七年级数学上册专题04 数轴动点问题专题探究（解析版）

/专题04数轴动点问题专题探究【知识点睛】数轴动点问题解题步骤总结：①画图形：在数轴上分析标注动点的起始点、运动方向、运动速度②表示线段：根据动点的运动情况，表示出动点所表示的数，再根据数之间的左右关系表示所需线段的表达式③列方程：根据题目要求的线段间的数量关系，列出符合题意的方程；其中，点的位置不确定的，注意分类讨论④求正解，并写答：解出方程中未知数的值，勿忘写“答”。另外，不是所有求出来的值都可取的，根据题目要求的范围，不符合题意的答案需舍去。【类题训练】1．一只蜗牛沿数轴从原点向右移动了5个单位长度到达点A，则点A表示的数是（）A．5 B．﹣5 C．0 D．±5【分析】数轴上，在原点左边的点表示的数为负数，原点表示的数为0，在原点右边的点表示的数为正数，由原点右边的点表示的数等于这点到原点的距离，即可求解．【解答】解：∵由题意知蜗牛沿数轴从原点向右移动了5个单位长度到达点A，首先点A表示的数是正数，又与原点相距五个单位长度，∴点A表示的数是5，故选：A．2．已知点A是数轴上的一点，它到原点的距离为3，把点A向左平移7个单位后，再向右平移5个单位得到点B，则点B到原点的距离为（）A．1 B．﹣5 C．﹣5或1 D．1或5【分析】根据绝对值的定义得到点A表示的数为±3，然后分两种情况分别计算即可．【解答】解：∵点A到原点的距离为3，∴点A表示的数为±3，当点A表示的数为3时，3﹣7+5＝1，|1|＝1；当点A表示的数为﹣3时，﹣3﹣7+5＝﹣5，|﹣5|＝5；故选：D．3．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示﹣1的点重合．将圆沿数轴滚动1周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（）A．π﹣1 B．﹣π﹣1 C．﹣π+1 D．π﹣1或﹣π﹣1【分析】先求出圆的周长，再根据数轴的定义进行解答即可．【解答】解：∵圆的直径为1个单位长度，∴该圆的周长为π，∴当圆沿数轴向左滚动1周时，点A′表示的数是﹣π﹣1；将圆沿数轴向右滚动1周时，点A′表示的数是π﹣1．故选：D．4．小明把有理数a，b表示在数轴上，对应点的位置如图所示，下列式子中正确的是（）①﹣a＞﹣b；②|a|＜|﹣b|；③ab＞0；④b﹣a＜b+a．A．①② B．①④ C．②③ D．③④【分析】根据数轴上点的特征及绝对值可得a＜0＜b，且|a|＜|b|，可判定①，②，再根据有理数的运算法则可判定③，④．【解答】解：由数轴可知：a＜0＜b，且|a|＜|b|，故①正确；②正确；∴ab＜0，故③错误；b﹣a＞0，b+a＜0，∴b﹣a＞b+a，故④错误．故选：A．5．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a和b（b＞2），将点A向右平移2个单位长度得到点C．若OC＝OB，则a，b的关系是（）A．a+b＝2 B．a﹣b＝2 C．a+b＝﹣2 D．a﹣b＝﹣2【分析】根据OC＝OB可得点C表示的数与b互为相反数，据此可得a+2+b＝0，即可得到答案．【解答】解：∵点A表示数a，∴将点A向右平移2个单位长度得到点C，则C表示的数是a+2，∵OC＝OB，∴a+2与b互为相反数，∴a+2+b＝0，∴a+b＝﹣2，故选：C．6．纸片上有一数轴，折叠纸片，当表示﹣1的点与表示5的点重合时，表示3的点与表示数的点重合．【分析】先求出折痕和数轴交点表示的数，再由所求数表示的点与表示3的点关于折痕和数轴交点对称，即可得答案．【解答】解：折叠纸片，当表示﹣1的点与表示5的点重合时，折痕和数轴交点表示的数是（﹣1+5）÷2＝2，∴表示3的点与折痕和数轴交点的距离是3﹣2＝1，∴表示3的点与表示数2﹣1＝1的点重合，故答案为：1．7．有如下定义：数轴上有三个点，若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．若点A表示数﹣4，点B表示数8，M为数轴一个动点．若点M在线段AB上，且点M是点A、点B的“关键点”，则此时点M表示的数是．【分析】根据已知，表示出线段之间的距离，利用定义分类讨论即可求解．