等式性质与不等式性质（七大题型）

2．1等式性质与不等式性质【题型归纳目录】题型一：用不等式（组）表示不等关系题型二：作差法比较两数（式）的大小题型三：作商法比较两数（式）的大小题型四：利用不等式的性质判断命题真假题型五：利用不等式的性质证明不等式题型六：利用不等式的性质比较大小题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围【知识点梳理】知识点一、符号法则与比较大小实数的符号：任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立．两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：①两个同号实数相加，和的符号不变符号语言：；②两个同号实数相乘，积是正数符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数符号语言：④任何实数的平方为非负数，0的平方为0符号语言：，．比较两个实数大小的法则：对任意两个实数、①；②；③．对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立．知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据．知识点二、不等式的性质不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分基本性质有：（1）对称性：（2）传递性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，运算性质有：（1）可加法则：（2）可乘法则：（3）可乘方性：知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据．知识点三、比较两代数式大小的方法作差法：任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．中间量法：若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量．【典型例题】题型一：用不等式（组）表示不等关系例1．（2023·全国·高一专题练习）某高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，同一车道上的车间距不得小于，用不等式表示为（

）A．且 B．或C． D．【答案】A【解析】直接根据速度与车距的限制列不等式即可.因为高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，所以；因为同一车道上的车间距不得小于，所以，因为两个规则都必须遵守，所以，且，故选：A.例2．（2023·湖北黄冈·高一校考期中）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），这个规定用数学关系式表示为（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】根据长、宽、高的和不超过可直接得到关系式.长、宽、高之和不超过，.故选：.例3．（2023·高一单元测试）如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列不等式即可．把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，设道路的宽应为x米，草坪面积为（22﹣x）（17﹣x），因为草坪的面积不小于300m2，所以(22－x)(17－x)300，故选：B．变式1．（2023·全国·高一专题练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（

）A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱【答案】C【解析】依题意可设买大竹子，每根单价为，购买小竹子，每根单价为，所以，即，即，因为，所以，根据选项，，所以买大竹子根，每根元.故选：C变式2．（2023·安徽滁州·高一校考阶段练习）某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为（

）A． B．C． D．0.8×5x＋2×4y≤50【答案】A【解析】买票面8角的x套，而票面8角的每套5张，知：每套价格为元买票面2元的y套，而票面2元的每套4张，知：每套价格为元∵某同学拿50元钱买纪念邮票∴+≤50又知，每种邮票至少买两套：故且综上，有不等式组故选：A【方法技巧与总结】将不等关系表示成不等式（组）的思路（1）读懂题意，找准不等式所联系的量．（2）用适当的不等号连接．（3）多个不等关系用不等式组表示．题型二：作差法比较两数（式）的大小例4．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则与的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以，所以.故选：D例5．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B例6．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．不能确定【答案】C【解析】因为，，则，又因为，所以，所以，可得，所以．故选：C变式3．（2023·湖北十堰·高一校考期中）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故，，故，综上：故选：A变式4．（2023·江苏·高一专题练习）已知a为实数，，，则M，N的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，所以．故选：A．变式5．（2023·全国·高一专题练习）已知，则必有（

