个特殊的向量：

①零向量一一长度（模）为o的向量，记作°。°的方向是任意的.

注意°与o的区别

②单位向量一一长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

思考：①温度有零上零下之分，"温度”是否向量？

答：不是。因为零上零下也只是大小之分。

②AB与BA是否同一向量?

答：不是同一向量。

③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等?

答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

5.向量间的关系：

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：。IIMlc

规定：。与任一向量平行

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

记作：…

规定:0=6

任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。

共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上，

所以平行向量也叫共线向量。

COBA

OA-aOB=bOC=c

［展示投影］例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

例.D,E,F依次是等边三角形ABC的边AB,BC,AC的中点，在以A,B,C,D,E,F为起点或终点

的向量中，

（1）找出与向量相等的向量.

（2）找出与向量共线的向量.

解：由三角形中位线定理不难得到：

（1）在以A,B,C,D,E,F为起点

或终点的向量中，与向量相等的向量有:

（2）在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，与

向量共线的向量有：

-->-->-->

例题：如图，设。是正六边形ABCDEF的中心，①分别写出图中与向量°A、OB、OC

-->-->-->

相等的向量；②分别写出图中与向量°。、0E、°E共线的向量.

［学习小结］（学生总结，其它学生补充）

①向量及其表示方法.

②向量的模.

③零向量与单位向量（零向量的方向任意；单位向量不一定相等）

④相等向量与平行向量.

五.作业：P86习题2—1

六.课后反思

2.1.1位移、速度和力

教学设计

本节课的内容是北师大版数学必修4,第二章《平面向量》的引言和第一节

《从位移、速度、力到向量》两部分，所需课时为1课时。

一、教材分析

向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三

角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形

于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等

既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从

这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之

后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问

题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。本节概念课，重

要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数

学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。

二、学情分析

在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值

（线段的长度）、数的相等、单位长度、。和1的特殊性、线段的平行与共线等。

三、目标定位

根据以上的分析，本节课的教学目标定位：

知识目标

⑴通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；

⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；

⑶理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2）、能力目标

⑴培养用联系的观点，类比的方法研究向量；

⑵获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；

3）、情感目标

⑴运用实例，激发爱国热情；

⑵使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；

⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

重难点：

重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；

难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；

四、教学过程概述：

4.1导入新课

由“猫抓老鼠”、“导弹发射”等情境学生感受引入概念的必要性

意图：向量概念不是凭空产生的。用这一简单直观的问题让学生感受“既有

大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容，学生会有亲切感，有助于

激发学习兴趣。

问题（1）在现实世界中，我们经常接触长度、面积、质量等这类只有大小

区别的量，还有没有遇到过其他类别的量？如果有，请举例说明（2）刚刚提到

的“速度”“位移”“力”这些量，我们以前在课堂上接触过吗？这两类量有何本

质区别？

意图：激活学生的已有相关经验。

结合物理学知识，类比得出概念，加深印象。

追问：什么是向量?这两类量有何本质区别？

意图：形成区别不同量的必要性。概念抽象需要典型丰富的实例，让学生举

例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概

括做准备。

4.2推进新课

问题类比物理中的“矢量”的表示，找出数学中“向量”的表示方法。

意图：让学生先练习位移的表示，自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）

来表示向量。（教师引导学生进一步完善）

A--AA

几何表示法：记作48|48|为的长度（又称模）。

—>—>—>

字母表示法:a、b、c....或a、b、c....