【解答】解：设M表示的数为x．∴MA＝x﹣（﹣4）＝x+4；BM＝8﹣x．∵若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关键点”．∴MA＝3BM或BM＝3MA∴x+4＝3（8﹣x）或8﹣x＝3（x+4）．解得：x＝5或x＝﹣1．故答案为：5或者﹣1．8．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（）①B对应的数是2；②点P到达点B时，t＝3；③BP＝2时，t＝2；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．A．①③④ B．②③④ C．②③ D．②④【分析】利用数轴，结合方程及分类讨论思想求解．【解答】解：∵已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，∴A对应的数为：4﹣6＝﹣2；故①是不符合题意的；∵6÷2＝3，故②是符合题意的；∵当BP＝2时，t＝2或t＝3，故③是不符合题意的；∵在点P的运动过程中，MN＝3，故④是符合题意的；故选：D．9．已知数轴上的点A，B所对应的数分别为﹣2，6，点Q是数轴上的动点，且对应的数为x．（1）点Q到点A和点B的距离和的最小值是；（2）若点Q是线段AB的中点，则x的值是；（3）若点Q到点A和点B的距离和是12，求x的值．【分析】（1）根据当点Q在线段AB上时，点Q到点A和点B的距离和的最小，最小值＝AB求解即可；（2）根据点Q是线段AB的中点求解即可；（3）根据题意得：|x+2|+|x﹣6|＝12，分三种情况解方程即可得出答案．【解答】解：（1）当点Q在线段AB上时，点Q到点A和点B的距离和的最小，最小值＝AB＝6﹣（﹣2）＝8，故答案为：8；（2）∵点Q是线段AB的中点，∴x＝＝2，故答案为：2；（3）根据题意得：|x+2|+|x﹣6|＝12，当x＜﹣2时，﹣x﹣2+6﹣x＝12，解得：x＝﹣4，符合题意；当﹣2≤x≤6时，x+2+6﹣x＝0，方程无解，不符合题意；当x＞6时，x+2+x﹣6＝12，解得：x＝8，符合题意；综上所述，x的值为﹣4或8．10．如图，点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16，线段AB的中点表示的数是，若点C是数轴上的一个动点，当2AC﹣BC＝10时，点C表示的数是．【分析】根据数轴上两点间距离计算即可求出线段AB的中点表示的数，要求点C表示的数，分三种情况，点C在点A的左侧，点C在AB之间，点C在点B的右侧．【解答】解：∵点A在数轴上表示的数是﹣8，点B在数轴上表示的数是16，∴线段AB的中点表示的数是：＝4，设点C表示的数是x，分三种情况：当点C在点A的左侧，∵2AC﹣BC＝10，∴2（﹣8﹣x）﹣（16﹣x）＝10，∴x＝﹣42，∴点C表示的数是：﹣42，当点C在AB之间，∵2AC﹣BC＝10，∴2[x﹣（﹣8）]﹣（16﹣x）＝10，∴x＝，∴点C表示的数是：，当点C在点B的右侧，∵AC﹣BC＝AB，∴AC﹣BC＝16﹣（﹣8）＝24，而已知2AC﹣BC＝10，∴此种情况不存在．综上所述：点C表示的数是：﹣42或，故答案为：4；﹣42或．11．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A站，东至L站，途中共设12个上下车站点，某天，小明参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动．如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：+5，﹣3，+4，﹣5，+8，﹣2，+1，﹣3，﹣4，+1．（1）请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？（2）若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？