2021-2022学年北师大八年级（上）数学寒假作业（八）

2021-2022学年北师大新版八年级（上）数学寒假作业（A）

一.选择题（共6小题）

1.下列各数中，无理数是（）

A.0.121221222B,J-

22

C.ITD.^9

2.（一）2的平方根是（）

A.-AB..1C.4-J.D.

44一44

3.下列命题中，是真命题的是（）

A.如果那么/＞房

B.两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等

C.三角形的外角大于三角形的内角

D.对顶角相等

4.下列各组线段“、仄c中不能组成直角三角形的是（）

A.。=7,Z?=24,c=25B.〃=4,b=5、c=6

C.。=3,b=4,c=5D.。=9,8=12,c=15

5.3月12日是我国的植树节，这天有20位同学共植树52棵，其中男生每人植树3棵，女

生每人植树2棵，若设男生有x人，女生有y人，则根据题意列方程组正确的是（)

fx+y=52（x+y=52

3x+2y=2012x+3y=20

Cfx+y=20Djxq=20

-l2x+3y=52'13x+2y=52

6.已知函数的图象如图，则y=2fcc+匕的图象可能是（）

7.-8的立方根是.

8.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么Z1的大小为

9.估计返二1与0.5的大小关系是：近二10.5.（填“＞，，、"=，，、“＜，，）

22

10.如图，点A坐标为（0,4）,点8坐标为（4,2）.直线8c垂直于y轴于点C.点力

在直线BC上，点8关于直线AO的对称点在y轴上，则点。的坐标为.

11.解方程组：

X+3y=7

（1）（;

Ix=y-9

⑵伊"17

13x+4y=5

12.我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，甲、乙两班根据预赛成绩各选出5名选手组

成甲班代表队和乙班代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的预赛成绩（满分

100）如图所示：

根据图示信息，整理分析数据如表：

平均数（分）中位数（分）众数（分）方差

甲班a85C70

乙班85b100160

（1）填空：甲班2号选手的预赛成绩是分，乙班3号选手的预赛成绩是

分，班的预赛成绩更平衡，更稳定；

（2）求出表格中a=，b=,c—；

（3）学校决定在甲、乙两班中选取预赛成绩较好的5人参加该活动的区级比赛，这5人

13.小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜、1斤排骨共花了43.8元，而两个月前买同重量的这

两样菜只要37元，与两个月前相比，这次萝卜的单价下降了10%,但排骨单价却上涨了

20%,求：两个月前买的萝卜和排骨的单价分别为多少元？

14.如图1,甲、乙两车分别从相距480k*的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小

时.并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地，乙车从8

地直达A地，两车同时到达A地.甲、乙两车距A地的路程y（千米）与甲车出发所用

的时间x（小时）的关系如图2,结合图象信息解答下列问题：

（1）乙车的速度是千米/时，乙车行驶的时间/=小时；

（2）求甲车从C地按原路原速返回4地的过程中，甲车距A地的路程y与它出发的时

间x的函数关系式；

（3）直接写出甲车出发多长时间两车相距110千米.

15.如图，在RtaABC中，ZA=90°,AB=AC,8c=10,点。是直线AC上一动点，Z

BDE=90°,£>B=£>E(DE在BO的左侧).

(1)直接写出AB长为；

(2)若点£>在线段AC上，AD=®,求EC长；

(3)当8E=2亚时，直接写出CD长为.

2021-2022学年北师大新版八年级（上）数学寒假作业（A）

参考答案与试题解析

选择题（共6小题）

1.下列各数中，无理数是（）

A.0.121221222B.工

22

C.TTD.^9

【考点】无理数；算术平方根.

【专题】实数；数感.

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概

念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环

小数是无理数.由此即可判定选择项.

【解答】解：A、0.121221222是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意：

B、二是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

22

C、7T是无理数，故本选项符合题意；

D、炳=3,是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

故选：C.

【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不

循环小数为无理数.如n，0.8080080008-（每两个8之间依次多1个0）等形式.

2.（一）2的平方根是（）

A.-AB.AcD.4-A

444一2

【考点】平方根.

【专题】实数；运算能力.