）A． B．且C． D．且【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，，所以，符号不能确定，所以的大小不能确定所以且.故选：D.变式6．（2023·全国·高一专题练习）已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以，当且仅当时取等号,，，为不全相等的实数，因此等号不成立，即，．故选：A【方法技巧与总结】作差法比较大小的步骤题型三：作商法比较两数（式）的大小例7．（2023·全国·高一专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【答案】C【解析】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C.例8．（2023·全国·高一专题练习）设，，则（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】，，则.故，当且仅当时，取等号，故选：D例9．（2023·全国·高一专题练习）若，则、、、中最小的是.【答案】【解析】因为，所以，，因为，，所以，即故答案为：变式7．（2023·全国·高一专题练习），则的大小关系为．【答案】≥【解析】因为，则由所以故答案为：变式8．（2023·高一课时练习）如果，，那么，，从小到大的顺序是【答案】【解析】因为三个式子很明显都是负数，所以，所以；同理，所以。综上：故答案为：【方法技巧与总结】作商法：任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．①；②；③．题型四：利用不等式的性质判断命题真假例10．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）若，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A选项，因为，，则，，所以，，A错；对于B选项，因为，所以，因为，所以，所以，则，，所以，，B对；对于C选项，因为，则，因为，则，C对；对于D选项，因为，，所以，，D对.故选：BCD.例11．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）下列是假命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，，则D．若，，，且，则【答案】ABC【解析】对选项A：当，，时满足，但，错误；对选项B：当，，时，满足，但，错误；对选项C：当，，时满足，，但，错误；对选项D：，所以，正确．故选：ABC例12．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）设为正实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】AC【解析】对于A，由及为正实数，可知，，则，由，可得，所以，故A正确；对于B，若，则，所以，故B错误；对于C，若，则，故C正确；对于D，若，则，故D错误.故选：AC变式9．（多选题）（2023·江苏·高一专题练习）已知∈R，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【解析】对于A：因为，所以，所以，故A正确；对于B：因为，所以，两边同乘以得，故B正确；对于C：因为，所以，所以，又，两式相乘得，故C错误；对于D：,因为，所以,所以，所以，故D正确.故选：ABD变式10．（多选题）（2023·全国·高一专题练习）已知实数，，满足，，那么下列选项中错误的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为实数，，满足，，所以，.对于A：因为，所以，因为，所以，所以A错误；对于B，若，则，因为，所以，所以B错误；对于C，因为，，所以，所以C正确；对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误.故选：ABD变式11．（多选题）（2023·湖南岳阳·高一湖南省岳阳县第一中学校考期末）下列不等式成立的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，，则【答案】BD【解析】对于A，当时，则，故A错误；对于B，由，则，，故B正确；对于C，当，则，故C错误；对于D，由，，则，所以，故D正确．故选：BD．变式12．（多选题）（2023·宁夏吴忠·高一统考期中）若是不为0的实数，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】对于A，当，时，，故A不正确；对于B，因为，，即，故B正确；对于C，当时，，故C不正确；对于D，由可得或或，当时，则，故，即，当时，则，故，当时，则，所以由可得，故D正确.故选：BD．【方法技巧与总结】运用不等式的性质判断真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．（2）解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．题型五：利用不等式的性质证明不等式例13．（2023·高一课时练习）若，则.(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；(2)证明不等式：.【解析】证明：(1)当时，，故，由，且，利用不等式性质可得，；(2)欲证，只需证明，即，①当时，显然不等式成立，②当时，不妨令，即，故，由于，显然成立，故原不等式成立；同理，当时，原不等式也成立.综上所述，对于任意，，均成立.例14．（2023·高一课时练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；（2）已知c>a>b>0，求证：【解析】证明：（1）∵bc≥ad，bd>0，∴，∴＋1≥＋1，∴≤.（2）∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.∵a>b>0，∴又∵c>0，∴，∴，又c－a>0，c－b>0，∴.例15．（2023·高一课时练习）若，，，求证：【解析】证明：，．又，．则，即．又，．变式13．（2023·江苏·高一假期作业）已知三个不等式：①；②；③.若以其中两个作为条件，余下的一个作为结论，请写出一个真命题，并写出推理过程.【解析】解法1：①②③，即若且，则.因为且，所以，则命题成立.解法2：①③②，即若且，则.因为，所以，又因为，所以，则命题成立.变式14．（2023·江苏·高一专题练习）（1）设，，证明：；（2）设，，，证明：.【解析】证明：（1）因为，，所以，。所以，故得证；（2）由不等式的性质知，，所以，又因为根据（1）的结论可知，，所以.所以.变式15．（2023·全国·高一专题练习）已知，且，求证：．【解析】因为，且，所以，，要证明原不等式成立，只需证明，即证，从而只需证明，即，因为，，所以成立，故原不等式成立．【方法技巧与总结】对利用不等式的性质证明不等式的说明（1）不等式的性质是证明不等式的基础，对任意两个实数a，b有ab>0⇒a>b；ab=0⇒a=b；ab<0⇒a<b．这是比较两个实数大小的依据，也是证明不等式的基础．（2）利用不等式的性质证明不等式，关键要对性质正确理解和运用，要弄清楚每一条性质的条件和结论，注意条件的加强和减弱、条件和结论之间的相互联系．（3）比较法是证明不等式的基本方法之一，是实数大小比较和实数运算性质的直接应用．题型六：利用不等式的性质比较大小例16．（2023·河北邯郸·高一校考阶段练习）已知，则与的大小关系为.【答案】【解析】由题设，，故，所以.故答案为：例17．（2023·江苏连云港·高一校考期中）已知，下列命题中正确的是(将正确命题的序号填在横线上)①若，则

②若，则;③若，则;

④若，则.【答案】②③【解析】①若，当时，则，故①错误；②若，不等式两边同时乘以，则，故②正确；③若，不等式两边同时乘以，则，故③正确；④若，当时，则，故④错误；故答案为：②③例18．（2023·全国·高一随堂练习）已知，则的值0（选填“>，<，≥，≤”）．【答案】≤【解析】因为，所以，所以.当时，等号成立故答案为：变式16．（2023·全国·高一随堂练习）设，，，则，，的大小关系．【答案】【解析】因为，，因为，所以，所以，而，而，所以，所以．故答案为：变式17．（2023·高一课时练习）已知，且，，则x，y的大小关系是．【答案】【解析】，，因为，所以，即.故答案为：变式18．（2023·高一课时练习）若．则P，Q的大小关系（用“”，“”，“”连接两者的大小关系）【答案】【解析】依题意可知，所以，所以.故答案为：变式19．（2023·全国·高一专题练习）给出以下四个命题：①；②；③；④．其中真命题的序号是．【答案】②③【解析】①当，，时，满足，当时，所以①不正确；②因为，所以，所以②正确；③；所以③正确；④．反例，，满足条件但是结论不成立．所以④不正确；故答案为：②③．变式20．（2023·高一课时练习）如果，那么与中较大的是.【答案】【解析】由于，所以，所以，所以与中较大的是.故答案为：【方法技巧与总结】注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围例19．（2023·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知，，则的范围是.【答案】【解析】设，其中、，则，解得，所以，，因为，，则，，由不等式的基本性质可得，即.故答案为：.例20．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则下列代数式的范围错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，，则，则有，A正确；对于B，，则，则有，B正确；对于C，，，则有，C错误；对于D，，，则有，D正确；故选：C例21．（2023·河北沧州·高一任丘市第一中学校考期中）若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是（

