变化率问题教案-高二下学期数学人教A版选择性

变化率问题教学设计课题变化率问题单元第二单元学科数学年级高二教材分析《变化率问题》是2019人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容。本节课的主要内容是平均速度、瞬时速度的概念，曲线割线与切线斜率的概念及求法。平均变化率是导数概念建立的核心，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，教材通过分析学生熟悉的“高台跳水”的生活实例、曲线上某点处切线斜率的问题，给出平均变化率和瞬时变化率的概念。平均变化率是研究瞬时变化率及导数概念的基础，在整个导数学习中具有重要的地位。在概念的形成过程中，进一步渗透从特殊到一般，数形结合的思想。教学目标与核心素养1数学抽象：平均变化率2逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系3数学运算：瞬时速度、切线斜率的求解4数学建模：平均变化率5直观想象：曲线割线与切线的定义6数据分析：通过“平均速度、瞬时速度的求法”，“曲线割线、切线的斜率的求解”的过程，提升学生获取有价值信息的意识和能力，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质，积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。重点平均速度、瞬时速度的概念及求法，曲线割线与切线的定义及斜率的求法难点平均变化率，曲线割线与切线斜率的概念及两者之间的关系教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢，“指数爆炸”比“直线上升”快得多.进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题.复习引入通过对函数学习的回顾，让学生了解事物变化的快慢，感受不同函数变化快慢的问题，引出课题。讲授新课变化率问题问题1高台跳水运动员的速度探究在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系ℎ(t)=−4.9如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？显然，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快.把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v近似地描述他的运动状态.例如，在0≤tv在1≤tv一般地，在t1v思考计算运动员在0≤t提示：v所以，在0≤t≤显然，这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.探究瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是v，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v将越来越趋近于运动员在t为了求运动员在t=1时的瞬时速度，我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+∆t，∆t当∆t>0时，1+∆t在1之后；当∆当∆t>0时，把运动员在时间段[1,1+∆t]内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1+∆t]内的平均速度v，用平均速度v近似表示运动员在t=1∆t观察给出∆t更多的值，利用计算机工具计算对应的平均速度v∆t无限趋近于0时，平均速度我们发现，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v都无限趋近于事实上，由v可以发现，当∆t无限趋近于0时，−4.9∆t也无限趋近于0，所以v无限趋近于把5叫做“当∆t无限趋近于0时，vlim从物理的角度看，当|∆t|→0时，平均速度v就无限趋近于t=1时的瞬时速度.因此，运动员在t=1时的瞬时速度v思考（1）求运动员在t=2s时的瞬时速度；（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0提示：（1）lim（2）lim问题2抛物线的切线的斜率如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线fx探究如何定义抛物线fx=x与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线fx=x2在点P0(1,1)处的切线，通常在点P0(1,1)观察如图5.11，当点P0(x,x2)沿着抛物线当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线探究fx=x2在点P0从上述切线的定义可见，抛物线fx=x2在P0记∆x=x−1，则点P的坐标是(1+∆x,1+∆k我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔观察利用计算工具计算更多割线P0P的斜率k的值，当∆x无限趋近于0时，割线P我们发现，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k事实上，由

k可以直接看出，当∆x无限趋近于0时，∆x+2无限趋近于2.我们把2叫做“当∆x无限趋近于0时，klim从几何图形上看，当横坐标间隔|∆x|无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T.这时，割线P0P的斜率k无限趋近于点P0思考观察问题1中的函数ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11v的几何意义是什么？瞬时速度v(1)呢？提示：平均速度v的几何意义是：表示过曲线ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11上两点（1，h瞬时速度v(1)的几何意义是：v表示运动员在1s时速度向下，为5m/s.课堂练习1平均变化率也可以用式子∆y∆x表示，其中∆y,∆x的意义是什么？∆y解：∆x=x2−x1是相对于∆y=观察图象，可以看出，∆y∆x表示曲线y=f(x)上两点(x1,f2已知函数fx=3x2+5（1）从0.1到0.2的平均变化率；（2）在区间[x解：（1）∆y=f∆x=0.2−0.1=0.1∴∆y（2）因为函数f所以函数f(x)在区间[x∆y3某河流在一段时间xmin内流过的水量为ym3，y是x的函数，y=f问：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？解：当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是f它表示时间从1min增加到8min的过程中，每增加1min，水流量平均增加174求函数y=x2在x=1、2解：函数y=x2在k函数y=x2在k函数y=x2在k对任意的∆x，都有所以在x=3附近的平均变化率最大.利用信息技术工具，演示图5.11中P的动态变化趋势∆x可以是正值，也可以是负值，但不为0从学生熟悉的“高台跳水”的生活实例入手，分析、归纳、总结，抽象出平均速度与瞬时速度的概念。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模等核心素养。通过物体运动问题，抽象出函数平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率的概念。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养。通过实例，让学生经历由割线的斜率到切线的斜率的过程，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养。课堂小