4.3新知探究

问题（1）物理学中的“矢量”，和数学中的“向量”，都能用有向线段表示,

这三者等价吗？将有向线段平移到其他位置，大小、方向不变，平移后的有向线

段是原来的有向线段吗？其表示的矢量和向量相同吗？矢量、向量和有向线段之

间有何区别？（2）向量是既有大小、又有方向的量，还可用有向线段表示.长度

为单位长度1的向量可用有向线段表示吗？长度为0的向量呢？它和数字0相同

吗？长度相同的两个向量，可以说它们是相等向量吗？既然有相等向量，那么有

没有相反向量呢？（3）一组向量方向相同或相反，那它们之间是什么关系？怎

样定义平行向量？怎样定义共线向量？

意图：这样过渡学生不会感觉新的概念是从天而降，而是进一步学习的需要。

—>

归纳小结：1,单位向量一一长度等于1个单位长度并与。同向的向量叫做。方向上的

—>

单位向量.2,零向量——长度（模）为0的向量，记作0,它的方向是任意的。

3,方向相同或相反的非零向量就是平行向量。任一组平行向量都可移到同一条

直线上，所以平行向量也叫共线向量。4,规定：0与任一向量都平行（或共

线）。

4.4应用示例：略，详见课件

4.5课堂小结（引导学生小结）

请同学们结合本课所学知识，完成本课相关知识的填空，并画出本课的知

识结构图。

4.6课堂训练：略

4.7课后作业：略

4.8结束语

五、教学反思

5.1起始课应有“统领全局”的作用和地位

本节是“平面向量”的第一堂课，具有“统领全局”的作用。因此，本

课的目标应体现这一地位。具体有如下三个方面：

（1）形成平面向量的概念，特别是要让学生体会“向量集形与数于一

身”的基本特征

（2）让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量。

（3）通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发，再一

次体会研究一类新的数学问题的基本思路。

5.2概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”。

本课的教学，我们应力求使学生了解向量概念的背景和形成过程，了

解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的

问题。

5.3明确零向量的意义和作用，不过分纠缠于细节。

首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要。其次，就

像数零的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意

义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义，也不必耗费过

多时间。

总之，作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学

数学带来了无限生机。这节“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。

概念的教学应在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目。要让学生参与

概念本质特征的概括活动过程，这也是培养学生创新精神和实践能力的必

由之路！

2.1.1位移、速度和力

一、教学目标

1、知识与技能

⑴通过对位移、力等实例的分析，形成平面向量的概念；

⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的

基本特征；

⑶理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。

2、过程与方法

培养用联系的观点，类比的方法研究向量；获得研究数学

新问题的基本思路，学会概念思维；

3、情感、态度与价值观

使学生自然的、水到渠成的实现"概念的形成〃；让学生积极

参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

二、教学重点与难点

重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共

线向量的概念，会表示向量

难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系

三、教学过程

1、创设情境，形成概念

物理上学的标量有哪些？矢量有哪些？

2、深入学习，探究新知

问题1：静止在斜面上的物体受到什么力，如何画？

问题2：向量是有向线段吗？

问题3：单位向量只有一个吗？

问题4：向量共线时，线段一定共线吗？向量平行时，线段一定平

行吗？

3、有关概念

(1)(）叫向量，（)

叫向量的模

(2)(）叫有向线段，向量用（）几

何表示

⑶向量用（）字母表示

(4)(）叫做单位向量，（）叫零

向量

(5)(）叫相等向量，（）叫平行向

（6）（）叫共线向量

4、例题

1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量而与而是共线向量，则4B、C、D四点

必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量（长度相同，方向相反的向量）不相等;

