新课改地区高考数学（人教B版）一轮复习攻略核心素养测评四十四利用空间向量求线线角与线面角

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评四十四利用空间向量求线线角与线面角(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.平面α的斜线l与它在这个平面上的射影l′的方向向量分别为a=(1,0,1),b=(0,1,1),则斜线l与平面α所成的角为 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选C.l与α所成的角为a与b所成的角(或其补角),因为cos<a,b>=a·b|所以<a,b>=60°.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和BB1的中点,则sin<CM,D1N>A.19 B.495 C.2【解析】选B.设正方体的棱长为2,以D为坐标原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,可知CM=(2,2,1),D1N=(2,2,1),cos<CM,D1N>=19,sin<CM3.已知△ABC与△BCD均为正三角形,且AB=4.若平面ABC与平面BCD垂直,且异面直线AB和CD所成角为θ,则cosθ= ()154 B.14 D.【解析】选D.如图,因为等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,所以取BC中点O,则AO,BC,OD两两垂直,以O为原点,建立如图空间直角坐标系Oxyz.则A(0,0,23),B(0,2,0),C(0,2,0),D(23,0,0),所以AB=(0,2,23),CD=(23,2,0),故cos<AB,CD>=AB·CD|AB||4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点,则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为 ()A.62 B.63 C.64【解析】选B.建系如图,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),E1,12,0,F0,12,1,B1(1,1,1).A1B1=(0,1,0),A1E=0,A1F=1,12,0设平面A1EF的一个法向量为n=(x,y,z),则n即1令y=2,则x所以n=(1,2,1),cos<n,A1B1>=2设A1B1与平面A1EF的夹角为θ,则sinθ=cos<n,A1B1即所求线面角的正弦值为635.在正四棱锥SABCD中,O为顶点在底面上的射影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC所成的角是 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选A.如图,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P0,a2,a2,则CA=(2a,0,0),AP=a,a2,a2,CB=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z),则n·CA=0,n则cos<CB,n>=CB·n|CB|·|又因为0°<<CB,n><180°,所以<CB,n>=60°,所以直线BC与平面PAC所成的角为90°60°=30°.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2,则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为________.

【解析】以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D12,0,0,E12,12,0,F0,12,1.所以PA=(0,0,2),DE=0,12,0,DF=12,12,1.设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则由n得y取z=1,则n=(2,0,1),设直线PA与平面DEF所成的角为θ,则sinθ=|cos<n,PA>|=|PA·n所以直线PA与平面DEF所成角的正弦值为55答案:57.在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若AB1与直线A1C的夹角的余弦值是45,则棱AB的长度是________【解析】如图建立坐标系.设AB=a,则A(0,0,0),B1(a,0,2),A1(0,0,2),C(0,1,0),所以AB1=(a,0,2),A所以|cos<AB1,A=|=4a2+4解得a=1,所以棱AB的长度是1.答案:18.在三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________.

【解析】连接A1B交AB1于点O,取A1C1的中点D,连接B1D,DO.因为O,D分别为A1B,A1C1的中点,所以OD∥BC1,所以∠DOB1或其补角即为异面直线AB1与BC1所成的角.设各棱长为a,则DB1=32因为∠A1AB=60°,所以OB1=AO=32又因为BC1=BB1+BC=A所以BC12=(AA1=AA12+2AA1·AC+2AC·AB+AB=a2+2a2cos60°+a22a2cos60°2a2cos60°+a2=2a2,所以|BC1|=所以OD=12BC1=2在△DOB1中,由余弦定理得cos∠DOB1=(32a所以AB1与BC1所成角的余弦值为66答案:6三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在正方体ABCDA′B′C′D′中,已知点H在正方形A′B′C′D′的对角线B′D′上,∠HDA=60°.求DH与CC′所成的角的大小. 【解析】如图所示,以D为原点,DA为单位长度,建立空间直角坐标系Dxyz,则DA=(1,0,0),CC'设DH=(m,m,1)(m>0),由已知,<DH,DA>=60°,由DA·DH=|DA|·|DH|·cos<DH,DA>,可得2m=2m解得m=22,所以DH=22,22,1因为cos<DH,CC'>=22×0+又因为0°<<DH,CC'><180°所以<DH,CC'>=45°即DH与CC′所成的角为45°.10.(2020·黄冈模拟)如图所示,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2, (1)若M为CD的中点,求证:AM丄平面AA1B1B.(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值.【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,连接AC,则△ACD为等边三角形,又因为M为CD的中点,所以AM⊥CD,由CD∥AB,所以AM⊥AB,因为AA1⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,所以AM⊥AA1,又因为AB∩AA1=A,所以AM⊥平面AA1B1B.(2)因为四边形ABCD为菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,所以∠AMD=∠BAM=90°,所以DM=1,AM=3,又因为AA1⊥底面ABCD,分别以AB,AM,AA1为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,A1(