第20讲函数的单调性9种常见题型

第20讲函数的单调性9种常见题型【考点分析】考点一：函数单调性的定义如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。考点二：单调性的定义的等价形式：设，那么在是增函数；在是减函数；在是减函数。在是增函数。考点三：函数单调性的应用即若在区间上递增（递减）且()；若在区间上递递减且.().考点四：函数单调性的性质在公共定义域内，则①增函数增函数是增函数；②减函数减函数是减函数；③增函数减函数是增函数；④减函数增函数是减函数。考点五：双勾函数及其性质函数叫做双勾函数在上单调递增；在上是单调递减。考点六：复合函数单调性的判断（同增异减）讨论复合函数的单调性时要注意：①若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数;②若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下:增增增增减减减增减减减增复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．题型一：用定义法证明函数单调性证明函数单调性的步骤:①取值:设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；②变形:作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；③定号:判断差的正负或商与的大小关系；④得出结论．【精选例题】【例1】已知函数.(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义给出证明；(2)若，求函数的最大值和最小值.【答案】(1)在区间上递增，证明见解析(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）设，且，然后作差变形，再判断符号可得结论；（2）由（1）可知在上递增，从而可求出其最值.【详解】（1），函数在区间上递增，证明如下：任取，且，则因为，且，所以，，所以，所以，即，所以在区间上递增，（2）由（1）可知在上递增，所以的最大值为，最小值为.【例2】已知函数.(1)判断函数在定义域上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；(2)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)单调递增，证明见解析(2)最大值为15，最小值为0【分析】（1）根据已知，利用函数单调性的定义作差求解.（2）根据已知，利用函数的单调性计算求解即可.【详解】（1）任取，，且，∴，∵，∴，，∴，即，所以函数在上单调递增；（2）由（1）得函数在上是增函数，所以当时，取最小值，当时，取最大值，则函数在上的最大值为15，最小值为0.【例3】已知函数.(1)求函数的定义域；(2)用定义法证明：在上单调递增；(3)求在上的最大值与最小值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)，【分析】（1）由分母不等于零可求得函数定义域；（2）设，由可证得结论；（3）由单调性可确定最值点，结合解析式可得最值.【详解】（1）由得：，的定义域为.（2）设，，，，，在上单调递增.（3）由（2）知：在上单调递增，，.【例4】已知函数（，），当时，用单调性的定义证明在上是增函数.【答案】证明见解析【详解】解：当时，，任取，且，则.因为，所以，，，所以，即.所以在上是增函数.【跟踪训练】1.已知函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.【答案】(1)，(2)单调递增，证明见解析【详解】（1）因为，所以，所以.（2）函数在上单调递增，证明如下：任取，且，所以，因为，所以所以，即，所以在上单调递增.2.判断在的单调性.【答案】函数在内单调递减，在内单调递增．【详解】设，则（1）假如，则，又，所以故函数单调递减；（2）假如，则，又所以故函数单调递增；所以函数在内单调递减，在内单调递增．3.已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；【答案】在上单调递增，证明见解析【详解】在上单调递增，证明如下：设，；，，，，，是在上单调递增.4.已知函数.(1)判断函数在的单调性，并用定义证明.(2)若时函数的最大值与最小值的差为，求的值.【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析；(2)【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下：任取，且，因为，则，因为，所以，，，所以，即，所以函数在上单调递增.（2）由（1）知函数在上单调递增，所以函数的最大值为，最小值为，所以，即，解得.5.已知函数的表达式为．(1)当，，时，证明：函数在区间上是严格增函数；(2)当，时，求函数在区间上的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)时，函数最大值为；时，函数最大值为0.【详解】（1）证明：当，，时，，设，且，则，因为，故，即，所以函数在区间上是严格增函数；（2）当，时，函数，该函数图象的对称轴为，因为，当时，；当时，；即时，函数在区间上的最大值为；时，函数在区间上的最大值为0.题型二：抽象函数单调性的判断证明解题思路：此类题目一般用定义法证明类型一：型【精选例题】【例1】已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，.试判断在的单调性，并证明；解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减【跟踪训练】1.已知函数的定义域为，当时，，且，试判断函数在定义域上的单调性。【详解】设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增2．定义在上的函数满足下面三个条件：①对任意正数，都有；②当时，；③(1)求和的值；(2)试用单调性定义证明：函数在上是减函数；【答案】(1),，(2)证明见解析【详解】(1)得，则，而，且，则；(2)取定义域中的任意的，，且，，当时，，，，在上为减函数．类型二：型【精选例题】【例1】已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有.（1）试说明：函数是上的单调递减函数；解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减【跟踪训练】1.已知函数的定义域为，且对任意的均有，且对任意的，都有，试判断函数在定义域上的单调性。解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递增类型三：型【精选例题】【例1】已知定义域为，对任意都有，且当时，.(1)试判断的单调性，并证明；解析：设是区间上的任意两个实数，且，所以，因为且，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减【跟踪训练】1.已知定义域为，对任意都有，且当时，.(1)试判断的单调性，并证明；解析：设，则，所以，即，任取，且，则，所以即，所以在上单调递增题型三：函数单调性定义的理解（注意对于任意字样）如果函数对区间内的任意，当时都有，则在内是增函数；当时都有，则在内时减函数。注意单调区间不能用“”，只能用“和”或者“，”【精选例题】【例1】（多选题）下列命题正确的是（）A．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数B．若对于，，，都有，则函数在R上是增函数C．若对于，都有成立，则函数在R上是增函数D．若对于，都有，为增函数，则函数在R上也是增函数【答案】AB【详解】A选项中，化简为，故函数在R上是增函数；B选项中，故函数在R上是增函数；C选项中，令，表示不超过x的最大的整数，满足，但在R上不是增函数；D选项中，令，但函数在R上不单调．【例2】（多选题）下列命题中为真命题的是（