【分析】先根据乘方的定义得出（-工）2=工，再利用平方根的概念求解可得.

416

【解答】解：•••（-工）2=-L,

416

•.（—）2的平方根是土上

故选：C.

【点评】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握平方根的概念.

3.下列命题中，是真命题的是（）

A.如果那么/＞必

B.两直线被第三条直线所截，截得的内错角相等

C.三角形的外角大于三角形的内角

D.对顶角相等

【考点】命题与定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】根据对顶角的性质、平行线的性质、不等式的性质和三角形外角性质判断.

【解答】解：A、如果。＞匕，当a=l,b--2,不能满足/＞廿，原命题是假命题；

3、两平行线被第三条直线所截，截得的内错角相等，原命题是假命题；

C、三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，原命题是假命题；

。、对顶角相等，是真命题：

故选：D.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判

断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

4.下列各组线段“、仄c中不能组成直角三角形的是（）

A.。=7,Z?=24,c=25B.b=5,c=6

C.4=3,b=4,c=5D.a=9,b=12,c=15

【考点】勾股定理的逆定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识.

【分析】欲求证是否为直角三角形，把每一项给出的三边的长来验证两小边的平方和是

否等于最长边的平方即可.

【解答】解：A、因为82+152=172,所以能组成直角三角形；

B、因为42+52r62,所以不能组成直角三角形；

c、因为32+42=52,所以能组成直角三角形；

D、因为92+122=152,所以能组成直角三角形.

故选：B.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角

形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.

5.3月12日是我国的植树节，这天有20位同学共植树52棵，其中男生每人植树3棵，女

生每人植树2棵，若设男生有x人，女生有y人，则根据题意列方程组正确的是（）

fx+y=52]x+y=52

l3x+2y=20I2x+3y=20

Cfx+y=20D[x+y=20

•l2x+3y=52,13x+2y=52

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.

【分析】根据题意可得等量关系：①男生人数+女生人数=20；②男生植树棵数+女生植

树棵数=52,根据等量关系列出方程组即可.

【解答】解：设男生有x人，女生有y人，根据题意得：

x+y=20

3x+2y=52

故选：D.

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找

出题目中的等量关系，再列出方程组.

6.已知函数的图象如图，则y=2fcc+%的图象可能是（）

【专题】数形结合.

【分析】由图知，函数图象过点（0,1）,即％>0,h=\,再根据一次函数的特

点解答即可.

【解答】解：•.•由函数〉=履+6的图象可知，k>0,b=l,

y=2,kx~^b=2.kx~^\,2k>0,

.,.2k>k,可见一次函数y=2Ax+6图象与x轴的夹角，大于y=Ax+b图象与x轴的夹角.

，函数y=2&+l的图象过第一、二、三象限且与x轴的夹角大.

故选：C.

【点评】一次函数y=Ax+b的图象有四种情况：

①当火>0,b>0,函数的图象经过第一、二、三象限；

②当4>0,b<0,函数y=fcr+b的图象经过第一、三、四象限；

③当ZV0,人>0时，函数的图象经过第一、二、四象限；

④当上<0,b<0时，函数y=Ax+b的图象经过第二、三、四象限.

二.填空题（共4小题）

7.-8的立方根是-2.

【考点】立方根.

【分析】利用立方根的定义即可求解.

【解答】解：•；（-2）3=-8,

二-8的立方根是-2.

故答案为：-2.

【点评】本题主要考查了立方根的概念.如果一个数x的立方等于“，即x的三次方等于

«（?=«）,那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根.读作“三次根号优'其

中，。叫做被开方数，3叫做根指数.

8.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么N1的大小为105°.

【考点】三角形的外角性质.

【专题】三角形；几何直观；运算能力；推理能力.

【分析】直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案.

【解答】解：如图所示：

由题意可得，NA8C=90°,NABD=45°,ZC=60°,

AZCBD=ZABC-ZABD=90°-45°=45°,

VZ1是△BCE的外角，

则/1=/C8O+/C=45°+60°=105°.

故答案为105°.

A

B

【点评】此题主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正确利用三角形外角的性质

是解题关键.