）A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4【答案】C【解析】∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.故选：C.变式21．（2023·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围.【解析】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．变式22．（2023·高一课时练习）设，，求，，的范围．【解析】∵，，∴，，，∴；当时，，则，所以；当时，；当时，，综上，，故，，．【方法技巧与总结】利用不等式的性质求取值范围的策略建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．“范围”必须对应某个字母变量或代数式，一旦变化出其他的范围问题，则不能再间接得出，必须“直来直去”，即直接找到要求的量与已知的量间的数量关系，然后去求．注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．【过关测试】一、单选题1．（2023·江西·高二校联考开学考试）已知且，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由且，可得，，A正确；由，可得，B正确；取，，则不成立，C错误；，D正确.故选：C2．（2023·天津和平·高三天津一中校考开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，故，即成立，则成立；当时，，但推不出成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A3．（2023·全国·高一专题练习）下列结论不正确的有（

）个①若，则

②若，则③若，，则

④若，则A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】.①当时，在不等式两边同除以,得，故①错误；②令，，满足，不成立，故②错误；③若，不等式两边同乘以负数，不等号方向改变，成立，故③正确；④由，则，故不成立，故④错误.故选：C.4．（2023·广东东莞·高一校联考期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用和符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，若，则下列命题正确的是（）A．若且，则B．若，则C．若，则D．若且，则【答案】B【解析】A中，有，错误；B中，时，，因为，所以，，所以，所以，故B正确；C中，时，，，则，故C错误；D中，由题设，当时，，错误；故选：B.5．（2023·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）某花店搞活动，支玫瑰与支康乃馨价格之和大于元，而支玫瑰与支康乃馨价格之和小于元，那么支玫瑰与支康乃馨的价格比较的结果是（

）A．支玫瑰便宜 B．支康乃馨便宜 C．价格相同 D．不能确定【答案】A【解析】设玫瑰和康乃馨每支分别为x元、y元，则，令，即，则有，解得，所以，即.故选：A6．（2023·高一课时练习）已知，记，则M与N的大小关系是（

）A． B．C． D．不确定【答案】B【解析】，因为，所以，所以.故选:B7．（2023·湖北·高一校联考阶段练习）已知为三个非负实数，且满足，若，则u的最大值与最小值之和为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，所以，，因为为三个非负实数，所以，且，即，所以，即，所以，u的最大值为，最小值为，所以，u的最大值与最小值之和为.故选：A8．（2023·全国·高一专题练习）已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，，则，∵，，即，，∴，则，即.故选：C二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）如果，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因为，所以，A成立；因为，所以，B，C不成立；因为，所以，所以，D成立.故选：AD.10．（2023·全国·高一专题练习）[多选]下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【解析】对于A，若，则，可能均为负数，此时，而，故A错误．对于B，因为，所以，所以，即，故B正确．对于C，将不等式两边同时平方，得，整理得，即，因为，所以不等式成立，故C正确．对于D，因为，所以不妨取，，则，故D错误．故选：BC．11．（2023·云南大理·高一统考期末）设为正实数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【解析】对于A，若，则，即，，，即，A命题正确；对于B，若，可得，,即得，B命题正确；对于C，若，可取，，则，C命题不正确；对于D，若，可取，，则，D命题不正确，故选：AB．12．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则下列不等式不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】，，，，故A正确；，，，，故B不正确；设，则，，，，，，，，，，故C正确、D错误；故选：BD.三、填空题13．（2023·上海青浦·高一校考阶段练习）已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是.【答案】B＜C＜A【解析】方法一：，不妨令，，，，故答案为：B＜C＜A.方法二：∵，，∴由排序原理可知：，∵，，∴A＞C＞B﹒故答案为：B＜C＜A.14．（2023·上海普陀·高一上海市晋元高级中学校考期中）给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③对于正数，若，则.其中真命题的序号是.【答案】①.【解析】因为，，所以，即，故①正确；若，则，故②错误；若，则，所以，所以，又，所以，故③错误；综上，真命题的序号是：①.故答案为：①.15．（2023·北京海淀·高一清华附中校考期末）已知表示，，…，这个数中最大的数.能够说明“，，c，，”是假命题的一组整数，，，的值依次为.【答案】2，1，1，2【解析】依题意，不妨令，则有，，，则原命题等价于，因此当时，不等式不成立，即满足条件的只需排序后的第三个数小于0即可，所以，所求的一组整数，，，的值依次为：2，1，1，2.故答案为：2，1，1，216．（2023·北京·高一校考阶段练习）已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为．【答案】【解析】，由x＞0，y＞0且x≠y知，，,即故答案为：四、解答题17．（2023·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点