）A．定义在上的函数，如果有无穷多个，当时，有，那么在上单调递增B．如果函数在区间上单调递减，在区间上也单调递减，那么在区间上就一定单调递减C．，且，当时，在上单调递减D．，且，当时，在上单调递增【答案】CD【分析】根据单调性定义可判断ACD；举反例可判断B.【详解】对于A，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”，所以A是假命题；对于B，，当时，是单调递减函数，当时，是单调递减函数，而在不具备单调性，故B是假命题；对于C，，∵等价于，而此式又等价于或，即或，∴在上单调递减，故C是真命题；对于D，，且，由得，或，即或，∴在上单调递增，故D是真命题.故选：CD.【跟踪训练】1.（多选题）下列说法中正确的个数是（

）A．已知区间，若对任意的，当时，，则在上是增函数B．函数在上是增函数C．函数在定义域上是增函数D．函数的单调区间是和【答案】AD【分析】单调性定义判断A；由二次函数、反比例函数的单调性判断B、C、D即可.【详解】A：根据函数的单调性定义知：对任意，当时，则在上是增函数，正确；B：在上单调递增，但R上不单调，错误；C：在和为单调递增，但不能说在定义域内递增，故错误；D：的单调区间为和，正确；故选：AD2.（多选题）给出下列命题，其中是错误命题的是（

）A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，4].B．函数的单调递减区间是C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数.D．是在定义域内的任意两个值，且，若，则减函数.【答案】ABC【详解】解：对于A，因为的定义域为[0，2]，则函数中的，，所以的定义域为，所以A错误；对于B，反比例函数的单调递减区间为和，所以B错误；对于C，当定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，而在R上不一定是单调增函数，如下图，显然，所以C错误；对于D，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的，故选：ABC题型四：基本初等函数的单调性①一次函数：①当时，为增函数②当时，为减函数②反比例函数：①当时，在和上为减函数②当时，在和上为增函数，注意：不能说反比例函数在定义域为增函数或者减函数，不连续的函数一定要注意，不能写成，只能用“和”或者“，”③二次函数：，看开口方向和对称轴【精选例题】【例1】（多选题）下列函数中满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），都有”的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】因为对任意x1，x2∈（0，+∞），都有，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，A：根据反比例函数性质可知在（0，+∞）上单调递增，符合题意；B：根据一次函数的性质可知，在（0，+∞）上单调递减，不符合题意；C：根据二次函数的性质可知在（0，+∞）上单调递增，符合题意；D：根据一次函数的性质可知，在（0，+∞）上单调递增，符合题意．故选：ACD【例2】下列四个函数中，在上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数、二次函数、反比例函数的单调性判断各项即可.【详解】对于A，，在区间为减函数，故A不符合题意；对于B，的对称轴为直线，且开口向上，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故B不符合题意；对于C，在区间上单调递增，故C符合题意；对于D，在区间为减函数，故D不符合题意.故选：C【例3】函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．和【答案】D【分析】先求出定义域，然后由反比例函数的性质可得答案【详解】的定义域为，由反比例函数的性质可知的单调递增区间为和，故选：D【例4】函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．，【答案】D【分析】由对勾函数的单调性求解即可.【详解】函数为对勾函数，由对勾函数的性质知，函数的单调递减区间为：，.不能选C，因为不满足减函数的定义.故选：D.【例3】函数在（