2.下面几个命题：

(1)若a=b,b=c,则a=c。(2)若|a|=0,贝a=0

(3)若|a|=|b|,则a=b

(4)若A、B、C、D是不共线的四点，AB=DC,则

四边形ABCD是平形四边形

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

5、课堂小结：请学生小结本节课内容

6、布置作业，强化落实：

作业75页习题2-1第2,3,4题

2.1.1位移、速度和力

四、教材分析

1、教材分析

本节内容是平面向量的第一节，从位移、速度、力引入向量的概念和

向量的模长。也为后面学习向量的相关运算奠定基础。因此本节内容

具有“统领全局”的作用。向量是数学中非常重要的一个量。它既有

大小又有方向，有着丰富的物理背景。既可以解决物理问题，也可以

解决数学问题。因此它在整个高中数学中的地位是不言而喻的。

2、学情分析

本班学生的具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃，但创新

思维能力较弱。他们已经学习了物理中位移和速度概念等方面的

知识，所以对向量并不陌生，已经有一定的实践经验。但是对于

将向量理论联系实际的能力还有待提高。

二、教学目标

1、知识目标：通过对位移、速度、力等实例的分析，，形成平面向量

的概念；学会用平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基

本特征；理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量的含义；

2、能力目标：培养用联系的观点，类比的方法研究向量。培养学生

从数学的角度思考生活中实际问题的习惯加强数学的应用意识。

3、情感目标：通过学习向量在其他学科中的应用，形成对向量学习

的兴趣；在合作讨论的过程中，体验团队合作的精神。

三、教学重点、难点

重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量的概念；

难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程。

四、教学过程

一、引入：实例分析

在物理学中，我们学习过“位移”“速度”和“力”等物理量。

民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆、哈尔滨等地的航班。每

次飞行都是民航客机的一次位移。由于飞行的距离和方向不相同，因

此，它们是不同的位移。

假如学校位于你家东偏北30。方向，距离你家2000m。从家到学校，可

能有长短不同的几条路。无论走哪条路，你的位移都是向东偏北30。方

向移动了2000mo

从上面两个实例不难得到：位移只与方向和距离有关，并被方向和距

离唯一确定。

问：力、速度、加速度、位移有什么共同特点？那么路程、面积、和

身高呢？

五、概念讲解

（一）1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫做向量。

2.向量的表示：①几何表示：有向线段；

②字母表示：AB,a,b.....

③向量的大小叫做向量的模长，记作

A（起点）

问：向量可以用有向线段表示，但是“向量就是有向线段，有向线段

就是向量”的说法对吗？

3.两个特殊的向量

（1）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作。；

（注：零向量也有方向，零向量的方向是任意的）

（2）单位向量：长度等于一个单位的单位向量叫做单位向量。

（注：单位向量的大小相等，但方向不一定相同）

4.相等向量：长度相等且方向相同的向量。记作：a=bo

（注：两个向量之间只有相等关系，么有大小之分。对于向量

“a,b,a>b,a<3"的说法是错误的。）

5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量，记作

abo规定：。与任一■向量平行。

向量只与大小和方向有关，与起点在哪无关。所以向量是可以自由移

动的量。将一组平行于同一条直线I的向量起点都放在I上的一点。,

他们任然是平行向量。这时他们在同一条直线上。所以平行向量也叫

共线向量。

六、例题讲解

例1.判断题

1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量。（）

2.向量的模是一个正实数。（）

3.若卜|=0,贝“4=0。（）

4.若H>W，则。与否就能比较大小。（）

5.平行向量的方向一定相同。（）

6.不相等的向量一定不平行。（）

7.共线向量一定在同一直线上。（）

例2.如图设。是正六边形ABCDEF的中心，写出图中与向量苏相等

的向量。BA

变式一：与向量而长度相等的向量有/\/\

多少个?

DE

变式二：是否存在与向量或长度相等，

方向相反的向量？

变式三：与向量3长度相等的共线向量有哪些？

例3一辆汽车从A点出发向西行驶了100Km到达B点，然后又改变

方向，向西偏北50度的方向走了200Km到达C点，最后又改变方向，

向东行驶了100Km到达D点。

(1)作出向量通，血无

(2)求而

七、习题练习

1.下面几个命题：

(1)若a=B,B=c,贝"a=c

(2)若a=恸，贝Ia=2

(3)若A、B、C、D是不共线的四点，且筋=反，则四边形ABCD是

平行四边形。

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

2.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。

(1)向量获与而是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

()

(2)单位向量都相等；()

(3)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。()

八小结:

1.向量的概念

2.向量的表示方法

3.零向量和单位向量

4.相等向量

5.平行向量（共线向量）

北师大版高中数学必修4

2.1.1位移、速度和力

-O教学内容解析

向量是近代数学重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函

数的桥梁。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随

处可见的位移、速度、力等既有大小，又有方向的量是它的物理背景。向量就是

从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念。本课是“平面向量”的起始课，具

有“统领全局”的作用。本节概念课，更为重要的不是向量的形式化定义及几

个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进

而提高提出问题，分析问题，解决问题的能力。

本节课主要内容包括向量的物理背景与概念，向量的表示，相等向量与共线

向量。

二、教学目标设置

了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、

零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、

相等向量和共线向量。

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，

会表示向量。

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系。

三。学生学情分析

从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对

值（线段的长度）、单位长度、。和1的特殊性。还有学生在物理学科中已经积

累了足够多的向量模型，，从而为本节课的学习提供了知识准备。

从学生现有的学习能力看，可以尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量

的概念。

学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难

以适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化），它是学生认识过程中

的又一次飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基

础。学生的易混点是向量的几何表示（有向线段）与平面向量，学生的易错点

是，在解决向量问题时，不能从向量的两个要素全面考虑，顾此失彼。

四、教学策略分析

在本节课的教学中，主要以问题引领过程，通过教师引导、学生提问、师生交流、

学生合作举例，让学生自主建构向量和共线向量的概念.这样做可使学生经历新

概念产生的过程，从总体上认识新知识与原有知识的联系，在过程中感受学习新

概念、解决新问题的方法.

