直线的倾斜角、斜率及其关系（一）导学案 高二上学期北师大版（2019）选择性必修第一册

高二年级数学学科（A/B）导学案主备班级小组学生姓名课题：【学习目标】1、理解直线的倾斜角与斜率的概念.2、掌握过两点的直线的斜率公式.【重点难点】重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线斜率公式.难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征，建立直线的倾斜角、斜率及直线上任意两点纵横坐标差商之间的关系.【学习流程】◎基础感知1、问题1：直线是最简单的几何图形之一，确定一条直线的几何要素是什么？追问：还有没有其他确定一条直线的方法？ 思考确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线（图2.1-1)，如何利用坐标系确定它的位置？我们知道，两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线．2、问题2：下面我们利用直角坐标系进一步研究确定直线位置的几何要素.观察图2.1-2中经过定点P的直线束，它们的区别是什么？你能用利用直角坐标系中的一些元素将这些直线区分开来吗？设，为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．所以，两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线．在平面直角坐标系中，经过一点可以作无数条直线，它们组成一个直线束（图2.1-2)，这些直线的区别是什么？在上述探究过程中，学生的第一反应是与x轴的夹角.教师要做好引导，说明方向与夹角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度.在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向．因此，这些直线的区别是它们的方向不同．如何表示这些直线的方向？我们看到，这些直线相对于轴的倾斜程度不同，也就是它们与轴所成的角不同．因此，我们可以利用这样图2.1-2的角来表示这些直线的方向．◎探究未知1、倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，把x轴（正方向）按方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角．通常倾斜角用α表示.(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.2．直线的倾斜角α的取值范围为.3.直线的倾斜角的意义是刻画了直线的倾斜程度.点睛：倾斜角还可以这样定义:当直线l与x轴相交时,以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角思考：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？提示由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．例题1.设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为()A.α+45°B.α-135°C.135°-αD.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°◎展示提升一、情境导学交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度,如图,一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点,在水平方向前进的距离为AD,竖直方向上升的高度为DB(如果是下降,则DB的值为负实数),则坡度k=上升高度水平距离=DBAD坡度是利用高度的平均变化率刻画道路的倾斜程度，与坡度的意义类似，在平面直角坐标系中，直线的倾斜程度利用点的坐标表示如下：已知直线l上两点显然，若直线l与x轴垂直时，它的斜率不存在；若直线l与x轴不垂直，则它的斜率存在且唯一。故我们常用斜率来表示直线的倾斜程度.二、深化概念一般地，如图2.1-4，当向量的方向向上时，，平移向量到，则点的坐标为，且直线的倾斜角也是，由正切函数的定义，有．同样，当向量的方向向上时，如图2.1-5，，也有．k=若k是直线l的斜率，则v=(1,k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为（x,y）,其中x≠0，则它的斜率k=三、直线的斜率与倾斜角之间的关系结合正切函数图像可知，斜率k与倾斜角α有如下关系：当α∈0,π2时当α∈(π2，π当α=π2例题已知直线l的倾斜角α，斜率为k（1）若α∈[0,（2）若α∈[π4（3）若k∈[-1,3]，求倾斜角◎达标检测1.直线的倾斜角为（）A．0° B．45° C．90° D．135°2.若点，则直线AB的斜率是（

）A． B． C．1 D．23.若，，三点在同一条直线上，则的值为（

）A． B． C． D．4.下列命题中，正确的是（

）A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增.