9.估计返二1与0.5的大小关系是：近二1>0.5.（填

22

【考点】实数大小比较.

【分析】首先把两个数采用作差法相减，根据差的正负情况即可比较两个实数的大小.

【解答】解：•.•遮-1_0.5=存10=巡-2,

2222

,:娓-2>0,

...依-2>o,

2

-V5-1>05

2

故答案为：>.

【点评】此题主要考查了两个实数的大小，其中比较两个实数的大小，可以采用作差法、

取近似值法等.

10.如图，点4坐标为（0,4）,点8坐标为（4,2）.直线8c垂直于y轴于点C.点。

在直线8C上，点8关于直线的对称点在y轴上，则点。的坐标为_电7,2）

或（--1,2）•

【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观.

【分析】利用勾股定理求出A8的长，分两种情形求解即可.

【解答】解：•••点A坐标为（0,4）,点B坐标为（4,2）,

•'•AB—>^4^+22=2-/5>

V由题意点。在NC48的角平分线或NCAB的外角平分线上,

作DHVAB于H.

'：DC±AC,DHLAB,4。平分NBAC,

：.DC=DH,

设DC=DH=m,

则有工

222

：.2X4=2m+2-j5m,

•'•m—y/s-1，

：.D（V5-1.2）,

当O'在NCAB的外角平分线上时，同法可得C£>'=A/5+1.

：.D'（-代-1,2）

故答案为：-1，2）或（-A/5-1-2）.

【点评】本题考查坐标与图形变化-对称，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题.

三.解答题（共5小题）

11.解方程组：

⑴产y=7；

Ix=y-9

⑵（5x-2yR

13x+4y=5

【考点】解二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；应用意识.

【分析】（1）利用代入消元法解方程组；

（2）利用加减消元法解方程组.

【解答】解：（1）卜+吃巴

lx=y-9②

把②代入①得y-9+3y=7,

解得y=4,

把y=4代入②得x=4-9=-5,

所以方程组的解为八二七；

Iy=4

（5x-2y=17①

13x+4y=5②’

①X2+②得10x+3x=34+5,

解得％=3,

把x=3代入②得9+4y=5,

解得y=-1，

所以方程组的解为1x=3.

ly=-l

【点评】本题考查了解二元一次方程组：利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程

组.

12.我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，甲、乙两班根据预赛成绩各选出5名选手组

成甲班代表队和乙班代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的预赛成绩（满分

100）如图所示：

根据图示信息，整理分析数据如表：

平均数（分）中位数（分）众数（分）方差

甲班a85c70

乙班85b100160

（1）填空：甲班2号选手的预赛成绩是80分,乙班3号选手的预赛成绩是100

分，甲班的预赛成绩更平衡,更稳定；

（2）求出表格中85，b=80,c=85；

（3）学校决定在甲、乙两班中选取预赛成绩较好的5人参加该活动的区级比赛，这5人

【考点】方差；算术平均数；中位数；众数.

【专题】统计的应用；推理能力.

【分析】（1）结合条形统计图可得甲班2号选手成绩和乙班3号成绩，根据条形统计图

给出的数据可判断出成绩稳定性；

（2）根据中位数、平均数和众数的概念求解可得；

（3）根据平均数的定义计算出学校选取的5名同学的预赛成绩的平均数即可得.

【解答】解：（1）甲班2号选手的预赛成绩是80分，乙班3号选手的预赛成绩是100分,

由折线统计图知，甲班预赛成绩波动幅度小，

二甲班的预赛成绩更平衡，更稳定；

故答案为：80,100,甲；

（2）甲班成绩重新排列为75、80、85、85、100,

则甲班成绩的平均数”=工乂（75+80+85+85+100）=85（分）,

5

甲班的众数c=85（分），

乙班成绩重新排列为70、75、80、100、100,

则中位数6=80（分），

故答案为：85,80,85；

(3)学校选取的5名同学的预赛成绩为：100,100,100,85,85：

则这5人预赛成绩的平均分数为：(100X3+85X2)+5=94(分).

【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概

念的含义.