（3）已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保证汽车安全行驶，若小明开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？【分析】（1）用原点表示起点位置，再利用有理数的和求解；（2）先用绝对值求共几个站，再求里程数；（3）列方程求解．【解答】解：（1）设C站为原点，则）：+5﹣3+4﹣5+8﹣2+1﹣3﹣4+1＝+2，表示原点右侧第二个站，即E站．（2））|+5|+|﹣3|+|+4|+|﹣5|+|+8|+|﹣2|+|+1|+|﹣3|+|﹣4|+|+1|＝5+3+4+5+8+2+1+3+4+1＝36，36×2.5＝90（千米）．（3）设该汽车油箱能存储油x升，依题意得：x﹣0.2×90＝0.1x，解得：x＝315，答：该汽车油箱能存储油315升，12．如图，在数轴上有三个不同的点A，B，C，点C对应有理数10；原点O为线段AB的中点，且线段AB的长度是BC的3倍．（1）求点A，B所对应的有理数；（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，当点P到点A的距离是到点B距离的2倍时，直接写出此时点P所对应的有理数．【分析】（1）设OA＝OB＝x，列出方程，即可得出A和B所对应的有理数．（2）分两种情况讨论：①点P在AB之间，②点P在AB的延长线上，即可得出答案．【解答】解：（1）∵点C对应有理数10，∴OC＝10，∵原点O为线段AB的中点，∴OA＝OB，设OA＝OB＝x，∵线段AB的长度是BC的3倍，∴BC＝.10﹣x，∴x+＝10，解得x＝6，∴OA＝OB＝6，∴点A，B所对应的有理数分别为﹣6，6；（2）由题意可知，PA＝2PB有两种情况：①点P在AB之间，∵AB＝12，AP＝t，∴t＝2（12﹣t），解得：t＝8，此时点P所对应的有理数为：﹣6+8＝2，②点P在AB的延长线上，∵AB＝12，AP＝t，∴t＝2（t﹣12），解得：t＝24，此时点P所对应的有理数为：﹣6+24＝18．∴此时点P所对应的有理数是2或18．13．数轴上两点A、B，A在B左边，原点O是线段AB上的一点，已知AB＝4，且OB＝3OA．点A、B对应的数分别是a、b，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x．（1）a＝，b＝，并在数轴上面标出A、B两点；（2）若PA＝2PB，求x的值；（3）若点P以每秒2个单位长度的速度从原点O向右运动，同时点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．请问在运动过程中，3PB﹣PA的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【分析】（1）根据AB＝4，且OB＝3OA．就可以确定a和b的值；（2）分别用含x的代数式表示出PA和PB长度，再根据PA＝2PB建立等式，就可以求出x的值；（3）分别表示出t秒后A、B、P的值，再代入3PB﹣PA，并化简就可以确定这是一个定值．【解答】解：（1）因为AB＝4，且OB＝3OA．A，B对应的数分别是a、b，所以a＝﹣1，b＝3．故答案为：﹣1，3．（2）①当P点在A点左侧时，PA＜PB，不合题意，舍去．②当P点位于A、B两点之间时，因为PA＝2PB，所以x+1＝2（3﹣x），所以x＝．②当P点位于B点右侧时，因为PA＝2PB，所以x+1＝2（x﹣3），所以x＝7．故x的值为或7．（3）t秒后，A点的值为（﹣1﹣t），P点的值为2t，B点的值为（3+3t），所以3PB﹣PA＝3（3+3t﹣2t）﹣[2t﹣（﹣1﹣t）]＝9+3t﹣（2t+1+t）＝9+3t﹣3t﹣1＝8．所以3PB﹣PA的值为定值，不随时间变化而变化．14．定义：数轴上有A，B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为点B的2倍原距点．已知点A，M，N在数轴上表示的数分别为4，m，n．