）A．上是增函数 B．上是减函数C．和上是增函数 D．和上是减函数【答案】C【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果.【详解】，函数的定义域为，其图象如下：由图象可得函数在和上是增函数.故选：C【例6】下列结论正确的是A．函数的单调增区间是B．函数在定义域内单调递减C．函数的单调递增区间是D．函数的单调递减区间是【答案】C【详解】对A，函数的定义域为，解得，所以A错对B，所以在和上分别为减函数，但不能说定义域内单调递减；对C，由题意函数，图象如图：函数的单调增区间为，，单调减区间为，；对D，当时，的开口向下，对称轴为，所以的单调减区间为，又当时，为减函数，但中间不能用这个符号【例7】（多选题）已知，，设，则关于的说法正确的是（

）A．最大值为3，最小值为B．最大值为，无最小值C．单调递增区间为和，单调递减区间为和D．单调递增区间为和，单调递减区间为和【答案】BC【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，当时，，表示的图象在的图象下方就留下的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，故A错误，当时，由，得舍或，此时的最大值为：，无最小值，故B正确，时，由，解得：（舍去），故F在，递增，在和递减故C正确，D错误，故选：BC．【例8】若函数,则下列结论正确的是（

）A．函数的最小值为B．函数在区间上单调递减,在区间上单调递增C．函数的最大值为D．函数在区间上单调递增,在区间上单调递减【答案】B【详解】解:由题知,定义域为,因为,,故选项A,C错误,排除;且有,因为所以,即,故在区间上单调递减,且有,因为所以,即,故在区间上单调递增,故选项B正确.故选:B【跟踪训练】1.下列函数中，满足“对于任意，都有”的是【答案】C【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上为增函数2.下列函数中在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：选项A，，由于函数在上单调递减，所以函数在上也单调递减，故原函数也在上单调递减；选项B，函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为y轴，故函数在上单调递增；选项C，函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为，故函数在上单调递减，不满足在上单调递减；选项D，由函数可得定义域为，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递增，故不满足在上单调递减，故选：A．3.如果函数在区间上是增函数，而函数在区间上是减函数，那么称函数在区间上为“缓增函数”，区间为的“缓增区间”.若函数是区间上的“缓增函数”，则的“缓增区间”为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由二次函数的基本性质可知，函数的单调递增区间为.设，则函数在区间上为减函数，在区间、且，即，，，则，，所以，，所以，函数在区间上为增函数，同理可证函数在区间上为减函数.因此，的“缓增区间”为.故选：D.4.函数（

）A．在内单调递增 B．在内单调递减C．在内单调递增 D．在内单调递减【答案】C【详解】因为，函数的图象可由y＝－图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如下图所示．所以函数在内单调递增，故选：C.题型五：函绝对值函数的单调性判断①注意函数和函数图象的画法②当函数中某一部有绝对值可以考虑通过讨论正负去掉绝对值【例1】函数的递增区间是______.【答案】[1，+∞）【详解】解：函数y＝|x﹣1|的图象如图所示：数形结合可得函数的增区间为[1，+∞），故答案为：[1，+∞）．【例2】函数的单调递减区间是__________.【答案】【详解】由题意，所以函数的单调递减区间为.故答案为：.【例3】求函数的单调递增区间________.【答案】和【详解】，作出函数图象如图所示.函数的单调递增区间是和.故答案为:和.【例4】函数的单调递减区间是________.【答案】【详解】由，当时，开口向上，对称轴方程为，所以在时，开口向下，对称轴方程为，所以此时在上单调递增，在上单调递减.故答案为：【例5】函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，所以递增区间是.故选:C.【例6】（多选题）已知函数，则（

）A．函数f(x)的定义域为RB．函数f(x)的增区间为C．函数f(x)的值域为D．关于a的不等式的解集为【答案】ABD【详解】因为函数解得，所以函数f(x)的定义域为R，故正确；B.因为，所以函数f(x)的增区间为，故正确；C.当时，，所以函数f(x)的值域为等价于，解得，故正确；故选：ABD【题型专练】1.关于函数，下列结论：①函数在定义域内是减函数；②函数有两个单调区间，且单调性不相同；③函数在上单调递减；④函数的单调区间为.其中正确的个数是（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【详解】解:函数定义域为，，定义域区间不连续，结论①、④错误；在上函数单调递递增，结论③错误；函数在区间上递增，在区间上递减，结论②正确.故选:A2.函数的单调递增区间是（