五、教学过程

九、创设情境建构概念

2018年4月18日，南海军演在台湾海峡附近进行。演习中，情报显示敌军

舰距我方基地大约400千米，我方能否根据这一信息准确摧毁目标？

生：不能，缺少方向

问1：你能否再举出一些既有大小，又有方向的量？

师：向量定义：既有大小又有方向的量。

师：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何

问题的有力工具。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富

的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用。“一桥飞架南北，天堑变通

途”。

3、几何表示理解概念

问2：实数在数轴上是如何表示的？

问3：有两个木块浮在水面上，一个木块所受到的重力大小是104另一个木块

所受到的重力的大小为20M同学们试画出两个物体所受到的浮力。

师：向量的表示（1）几何表示：用一个很经典的受力分析图，学生很容易想到

用有向线段来表示向量。长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。

⑵符号表示：①用有向线段字母表示：（A为起点、B为终点）；

②用小写字母表示：a、b、c；（印刷用a,书写时应加上箭头）

问4：在你画的实数轴上，哪些实数比较特殊？

问5：类比实数，哪些向量比较特殊呢？

师：①向量的模：向量a的大小称为向量的长度（或称为模），记作|a|o

②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作Oo

思考：0与0的含义与书写区别。

③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。

3o探究实例引出关系

【探究互动】在坐标纸中画出如图3所示的向量。

五、（1）图中哪些向量是单位向量？

（2）而，丽，乔三个向量的方向有何关系？

（3）而，丽在大小和方向上有何关系？

（夕）一qK

C一）与之AB间什么关系？'后OKC呢D？

例：3.E

师：平行向量：表示向量的有向线段所在直线平行或重合叫做平行向量。记作a

//bo

规定：0与任一向量平行。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b。

向量是否相等只与大小和方向有关，与起点无关。

相等向量和相反向量都是平行向量。

共线即平行，平行即共线。

4.辨析概念例题互动

【例1】判断下面的说法是否正确。

(1)向量的模的取值范围是(0,+00)。(X)

(2)若万与B都是单位向量，则I万|=|5|。(V)

(3)若］/方，则M与坂的方向相同。(X)

(4)物理学中的作用力与反作用力是一对相等向量。(X)

(5)若|而|工0,则南=丽。(X)

例2,如图，D、E、F分别是aABC各边上的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点

的有向线段表示的向量中，请分别写出：

(1)与向量而相等的向量有一个，

分别是。

(2)与向量而的模相等的向量有一个,分别是；

(3)与向量团方向相反的向量有一个，分别是;

5»课堂小结作业布置

【课堂小结】有哪位同学能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的概念？

1知识.一

4、思想方法：类比思想由特殊到一般思想

作业：p75习题2-1A组第4题

感悟：做人有方向做事有力量——向量

高一数学必修4向量的概念及表示

一.教学目标：

（一）知识目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示;

掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并

会区分平行向量、相等向量和共线向量.

（二）能力目标：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量

的本质区别.

（三）情感目标：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观

事物的数学本质的能力.

二.教学重点、难点；

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概

念，会表不向量.

教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

难点突破：借助原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实

物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.

三.教学方法与教学手段：

教学方法：启发式教学

教学手段：多媒体教学

四.教学过程，

（一）情景设置

通过猫抓老鼠的游戏来探究，为什么猫抓不到老鼠？

（二）新课学习

1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

2.向量的表示方法：

（1）几何表示法：用有向线段表示向量，长度表示向_B（终点）

量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

（2）用字母等表示；A（起点）

①用有向线段字母表示：AB（A为起点、B为终点）；

②用小写字母表示：a>1、2；（印刷用a,书写用a）

注：小写字母表示平面向量时，字母上的箭头不能省略。

3.向量的有关概念：

（1）大小：

①向量的模：向量而的大小称为向量的长度（或称为模），记作|而

②零向量：长度为o的向量叫零向量，记作。.yj

思考：6与0的含义与书写区别.『

③单位向量：长度等于1个单位长度的向量，叫做单位yZTV/1'

思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什

么图形？

（2）方向:

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。记作3/4。

规定：。与任一向量平行.

