湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题（ 含答案解析 ）

炎陵县2023年下学期高二入学考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】对已知等式化简直接求解复数【详解】由，得，，故选：A2.已知向量，，若//，则t＝（）A. B.2 C.4 D.【答案】D【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示运算求解.【详解】因为//，则，解得.故选：D.3.已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为4，则该圆锥的体积等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由条件易得圆锥的底面半径和高，结合圆锥的体积公式计算即可.【详解】因为圆锥轴截面是边长为4正三角形，所以圆锥的底面半径为2，高，所以圆锥的体积为.故选：A4.已知有样本数据2、4、5、6、8，则该样本的方差为（）A.5 B.4 C.2 D.0【答案】B【解析】【分析】根据平均数和方差的计算公式即可得出答案.【详解】解：平均数为．该样本的方差为．故选：B．5.已知两条不同直线，两个不同平面，则下列命题正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则【答案】B【解析】【分析】利用线线、线面、面面的平行和垂直关系的判定和性质解答.【详解】A选项中可以异面，故A错误.，，，所以，在内可找到的平行线,,可得到.故B正确.对于C选项，很明显.故C错误.对于D选项，的位置关系无法确定，相交、平行、异面均有可能.故D错误.故选：B.6.如图是根据某市1月1日至1月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天的最低气温的第50百分位数是（）A.2℃ B.1℃ C.0℃ D.℃【答案】C【解析】【分析】先将10个数由小到大排列，第50百分位数指是这个数要大于等于这组数50%的数，由于5是整数，故第50百分位数是第5个和第6个数和的一半.【详解】由折线图可知，这10天的最低气温（C）按照从小到大排列为：，，，，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以是整数，则这10天的最低气温的第50百分位数是（℃）．故选：C7.棣莫弗公式（其中为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由棣莫弗公式对复数化简可得答案【详解】由已知得，∴复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限．故选：C．8.六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为，则正八面体外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正八面体的结构特征结合条件可得外接球的半径，进而由球的体积公式即得体积.【详解】如图正八面体，连接和交于点，因为，，所以，，又和为平面内相交直线，所以平面，所以为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为，因为正八面体的表面积为,所以正八面体的棱长为，所以，，，则，.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.已知中，，，，则下列结论正确的有（）A.为钝角三角形 B.为锐角三角形C.面积为 D.【答案】AC【解析】【分析】由余弦定理求得最大角可判断A和B；由面积公式可判断C；由数量积可判断D.【详解】在中，，∴，∴为钝角三角形，故选项A正确，选项B错误；，故选项C正确；，故选项D错误.故选：AC．10.下列命题错误的有（）A.若、都是单位向量，则B.若，且，则C.若非零向量与是共线向量，则、、、四点共线D.向量的模与向量的模相等【答案】ABC【解析】【分析】直接利用单位向量，向量的相等，向量的共线，向量的模的相关的定义的应用判断A、B、C、D的结论．【详解】解：对于A：若，都是单位向量，则，因为，的方向不一定相同，故，不一定相等，故A错误；对于B：因为，且，当时，与任何向量都平行，故不能得到，故B错误；对于C：非零向量与而是共线向量，即，不能得到、、、四点共线，故C错误；对于D：向量与向量互为相反向量，故向量与向量的模相等，故D正确：故选：ABC．11.如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，下列运算结果，正确的有（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用互斥事件的概念和古典概型的概率的求法直接判断即可【详解】对于A：∵，∴．故A正确；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：∵，∴；故D错误；故选：ABC．12.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A.丁险种参保人数超过五成 B.41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C.18－29周岁人群参保的总费用最少 D.人均参保费用不超过5000元【答案】ACD【解析】分析】根据统计图表逐个选项进行验证即可.【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例，故A正确由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的不到五成，B错误由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为，周岁以上参保人数最少比例为，周岁以上人群人均参保费用,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D正确故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知与的夹角为，则__________【答案】21【解析】【分析】利用向量的数量积的运算定律进行求解即可.