13.小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜、1斤排骨共花了43.8元，而两个月前买同重量的这

两样菜只要37元，与两个月前相比，这次萝卜的单价下降了10%,但排骨单价却上涨了

20%,求：两个月前买的萝卜和排骨的单价分别为多少元？

【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用.

【专题】一次方程(组)及应用；应用意识.

【分析】设两个月前买的萝卜的单价为x元，排骨的单价为y元，根据“小明的妈妈在

菜市场买回2斤萝卜、1斤排骨共花了43.8元，而两个月前买同重量的这两样菜只要37

元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论.

【解答】解：设两个月前买的萝卜的单价为x元，排骨的单价为y元，

依题意得：俨俨37,

I2X(l-10%)x+(l+20%)y=43.8

解得：产1.

ly=35

答：两个月前买的萝卜的单价为1元，排骨的单价为35元.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组

是解题的关键.

14.如图1,甲、乙两车分别从相距480切i的A、8两地相向而行，乙车比甲车先出发1小

时.并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地，乙车从2

地直达A地，两车同时到达A地.甲、乙两车距A地的路程y(千米)与甲车出发所用

的时间小时)的关系如图2,结合图象信息解答下列问题：

(1)乙车的速度是80千米/时,乙车行驶的时间£=6小时:

(2)求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距A地的路程y与它出发的时

间x的函数关系式；

(3)直接写出甲车出发多长时间两车相距110千米.1.45小时.

【考点】一次函数的应用.

【专题】一次函数及其应用；运算能力.

【分析】(1)直接利用图象求出速度和时间即可：

(2)根据“乙车比甲车先出发1小时”算出甲车时间，找出函数图象经过点(5,0),(2.5,

300),设甲车距A地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为(A#0),代入

计算即可；

(3)先算出甲车的速度，分相遇前和相遇后两种情况进行讨论即可.

【解答】解：(1)由图象可知：

乙车速度为(480-400)4-1=80(千米/时)，

乙车行驶的时间f=480+80=6(小时)，

故答案为：80,6：

(2)由题可知，甲从出发到返回4地需5小时，

函数图象过点(5,0),(2.5,300),

设甲车距A地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为(kWO),

则(O=5k+b,

1300=2.5k+b

解得(k=-120,

lb=600

•*.y=-120x+600；

(3)甲车的速度为3度为2.5=120(千米/时),

①相遇前，

设甲车出发机小时两车相距110千米，

则1207n+80(m+1)+110=480,

解得〃?=1.45,

②相遇后，

由图象可知：甲到达C地时，甲车与乙车的距离最大，

此时乙行驶的路程为80义(2.5+1)=280(千米)，

甲乙两车的最大距离为280+300-480=100(千米)，

故相遇后，两车不可能相距110千米，

，甲车出发1.45小时两车相距110千米，

故答案为：1.45小时.

【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解分段函数所表示的实际意义.

15.如图，在RtZ\4BC中，24=90°,AB=AC,8C=10,点。是直线4c上一动点，Z

BDE=90°,(£>E在8。的左侧).

(1)直接写出AB长为_工行_；

(2)若点。在线段AC上，AD=近,求EC长；

(3)当BE=2收时，直接写出C£>长为7J5或3\/5.

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形.

【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力：推理

能力.

【分析】(1)根据勾股定理计算即可；

(2)过E作EFLAC交AC的延长线于F,根据垂直的定义得到/F=NA=/8£>E=90°,

根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到EF=AD=M，DF

=AB=5&,于是得到结论；

(3)根据等腰直角三角形的性质得到。E=BZ)=屈，根据全等三角形的性质得到。尸

=AB=5EF=AD,根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：(1)•在RtzMBC中，NA=90°,AB=4C,BC=10,

/.C2=2AB2=BC2=100,

；.AB=AC=5&,

故答案为：5近;

(2)过E作EF_LAC交AC的延长线于F,

则/F=/A=/B£>E=90°,

NEDF+NADB=ZADB+ZABD=90°,

NEDF=/IABD,

在△AB。与△FQE中，

'NF=NA=90°,

<ZABD=ZFDE，

BD=DE

A/\ABD^/\FDE(A4S),

:.EF=AD=®,DF=AB=5M，

：.CF=AF-AC=6&-5&=&,

.•.CE=、EF2KF2=2；

(3):NBDE=90°,DB=DE,BE=2\f^,

:.DE=BD=y[^,

由(2)知△ABOg/\FZ)E,

:.DF=AB=5近,EF=AD,

"：AB=AC,

：.DF=AC,

：.CF=AD=EF,

EF=CF=>/DE2_DF2=458-50=272.