）A．B．和C．和D．和【答案】B【详解】如图所示：函数的单调递增区间是和．故选：B.3.已知函数，则下列结论正确的是（

）A．增区间是B．减区间是C．增区间是D．增区间是【答案】D【详解】根据题意，函数，当时，，在区间上为减函数，在区间上为增函数；当时，，在区间上为增函数，在区间上为减函数；综合可得：在区间和上为减函数，在区间上为增函数，故选：D.4.函数的单调递增区间是（

）A．B．和C．D．和【答案】B【详解】，作出其图象如图所示：由图象可知，函数的增区间为和.故选:B5.已知函数，则的单调递增区间为__________.【答案】【详解】当时，单调递减；当时，，在上单调递增，在单调递减；故答案为：题型六：已知函数的单调性求参数范围【精选例题】【例1】若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案.【详解】开口向上，对称轴为，要想在区间上为单调减函数，则.故选：D【例2】若函数的单调增区间是，则_________【答案】【详解】令，可得，因为函数的单调增区间是，所以，解得【例3】（多选题）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值可以是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【分析】根据题意设，通过变形得到恒成立，进而构造，转化为在上单调递减进而分类讨论求解即可.【详解】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立，令，则恒成立，所以函数在上单调递减.当时，在上单调递减，符合题意；当时，要使在上单调递减，则解得.综上所述，实数a的取值范围是.故选：AB【例4】（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的定义域为B．在上的值域为C．若在上单调递减，则D．若，则在定义域上单调递增【答案】AC【分析】求得的定义域判断选项A；求得在上的值域判断选项B；求得a的取值范围判断选项C；求得时的单调性判断选项D.【详解】选项A：由得，则的定义域为.判断正确；选项B：，由，可得，则，当时，，则在上的值域为；当时，，，即在上的值域为；当时，，，即在上的值域为.综上，当时，在上的值域为；当时，在上的值域为；当时，在上的值域为.判断错误；选项C：，若在上单调递减，则，解之得.判断正确；选项D：，则时，在和上单调递增.判断错误.故选：AC【例5】已知函数与在区间上都是减函数，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】根据二次函数的表达式可知，的对称轴为，开口向下，若在区间上是减函数，则，是反比例函数，若在区间是减函数，则，所以故选：C【例6】（多选题）已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是（

）A．函数在上不具有单调性B．当时，在上递减C．若的单调递减区间是，则a的值为D．若在区间上是减函数，则a的取值范围是【答案】BD【详解】当时，，在上是减函数，A错误；当时，，其单调递减区间是，因此在上递减，B正确；由的单调递减区间是得，a的值不存在，C错误；在D中，当时，，在上是减函数；当时，由，得，所以a的取值范围是，D正确；故选:BD【例7】已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）设，若在上是单调函数，求实数m的取值范围.解析：（1）由题意可设，即，由的图象过点，可得，解得，所以（2），对称轴，因为在上是单调函数，所以，解得【跟踪训练】1.函数在区间上单调递增，则的取值范围是有（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为函数，开口向下，对称轴为，依题意，解得，即，故选：D2.若函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是______．【答案】【详解】函数在上是严格增函数，.故答案为：.3.函数，对且，，则实数的范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为对且，，所以函数在区间单调递减，函数的对称轴是，所以，得.故选：B4.若是上的严格增函数，则实数a、b的取值范围分别是_________________．【答案】，【详解】，在上为增函数，，故答案为：，5．已知函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则a的取值范围是______.【答案】【详解】将函数整理变形，得，因为该函数在区间上是严格减函数，并且函数值不恒为负，所以，且当时，函数值，解得.故答案为：6.已知函数在区间上是严格增函数，则实数的范围是____________．【答案】【详解】令，解得或，∴当时，在上是严格增函数；若时，函数在上单调递增，又函数在区间上是单调递增，故；若时，函数在上单调递增，则函数在区间上是单调递增恒成立，综上m的范围是．故答案为：题型七：分段函数的单调性求参数范围①分段函数递减必须满足，每一段是减函数，同时保证在分端点左右两端相等或递减，列式即可求解.②分段函数递增必须满足，每一段是增函数，同时保证在分端点左右两端相等或递增，列式即可求解.【精选例题】【例1】若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意知，要使在上单调递增，则，解得【例2】已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用已知条件判断函数的单调性然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围.【详解】对任意的实数，都有,即成立，可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；可得：，解得，故选：C【例3】已知函数若对任意，，且，有成立，则实数a的值是（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【详解】因为成立，所以函数在R上单调递减，由题意，得,所以．故选:D．【例4】已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（