（1）若点A是点M的2倍原距点，①当点M在数轴正半轴上时，则m＝；②当点M在数轴负半轴上，且为线段AN的中点时，判断点N是否是点A的2倍原距点，并说明理由；（2）若点M，N分别从数轴上表示数10，6的点出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长度，点N每秒运动速度为a个单位长度．若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，请直接写出a所有可能的值．【分析】（1）①点A到原点的距离为4，根据定义可知点M到原点距离为2，点M在数轴正半轴，进而可求出m．②m＜0，则m＝﹣2，4﹣（﹣2）＝﹣2﹣n得出n的值，再根据定义来判断．（2）设t秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点；由|10﹣2t|＝2×4求出t的值，将t代入4＝2×|6﹣at|，求出a的所有可能值即可．【解答】解：（1）①，∴m＝±2．∵m＞0，∴m＝2．故答案为：2．②∵m＜0，∴m＝﹣2．∵点M为线段AN的中点，∴4﹣（﹣2）＝﹣2﹣n，解得n＝﹣8．∴ON＝8，ON＝2OA，故N点是点A的2倍原距点．（2）设t秒时，点M为点A的2倍原距点，点A恰好也是点N的2倍原距点．∴，解①得：t1＝9，t2＝1．将t1＝9代入②得：4＝2×|6﹣9t|，解得：，；将t2＝1代入②得：4＝2×|6﹣a|，解得：a3＝4，a4＝8．故a所有的可能值为：4，8，，．15．数学课上李老师说：咱们一起来玩儿一个找原点的游戏吧！（1）如图1，在数轴上标有A，B两点，已知A，B两点所表示的数互为相反数．①如果点A所表示的数是﹣5，那么点B所表示的数是；②在图1中标出原点O的位置．（2）图2是小敏所画的数轴，数轴上标出的点中任意相邻两点间的距离都相等．根据小敏提供的信息，标出隐藏的原点O的位置，并写出此时点C所表示的数是．（3）如图3，数轴上标出若干个点，其中点A，B，C所表示的数分别为a，b，c．若数轴上标出的若干个点中每相邻两点相距1个单位（如AB＝1），且c﹣2a＝8．①试求a的值；②若点D也在这条数轴上，且CD＝2，求出点D所表示的数．【分析】（1）①根据相反数的定义可得点B表示的数，②根据A、B的位置可得原点的位置；（2）根据A、B所表示的数可得单位长度表示3，进而可得原点的位置和点C表示的数；（3）①由数轴可得c﹣a＝6，再结合c﹣2a＝8可得a的值；②根据a的值可得c，根据点D的位置可得答案．【解答】解：（1）①点A所表示的数是﹣5，点A、点B所表示的数互为相反数，所以点B所表示的数是5，故答案为：5；②在图1中表示原点O的位置如图所示：（2）原点O的位置如图所示，点C所表示的数是3．故答案为：3；（3）解：①由题意得：AC＝6，所以c﹣a＝6，又因为c﹣2a＝8，所以a＝﹣2；②设D表示的数为d，因为c﹣a＝6，a＝﹣2，所以c＝4，因为CD＝2，所以c﹣d＝2或d﹣c＝2，所以d＝2或d＝6．16．在如图所示的数轴上，点P为原点．点A、点B距离﹣2都为6个单位长度，且点A在点B的左侧，若现在有点C、点D两点分别从点P、点B同时向点A移动，且已知点C、点D分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度移动了t秒．请回答下列问题：（1）A点表示数为，B点表示数为；（2）当t＝2时，CD的长度为多少个单位长度？（3）当D在线段BP上运动时，线段AC、CD之间存在何种数量关系式？【分析】（1）根据点A、点B距离﹣2都为6个单位长度直接可得答案；（2）求出C、D点表示数，即可得CD的长度；、（3）用t的代数式表示C、D点表示数，再求出AC、CD的长度，即可观察得到线段AC、CD之间的数量关系式．【解答】解：（1）∵点A、点B距离﹣2都为6个单位长度，且点A在点B的左侧，∴A点表示数为﹣2﹣6＝﹣8，B点表示数为﹣2+6＝4；故答案为：﹣8，4；（2）当t＝2时，C点表示数为0﹣2×2＝﹣4，D点表示数为4﹣2×3＝﹣2，∴CD＝|﹣2﹣（﹣4）|＝2（个单位长度）；（3）线段AC、CD之间的数量关系式是AC＝2CD，理由如下：∵D点表示数为4﹣3t，C点表示数为﹣2t，∴AC＝﹣2t﹣（﹣8）＝8﹣2t，CD＝（4﹣3t）﹣（﹣2t）＝4﹣t，∴AC＝