【详解】解：由题意得：故答案为：2114.在复数范围内，方程的解集为______．【答案】【解析】【分析】直接一元二次方程的求根公式求解【详解】解：由求根公式可得所以方程的解集为．故答案为：15.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．【答案】60【解析】【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：.故答案为60.16.设样本空间含有等可能的样本点，且事件，事件，事件，使得，且满足两两不独立，则______.【答案】【解析】【分析】根据古典概型概率计算及相互独立性推测即可.【详解】由题意，，所以，所以是共同的唯一的样本点，又两两不独立，即，，，可见不可以为或，所以为或，即.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①，，；②，，；③，，这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知___________，解三角形.【答案】答案见解析【解析】【分析】选择条件①：利用正弦定理求出，即可得出，再利用正弦定理即可求出；选择条件②：利用正弦定理求出，即可求出和；选择条件③：利用正弦定理求出，即可求出和.【详解】选择条件①：因为，，，由正弦定理得，即，所以，则或（舍去），所以，因为，由正弦定理可得，则.选择条件②：因为，，，由正弦定理得，即，所以，解得或，符合题意，当时，，则，当时，，则；选择条件③：因，，，由正弦定理得，即，则，所以，所以，18.已知函数（1）求的最小正周期；（2）求的单调区间；（3）若，求的最大值及最小值.【答案】（1）.（2）单调增区间为，单调减区间为.（3）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由三角函数的周期性及其求法可得周期.（2）利用余弦函数的性质求出单调区间.（3）根据三角函数的取值范围求出最值以及自变量的取值.【小问1详解】，∴的最小正周期为.【小问2详解】由，得，由，得，∴的单调增区间为，的单调减区间为.【小问3详解】由，则，，∴当，即时，取最大值为；当，即时，取最小值为.19.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350（单位：）之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示：（1）求在被调查的用户中，用电量落在区间的户数；（2）求直方图中x的值；（3）求这组数据的平均数.【答案】（1）30户（2）0.0044（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估计频数即可；（2）根据频率分布直方图的各矩形面积和为求解即可；（3）根据频率分布直方图估计平均数即可.【小问1详解】解：，所以在被调查的用户中，用电量落在区间的户数为30户【小问2详解】解：所以直方图中x的值为0.0044.【小问3详解】解：各区间的中点值分别为：75､125､175､225､275､325，所以这组数据的平均数为.20.甲､乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号.第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，第m行､第n列的数据是甲队第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率.0.50.30.20.60.50.30.80.70.6（1）求甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率；（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？【答案】（1）；（2）甲队队员获胜的概率更大一些.【解析】【分析】（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰这个事件的发生应是甲队1号输给乙队1号，然后甲队2号上场，三场全胜，由独立事件概率公式计算可得；（2）第三局比赛甲胜可分为3个互斥事件：甲队1号胜乙队3号，甲队2号胜乙队2号，甲队3号胜乙队1号，分别计算概率后相加可得．然后由对立事件概率得出乙队胜的概率，比较后要得结论．【详解】解：（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率为（2）第3局比赛甲队队员获胜可分为3个互斥事件（i）甲队1号胜乙队3号，概率为；（ii）甲队2号胜乙队2号，概率为；(iii)甲队3号胜乙队1号，概率为故第3局甲队队员胜的概率为.则第3局乙队队员胜的概率为因为，故甲队队员获胜的概率更大一些．【点睛】关键点点睛：本题考查相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式．解题关键是把事件“第3局比赛甲队队员获胜”分斥成3个互斥事件，然后分别求得概率后易得出结论．21.已知直四棱柱的所有棱长均为2，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由直棱柱的性质，线面平行的判定即可证面.（Ⅱ）取AC中点O，连，，由线面垂直的判定知面，则即为二面角的平面角，再由余弦定理求即可.【详解】（Ⅰ）由直四棱柱，得，面，面，∴面.（Ⅱ）取AC中点O，连，，则，，又，∴面，由二面角定义，即为二面角的平面角，由，，即.22.如图，已知四棱锥，且，，，，的面积等于，E是PD是中点.（Ⅰ）求四棱锥体积的最大值；（Ⅱ）若，.（i）求证：；（ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）证明见解析；（ii）.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知求得到的距离，再由面面时，四棱锥体积有最大值，即可求得四棱锥体积的最大值；（Ⅱ）（i）记点在上的射影为，由，可得，可得四边形为矩形，得，结合，得面，从而得；（ii）取中点，可得四边形为平行四边形，得，得到直线与平面所成角即为直线与平面所成角，再证明得面，作