）A．[4，0) B．[4，2] C． D．【答案】B【详解】解：因为且在上单调递增，所以，解得，即故选：B【例5】已知函数（）是区间上的增函数，则实数t的取值范围是（

）A．{1} B． C． D．【答案】D【详解】∵（）是区间上的增函数，∴，∴．故选：D．【跟踪训练】1.函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（

）A．(－∞，1] B．(1，5) C．[1，5) D．[1，4]【答案】D【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数，则，解得．故选：D．2.已知为增函数，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为为增函数，故，解得.故选：.4.已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】对任意的实数，都有,即成立，可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；可得：，解得，故选：C5.已知函数，对于任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a取值范围是________．【答案】【详解】因为对于任意两个不相等的实数，都有，不妨设，则，故，即，所以在上为单调递增函数，当时，，所以的图像是由的图像，将轴下方的部分沿轴往上翻折，同时保留轴上方的部分而得，如图所示：因为在上为单调递增函数，所以；当时，为增函数，所以；且在处，，解得；综上，.故答案为：.6.已知函数则“”是“在上单调递减”的（

）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若在上单调递减，则，解得.所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件.故选：B题型八：复合函数单调性（同增异减）解题思路：形如的复合函数，要看成外函数和内函数，利用同增异减【精选例题】【例1】函数的增区间为【答案】【详解】函数的定义域为，解得设，对称轴，所以函数的增区间为【例2】已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数的取值范围是【答案】D【详解】由函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，得在上单调递增，设，则在上单调递增，且当时，，不满足题意，当时，必有，解得【例3】已知函数的定义域为,则函数的单调递增区间是A.B.C.D.【答案】【详解】函数的定义域为，解得设，对称轴，开口向下，所以函数的单调递增区间是为【例4】已知函数在定义域上单调递增，则函数在区间（

）单调递增.A． B． C． D．【答案】D【详解】因为函数在定义域，所以函数的定义域为.令，所以为增函数，为减函数，又在为增函数，所以函数在区间.故选：D【例5】（多选题）若函数均是定义域为R的增函数，则下列函数在其定义域上为增函数的是（

）A．B．C．D．【答案】ACD【详解】函数均是定义域为R的增函数，所以不是常数函数，设，则，对于A，设则，所以为单调递增函数，故A正确；对于B，函数均是定义域为R的增函数，但是不是单调增函数，故B错误；对于C，设，则因为，所以，，即是定义域为R的增函数，故C正确；对于D，因为函数均是定义域为R的增函数，根据复合函数的单调性可得是定义域为R的增函数，故D正确.故选：ACD.【跟踪训练】1.函数的单调递增区间为______.【答案】【详解】由题意可得，即，解得：，所以函数的定义域是，是由和复合而成，因为对称轴为，开口向下，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，而单调递增，所以的单调递增区间是，故答案为：.2.函数的单调增区间为（

）A． B． C．和 D．【答案】C【详解】由可得且，因为开口向下，其对称轴为，所以的减区间为和所以的单调增区间为和故选：C3.函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是【答案】【详解】函数的定义域为，解得设，对称轴，开口向下，所以函数的单调递增区间是为4.已知在定义域内是减函数，且，则下列函数在其定义域内为增函数的是______（填序号）．①（为常数）；②（为常数）；③；④．【答案】②③【详解】在定义域内是减函数，且，在定义域内也是减函数，①不符合题意；函数在定义域内为增函数，②符合题意；令，函数在上为减函数，故在定义域内为增函数，③符合题意；令，则在上是增函数，根据复合函数的单调性可知是减函数，④不符合题意．故答案为：②③.题型九：抽象函数单调性解不等式解题思路：①分边，写成或者的形式②利用单调性求解【精选例题】【例1】若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（）【答案】D【详解】因为函数在单调递增，且所以，即解得【例2】已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围为______.【答案】【详解】由题意，得解得①.因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②.由①②得.所以满足题设条件的的取值范围为.故答案为：【例3】设是定义在上的单调增函数，且对定义域内任意，都有，且，则使不等式成立的的取值范围是______．【答案】【详解】因为是定义在上的单调增函数，且，所以，且．又，所以，因此，即，所以．故答案为：．【例4】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0,4x－x2，x＜0))，若f(2－a2)＞f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C解析：函数，由函数解析式可知，在上是单调递增函数，因f(2－a2)＞f(a)，得，即，解得【例5】设是定义在上的增函数，且不等式