思考:若Z〃九bUc,则Z〃Z?

（3）大小与方向：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作£=>

如：平行四边形ABCD中，AB=DC.

向量是否相等只与大小和方向有关，与起点无关.

②相反向量：与［向量长度相等，方向相反的向量叫做3的相反向量，记作工。

规定：-6=6。。的相反向量仍是6。

对于任一向量。有-（-a）=aoa与-a互为相反向量。

相等向量和相反向量都是平行向量。

概念辨析：向量平行与直线平行

两条直线平行不包括重合的情况，而向量的平行包括两个向量在同一条直线

上（同向或反向）的情形

这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上。

③共线向量：平行向量就是共线向量。

规定：。与任一向量共线.

（三）理解和巩固:

例1已知。为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出的向量中:

（1）试找出与而共线的向量；

（2）确定与？i相等的向量；

（3）苏与前相等吗？

解：（1）与而共线的向量有前和近;

引申：除而外，图中所给7点的连线中，与近共线的向量有几个？9个

（2）8C与FE长度相等且方向相同，故BC=在;

引申：除FE外，图中所给7点的连线中，与尸E相等的向量有几个？3个

(3)虽然豆〃蓝，且|苏|=|前|,但它们方向相反，故这两个向量并不相

等。

引申：除苏外，图中所给7点的连线中，与苏互为相反向量的向量有几

个？4个

(3)直线L

课堂练习：

1.下面几个命题：

(1)a=b,b=c,则a=c。

(2)若|a|=0,则a=0

(3)若|a|=|b|,则a=b

(4)两个向量a、b相等的充要条件是1,a的模=b的模

2,a〃b

其中真命题有几个？

合作探究：

某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10

米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点(1)作出向量

AB,BC,CD;(2)求AD的模

(四)小结

1.向量的概念；

2.向量的表示：代数表示、几何表示；

3.研究向量的两个方面：

大小：零向量、单位向量；

方向：共线向量、平行向量;

大小与方向：相等向量、相反向量

4.数学思想方法：数形结合、分类讨论（注意对6的讨论）。

四、课后作业：

书本59页习题2.1第1、3、4题

五、板书设计

向量的概念和表示

1.向量的概念：

2向.量的表示方法：

多媒体投影3.向量的有关概念：画图

大小：向量的模，零向量，

单位向量

方向：平行向量，共线向量

大小与方向：相等向量，相

反向量

六、课堂反思与作业反馈

教学设计的说明：

向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识

的一个交汇点，成为多项内容的媒介.既有其深刻的数学背景，也有其现实的物

理背景。

本节课是一节概念教学课。依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程

的理念，因此在向量概念的引入过程中，从物理的角度创设问题情景，使学生明

白研究向量不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强

烈的求知欲望。最后又通过物理问题如何用数学的方式加以解决，为学生理解向

量的数量积以及向量在实际问题中的应用埋下伏笔。

本节课所涉及到的概念都是让学生去探索而得到的，为了让学生很好的完成

这个探究活动，始终引导学生抓住大小与方向两个方面，让学生去发现结论，再

由学生或师生共同完善概念。使学生感受知识自然形成的过程，同时也培养了学

生的创新意识。

在应用这个环节中，主要让学生消化本节课所学的概念。除了教材中提供的

两个例题，加了一个例题弥补不足，通过观察、问答等方式掌握学生的学习状况。

配合教材中的两个练习，还加了一个学生自己动手的练习，巩固向量的概念，通

过练习对学生的掌握情况做出适当的评价。

在小结这个环节中，主要是让学生从知识的发生、发展去回顾本节课的内容

以及注意点，并对本节课所涉及到的思想方法加以总结，达到提高认识，形成体

系的目的。

以上就是我对本节课设计的简单说明。

《向量的概念》教学设计

十、教学目标

1、知识与技能目标：（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的

几何表示；

（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概

念；

并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系

（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

2、过程与方法：引导发现法与讨论相结合。通过学生主动地参与到课堂教学中，

提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。

3、情感与价值观：通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本

质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。

二、教学重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等

教学难点：向量的概念和共线向量的概念

三、教学过程：

（一）情景设置：

1、生活中有没有既有大小又有方向的量？

物理中的位移，速度，加速度

2、（1）欣赏图片：国兵的旋转球

（2）假设某同学与其它学校的同学约定周日从学校到李济深故居，他要做

哪些准备工作，引出方向与大小

（二）新授课：

1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。

2、向量的几何表示：

①用有向线段表示；

②用字母、

abA（起点）

（黑体，印刷用）等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：AB；

3、向量Q的大小一一长度称为向量的模，记作|而

4、从长度进行特殊化，得到零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.

