第八章 直线回归与相关分析

直线相关与回归分析第八章1第一节第二节第三节回归与相关的概念直线回归直线相关直线回归与相关分析第八章2第一节：回归与相关的概念相关变量因果关系平行关系回归分析（regressionanalysis）相关分析（correlationanalysis）一个变量的变化受另一个变量或几个变量的制约两个以上变量之间共同受到另外因素的影响3研究“一因一果”，即一个自变量与一个依变量的回归分析称为一元回归分析；

研究“多因一果”，即多个自变量与一个依变量的回归分析称为多元回归分析。直线回归分析曲线回归分析多元线性回归分析多元非线性回归分析4Y=a+bx^直线回归方程(linearregressionequation)截距(intercept)回归截距斜率(slope)回归系数(regerssioncoefficient)自变量与x值相对应的依变量y的点估计值第二节：直线回归LinearRegression5黏虫孵化历期平均温度与历期天数关系图01020304010121416182022温度天数（天）（℃）6一、回归方程的建立和直线回归的基本假定1．回归方程的建立(求出离差最小的直线)（1）由观测值计算6个一级数据

观测值的对数;

自变量的总和;

自变量的平方和

因变量的总和;

因变量的平方和;

两变量的乘积和7（2）由一级数据推算5个二级数据：

;

(显著性检验时采用);

;SP（乘积和）：表示变量x的离均差和y的离均差的乘积之和，简称乘积和，记作SP。

;8（3）计算回归系数b和截距a的值：

()

回归系数：回归直线的斜率叫做回归系数，其含义是自变量x增加一个单位，y平均增加或减少的单位数。（4）列出回归方程：回归和相关分析结果仅适用于自变量的试验取值范围。92.进行直线回归分析时应符合的基本条件（基本假定）

（1）x是没有误差的固定变量；而y是随机变量，具有随机误差。

（2）x的任一值都对应着一个y的总体，且呈正态分布。

（3）随机误差是相互独立的，且呈正态分布。10二、假设检验

对两个变量间的线性关系的显著性进行检验时，采用的方法是

F

检验或

t

检验。

直线回归中，只有一个自变量，所以回归平方和的自由度为1，离回归平方和的自由度为n－2。1.计算回归平方和U和离回归平方和Q：

;2.F检验：

说明两个变量间存在显著性的线性回归关系。113.

和

的显著性检验：

：

，式中：

：回归系数标准误;误差均方：

时拒绝

。：

，

时拒绝

。12例8－1.从小白鼠出生后的第六天起，每隔3天称重一次，直到第18天，得到如下数据，试计算日龄x与体重y的直线回归方程，并对回归关系进行显著性检验。

序号12345日龄x69121518体重y121722252913（一）求回归方程：（1）由观测值计算6个一级数据

14（2）由一级数据推算5个二级数据：15（3）计算回归系数b和截距a的值：（4）列出回归方程：16（二）假设检验：（1）计算回归平方和U和离回归平方和Q：（2）F检验：

因为，所以，。说明小白鼠体重和日龄间的直线关系不显著。17例8－2.研究了鲟鱼对某种饲料的摄食率（x）和消化率（y），得到如下资料，试求出直线回归方程，并进行显著性检验。

编号123456摄食率x0.10.090.0850.070.060.055消化率y0.750.780.800.850.880.8918（一）求回归方程：（1）由观测值计算6个一级数据19（2）由一级数据推算5个二级数据：20（3）计算回归系数b和截距a的值：

（4）列出回归方程：21（二）假设检验：（1）计算回归平方和U和离回归平方和Q：

（2）F检验：因为，所以，说明鲟鱼的摄食率（x）同消化率（y）之间存在极显著的直线关系。22第三节：直线相关LinearCorrelation一、相关系数和决定系数二、相关系数的假设检验23

如果两个变量呈平行关系，可以通过相关的方法来研究两个变量的关系，不可进行回归分析。相关分析只能研究两个变量间的相关程度和性质，不能用一个变量的变化来预测另一个变量的变化。一、相关系数(Correlationcoefficient)

两个变量之间的线性回归是否显著，可以通过检验回归系数b的显著性和方差分析来确定，另一个衡量标志就是相关系数（r）。相关系数是由于回归因素所引起的变差与总变差之比的平方根。r越大，两变量相关越密切。24

，由于，所以，可见，

，

，当

时，，完全相关；当

时，，完全不相关。

，正相关；

负相关。相关系数r的取值区间为[-1，1]。相关系数r的绝对值越接近于1，则说明两个变量间的相关程度越高。25二、相关系数的显著性检验

1．

检验：

；2．相关系数检验表（r或R临界值表）表中设

和

两个显著水平，剩余自由度

；独立自变量个数

，一元回归

。从表中查出

值，当

时，变量间显著相关。263．相关系数与回归系数的关系自变量因变量回归系数

27

例如，粘虫孵化历期的平均温度x与历期天数y呈线性关系，其中r=﹣0.9682，r2=0.9374，则说明x与y呈负相关，x与y的变异有93.74％可以用线性关系来解释。5．回归和相关分析的联系和区别。（