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第一节拉普拉斯变换的概念拉普拉斯变换的定义二拉氏变换存在定理-1-第一节拉普拉斯变换的概念-1-一拉普拉斯变换的定义-2-傅氏变换对函数的两个主要限制1)函数的定义域2）如果函数定义在补充函数在的定义如果存在常数使得一拉普拉斯变换的定义-2-傅氏变换对函数的两个主要限-3-定义函数选取由于因此对可以求傅氏变换，如果记且记且ℱ-3-定义函数选取由于因此对可以求傅氏变换，如果记且记且-4-这表明实际上为函数傅氏变换的像函数，即特别当时有因此有ℱ-4-这表明实际上为函数傅氏变换的像函数，即特别当时有因-5-如果令上式又可以写为定义设函数在有定义，积分在的某一域内收敛，则称此积分为的拉普拉斯变换式，记为ℒ复变量函数称为的拉普拉斯变换像函数，称积分即ℒ-5-如果令上式又可以写为定义设函数在有定义，积分在的某-6-为的拉普拉斯逆变换式，记为ℒ

而称为拉普拉斯逆变换的像原函数。由定义可以看出，拉普拉斯变换像函数则实际上是傅氏变换的像函数。ℒ[ℒ同样有ℒℒ-6-为的拉普拉斯逆变换式，记为ℒ而称为拉普拉斯逆变二拉氏变换存在定理-7-拉氏变换存在定理设函数满足下列条件1）在的任何一个有限区间上分段连续；2）存在常数使得(称为函数的增长指数)则的拉氏变换在半平面上一定存在，且在上二拉氏变换存在定理-7-拉氏变换存在定理设函数满-8-右端的积分是绝对、一致收敛的，在是解析的，上且有[证]由条件2)可知，对任何的有由于-8-右端的积分是绝对、一致收敛的，在是解析的，上且有[-9-所以在上绝对且一致收敛，由的任意性，函数的拉氏变换在一定存在。同理积分在上绝对且一致收敛的，因此-9-所以在上绝对且一致收敛，由的任意性，函数的拉氏变换-10-对于成立，由的任意性，上式对一切成立，即因此在上是解析的。例1求单位阶跃函数的拉氏变换。解ℒ-10-对于成立，由的任意性，上式对一切成立，即因此在上-11-因此例2求正弦函数的拉氏变换。解ℒ或ℒℒ-11-因此例2求正弦函数的拉氏变换。解ℒ或ℒℒ-12-即解ℒ或ℒ同理ℒℒ例3设为正整数，求ℒℒ-12-即解ℒ或ℒ同理ℒℒ例3设为正整数，求ℒℒ-13-更一般的可得当为大于1的实数时，即ℒ有ℒ-13-更一般的可得当为大于1的实数时，即ℒ有ℒ-14-其中称为伽玛函数，满足解例4设为以为周期的周期函数，且在一个周期上分段连续，求ℒℒ-14-其中称为伽玛函数，满足解例4设为以为周期的周期函-15-这就是周期函数求拉氏变换公式。例如以2为周期，且则ℒ-15-这就是周期函数求拉氏变换公式。例如以2为周期，且-16-必须指出，对于在处含有脉冲的函数(如的拉氏变换，解例5求ℒℒ即ℒ或ℒℒ我们定义-

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