3 机器人动力学

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机器人动力学分析机器人速度分析机器人静力计算机器人动力学分析机器人速度分析机器人速度雅可比矩阵机器人速度分析的两类问题机器人速度雅可比矩阵二自由度平面关节机器人工业机器人速度雅可比矩阵J为2×2的偏导数矩阵，称为二自由度平面关节机器人的速度雅可比矩阵，它反映了关节空间微小运动d

与手部作业空间微小位移dX的关系。J矩阵的值是

1、

2的函数。机器人速度雅可比矩阵转动关节：qi=

i；移动关节：qi=di。J(q)为6×n的偏导数矩阵，称为n自由度机器人的速度雅可比矩阵。其元素为：对于n自由度机器人，其关节变量可用广义关节变量q表示，即：其微分：反映了关节空间的微小运动；机器人末端在操作空间的位姿的位姿X是关节变量q的函数，即：由式(2-44)可知：其微分：反映了操作空间的微小运动，它由机器人末端微小线位移(dx,dy,dz)和微小角位移(

x,

y,

z)组成；于是式(3-8)可写为：机器人速度分析的两类问题已知各关节速度，求手部速度已知手部速度，求各关节速度已知各关节速度，求手部速度V：机器人末端在操作空间中的广义速度；：机器人关节在关节空间中的速度；J(q)：确定关节空间速度与操作空间速度V之间关系的雅可比矩阵，即速度雅可比矩阵；根据此式，已知关节上的速度，可求出机器人末端（即手部）的速度。已知各关节速度，求手部速度右边第一项：表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项：表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度：两个速度矢量的合成。机器人速度雅可比矩阵的每一列表示其他关节不动而某一关节运动产生的端点速度。已知手部速度，求各关节速度如果希望机器人手部在空间按规定的速度进行作业，则根据上式便可计算出沿路径上每一瞬时相应的关节速度。J-1出现奇异解的两种情况：工作域边界上奇异：当机器人臂部全部伸展开或全部折回而使手部处于工作域的边界上或边界附近时，出现逆雅可比矩阵奇异。这时机器人相应的形位叫做奇异形位；当机器人处于奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多的自由度。这意味着在空间某个方向（或子域）上，不管机器人关节速度怎样选择，手部也不可能实现移动；工作域内部奇异：是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。如果给定机器人的手部速度，则可解出相应的关节速度，即：已知手部速度，求各关节速度如图所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s速度移动，杆长为l1＝l2＝0.5m。设在某瞬时

1＝30

，

2＝-60

，求相应瞬时的关节速度。二自由度机械手手爪沿X0方向运动已知手部速度，求各关节速度机器人静力计算机器人力雅可比矩阵机器人静力计算的两类问题机器人力雅可比矩阵末端操作器及各关节的虚位移假定关节无摩擦，并忽略各赶建的重力，如果作用于机器人关节上的广义关节力矩为

，机器人手部端点力（即机器人手部对外界环境的作用力）为F，则：机器人力雅可比矩阵机器人静力计算的两类问题已知机器人手部端点力F或外界环境对机器人手部的作用力F'(F=F')，求关节驱动力矩；已知关节驱动力矩，求机器人手部对外界环境的作用力：这类问题是第一类问题的逆解。当机器人的自由度不为6时，力雅可比矩阵就不是一个方阵，则JT就没有逆解。所以，对这类问题的求解就困难得多，在一般情况下不一定能得到唯一的解。机器人静力计算的两类问题如图所示为一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点力F＝[Fx

Fy]T，求相应于端点力F的关节力矩（不考虑摩擦）。机器人静力计算的两类问题机器人静力计算的两类问题在某瞬时

1＝0

，

2＝90

，则在该瞬时与手部端点力相对应的关节力矩为：机器人动力学分析机器人动力学分析的两类问题机器人动力学分析的方法机器人动力学分析的两类问题已知关节位置、速度、加速度，求关节驱动力矩；已知关节驱动力矩，求关节位置、速度、加速度。机器人动力学分析的方法拉格朗日法：不仅能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，而且具备显式结构，物理意义比较明确。牛顿-欧拉法高斯法凯恩法机器人动力学分析拉格朗日函数拉格朗日方程用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤二自由度平面关节机器人运动学方程机器人动力学方程的简化关节空间与操作空间动力学方程拉格朗日函数：系统的动能与势能之差。拉格朗日方程用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤选取坐标系，选定广义关节变量与广义力；求各构件的动能与势能，构造拉格朗日函数；求系统动力学方程。二自由度平面关节机器人动力学方程选定坐标系、广义关节变量与广义力二自由度平面关节机器人动力学方程求系统动能：求系统势能：构造拉格朗日函数：二自由度平面关节机器人动力学方程求系统动力学方程：求系统动力学方程：二自由度平面关节机器人动力学方程求系统动力学方程：二自由度平面关节机器人动力学方程求系统动力学方程：二自由度平面关节机器人动力学方程求系统动力学方程：二自由度平面关节机器人动力学方程含有或

的项表示由加速度引起的关节力矩项，其中：含有或

的项表示由离心力引起的关节力矩项，其中：含有D11和D22的项分别表示由关节1加速度和关节2加速度引起的惯性力矩项；含有D12表示关节2的加速度对关节1的耦合力矩项；含有D21表示关节1的加速度对关节2的耦合力矩项。含有D122的项表示由关节2速度引起的向心力对关节1的耦合力矩项；含有D211的项表示由关节1速度引起的向心力对关节2的耦合力矩项。二自由度平面关节机器人动力学方程含有的项表示由哥式力引起的关节力矩项，其中：只含有

1,

2的项表示由重力引起的关节力矩项，其中：含有D1的项表示连杆1、连杆2的质量对关节1引起的重力矩项；含有D2的项表示连杆2的质量对关节2引起的重力矩项。含有D112的项表示哥式力对关节1的耦合力矩项；含有D212的项表示哥式力对关节2的耦合力矩项。二自由度平面关节机器人动力学方程机器人动力学方程的简化当杆件质量不是很大，重量很轻时，动力学方程中的重力矩项可以省略；当关节速度不是很大，机器人不是高速机器人时，含有,,

的项可以省略；当关节加速度不是很大，关节电机的升降速度不是很突然时，含有，的项可以省略。关节空间与操作空间动力学方程关节空间与操作空间关节空间动力学方程操作空间动力学方程关节空间动力学方程与操作空间动力学方程的关系关节空间与操作空间关节空间：n个自由度操作臂的末端位姿X由n个关节变量所决定，这n个关节变量也叫做n维关节矢量q，所有关节矢量q构成了关节空间。操作空间：机器人末端操作器的作业是在直角坐标空间中进行的，即操作臂末端位姿X是在直角坐标空间中描述的，把这个空间叫做操作空间。在关节空间和操作空间中操作臂动力学方程及末端操作器动力学方程有不同的表示形式，但两者之间存在着一定的对应关系。关节空间动力学方程D(q)：n×n的正定对称矩阵；：n×1的向心力和哥式力矢量；G(q)：n×1的重力矢量。描述了操作臂的动力学特性，反映了操作臂的关节力矩

与关节变量q、关节速度、关节加速度的函数关系。操作空间动力学方程描述了末端操作器的动力学特性，反映了末端操作器的操作力F与其加速度以及关节变量q、关节速度之间的