注意。与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、从方向特殊化，得到平行向量定义：

（1）①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量

平行.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行,

记作a〃b〃c.

共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与

有向线段的起点无关）.

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）

共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

6、从方向和长度进行特殊化，得到相等向量和相反向量的定义

相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量a与b相等，记作a=b；（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且

与有向线段的起点无关.

（三）讲授新课

例1如图，D、E、F分别为的三边BC、AB、AC的中点。写出：

（1）与向量（DF）一共线的向量A

ft

（2）与向量（E尸）”相等的向量手E/\F

变式：与向量（EF）”相反的向量------

练习：

L温度含零上和零下温度，所以温度是向量（）

2.向量的模是一个正实数。（）

3.单位向量都相等；（）

4.若|a|>|b|,则a>b（）

注:向量不能比较大小

2.下面几个命题：

（1）若贝后二武

（3）若而=|b|,则言=b

（4）向量与加是共线向量，则AB、C、D四点必在一直线上

（5）若a//b,b//c,则a,c〜

其中正确的个数是（）

（四）归纳小结

1.向量的概念

2、向量的表示方法及向量的模的概念

3、零向量、单位向量概念

4、平行（共线）向量定义

5、相等向量、相反向量定义

2.1.2向量的概念

教学目标：1.知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示.

2.过程与方法：通过教材中给出的有关位移、速度和力的大量实例，让学生亲身

经历观察、分析、归纳、抽象概括出平面向量概念的思维过程.

3.情感、态度与价值观：从学生熟悉的生活实例出发建立平面向量的概念，激发

学生的学习兴趣.

教学重点：向量的概念，向量的几何表示，以及平行向量概念.

教学难点：理解零向量，单位向量，相等向量，平行向量的含义，让学生感受向量，平行或

共线向量等概念形成过程.

教学流程：情景引入——探究新知——巩固提升一一归纳小结

教学过程：

1.问题情境：

情景:在同一时刻,老鼠由A向东北方向以6m/s的速度逃窜，猫在B处向东南方向10m/s

的速度追,猫能否追到老鼠呢？

学生马上得出结论:追不上，猫的速度再快也没用，因为方向错了.

设计意图：向量概念不是凭空产生的。用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又

有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容，学生会产生亲切感，有助于激发学习兴趣.

2.探究新知：

（1）向量的概念

问题1你能否再举出一些既有方向，又有大小的量？

设计意图：激活学生的已有相关经验.

（学生能容易地举出重力、浮力、作用力等物理中学过的量.）

追问：生活中有没有只有大小，没有方向的量？请你举例.

设计意图：形成区别不同量的必要性.

（学生所举的例子有年龄、身高、面积等.）

概念抽象需要典型丰富的实例.让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对

概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备.

教师：由同学们的举例可见，现实中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又有方

向.数学中对位移、力……这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量一一向

量

向量既有大小又有方向的量

数量一一只有大小没有方向的量

思考：判断下列说法是否正确：

①由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示，所以温度是向量.

②坐标平面上的x轴和y轴是向量.

设计意图：由学生熟悉的知识引入，以此更加自然地引入向量概念，并建立学习向量的

认知基础.

（2）向量的表示

问题2数学中，定义概念后，通常要用符号表示它.从向量的定义看，向量是既有大

小又有方向的量，那么该怎样把向量表示出来呢？

教师：在物理中，我们用什么方法表示一个竖直向下的4N的力？T,B

类比几何中有向线段及有向线段长度的表示方法，得到向量及向量力/储点）

大小的表示方法盛）

①几何表示法：常用一条有向线段表示向量（如图所示）.

②符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段，记作入月.（注意起终点顺序）.

③字母表示法：可表示通为£.（一定要学生规范书写:印刷用黑体”,书写用7）

④向量入月的大小一向量入月长度（或称为向量的模）.记作：|砺卜

思考：

①A有与区4相同吗？可与|丽|相同吗？

②若,卜W，则一定有a>B吗？

（3）两个特殊向量

问题3在实数集中，。和