当点。在点A的左侧时，C£>=5&-2&=3五,

当点。在点A的右侧时，C£>=5&+2&=7&,

综上所述，C。长为7后或3&,

故答案为：7&或3&.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的选择，勾股定理，全等三角形的判

定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

考点卡片

1.平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于。，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

（2）求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数a的正的平方根表示为“«”，负的平方根表示为“-

正数。的正的平方根，叫做。的算术平方根，记作4.零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

2.算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即7=a,那么这个正数

x叫做”的算术平方根.记为4.

（2）非负数a的算术平方根”有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根。本

身是非负数.

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

3.立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说,

如果/=a,那么x叫做。的立方根.记作：我.

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数.即任意数都有立方根.

（3）求一个数”的立方根的运算叫开立方，其中〃叫做被开方数.

注意：符号“3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负

数都有唯一一个立方根.

【规律方法】平方根和立方根的性质

1.平方根的性质：正数。有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

4.无理数

(1)、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周

率、2的平方根等.

(2)、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

比如4=4.0,13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

(3)学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式；①开方开不尽的数，②无限不循环小

数，③含有n的数，如分数n2是无理数，因为71是无理数.

无理数常见的三种类型

(1)开不尽的方根，如企，73，相等.

(2)特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003…(两个3之间依次多一个0).

(3)含有n的绝大部分数，如2n.

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如J正是有理数，而不

是无理数.

5.实数大小比较

实数大小比较

(1)任意两个实数都可以比较大小.正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负

实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小.

(2)利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比

左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小.

6.一元一次方程的应用

(-)一元一次方程解应用题的类型有：

(1)探索规律型问题；

（2）数字问题:

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=理维*100%）；（4）工程问题（①工作量=

进价

人均效率X人数X时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作

总量）

（5）行程问题（路程=速度X时间）；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题;

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）.

（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,

直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量，找出

之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹人解、答.

列一元一次方程解应用题的五个步骤

1.审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系.

2.设：设未知数（x）,根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知

数.

3.歹I」：根据等量关系列出方程.

4.解：解方程，求得未知数的值.

5.答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句.

7.解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，

将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式代

入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求出x

（或y）的值.④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数

的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相

等或互为相反数.②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一

次方程.③解这个一元一次方程，求得未知数的值.④将求出的未知数的值代入原方程组的

任意一个方程中，求出另一个未知数的值.⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到

原方程组的解，用fx=a的形式表示.

Iy=b

8.由实际问题抽象出二元一次方程组

（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量

和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.

（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示

的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符.

（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系.②将问题中给出的条件按意思分割成

两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系.③借助表格提供信息

的，按横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系.

9.二元一次方程组的应用

（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

（4）求解.

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

（-）设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

10.一次函数的图象

（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0,b）、（-上，0）或（1,什b）作直线

k

注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所

选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确.②一次函数的图象是与坐标轴不平行

的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象.如x=a,y

=〃分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象.

（2）一次函数图象之间的位置关系：直线可以看做由直线），=日平移依个单位而

得到.

当力>0时，向上平移；〃<0时，向下平移.

注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；

②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；

③两条直线相交，其交点都适合这两条直线.

11.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

(1)简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

12.三角形的外角性质

(1)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

(2)三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

(3)若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

(4)探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角

形的外角.

13.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅

助线构造三角形.

14.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是“，b,斜边长为C,那么。2+/=C2.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式“2+廿=02的变形有：4=L2-匕2,%=”^7^及。=

(4)由于。2+62=02>/,所以c>q,同理c>/,,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

15.勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三功长4,b,C满足“2+房=於，那么这个三角形就

是直角三角形.

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足较

小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.

(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个