高数(下)期中复习课件

高等数学(下)期中复习基本概念,基本定理,基本方法高等数学(下)期中复习基本概念,基本定理,基本方法第0章空间解几与向量代数向量的概念与运算,+,-,数乘,数量积,向量积;直角坐标系下向量的运算;向量的夹角,平行与垂直;平面,直线;曲面,柱面,投影柱面,旋转面,二次曲面图形;曲线,投影,参数方程.第0章空间解几与向量代数向量的概念与运算,+,-,数乘

1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)

2.向量的几何表示法:

用一条有方向的线段来表示向量.AB向量AB的大小叫做向量的模.记为||AB||或一、向量的基本概念1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.2.向量1、向量加法(1)平行四边形法则设有(若起点不重合,可平移至重合).作以为邻边的平行四边形,对角线向量,称为的和,记作另一条对角线向量,是的差,即(2)三角形法则二、

向量的加减法2.向量加法的运算规律.交换律,结合律1、向量加法(1)平行四边形法则设有(若起点不重合1.定义实数

与向量的为一个向量.其中:当

>0时,当

<0时,当

=0时,2.

数与向量的乘积的运算规律:结合律,分配律(

<0)(

>0)三、数与向量的乘法定理1:两个非零向量平行存在唯一实数

，使得(方向相同或相反)设表示与非零向量同向的单位向量.则1.定义实数与向量的为一个向量.其中:当>四.空间直角坐标系与空间向量的坐标表示1.空间直角坐标系的建立ozxyzxyx轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点.o四.空间直角坐标系与空间向量的坐标表示1.空间直角坐标系向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式2.引入直角坐标系后,向量的运算:向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式2.引入直角坐标两向量平行的充要条件.注:在(*)式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零.

a//b两向量平行的充要条件.注:在(*)式中,规定若某个分母1.方向角:

非零向量a与x,y,z轴正向夹角

,

,

称为a的方向角.2.方向余弦:

方向角的余弦

cos

,cos

,cos

称为方向余弦.3.向量的模与方向余弦的坐标表达式a

yzx0

向量的模与方向余弦的坐标表示式cos2

+cos2

+cos2

=11.方向角:非零向量a与x,y,z轴正向夹角,a0=(cos

,cos

,cos

)设a0是与a同向的单位向量a0=(cos,cos,cos)设a0是与设有两个向量a、b,它们的夹角为

,即:a

b=|a||b|cos

定义:将数值|a||b|cos

称为a与b的数量积(或点积

),记作a

b.内积五、向量的数量积a

b

=axbx+ayby+az

bz推论:

两个向量垂直axbx+ayby+az

bz=0坐标表示式设有两个向量a、b,它们的夹角为,即:a

abc=a

b(1)|c|=|a||b|sin

(2)c与a、b所在的平面垂直,(即c

a且c

b).c的指向按右手规则从a转向b来确定.则将向量c称为a与b的向量积,记作:a

b.即:c=a

b注:

向量积的模的几何意义.以a、b为邻边的平行四边形,其面积等于|a||b|sin

,所以a

b的模,等于以a、b为邻边的平行四边形的面积.定义:设有两个向量a、b,夹角为

,作一个向量c,使得六、两向量的向量积abc=ab(1)|c|=|a||向量积的性质反交换律a

b=

b

aa

b=(aybz

azby)i+(azbx

axbz)j+(axby

aybx)k向量积的坐标表示式向量积的性质反交换律ab=ba[1]点法式方程[2]一般方程[3]截距式方程七、空间平面方程[1]点法式方程[2]一般方程[3]截距式方程八、空间直线方程[1]一般方程[2]对称式方程八、空间直线方程[1]一般方程[2]对称式方程[3]直线的参数方程(为参数)[4]直线的两点式方程[3]直线的参数方程(为参数)[4]直线的两点式方程[2]显函数形式

解析几何的基本问题:1.已知空间图形,建立和研究它的代数方程.

利用代数的优点：精准，易推导。2.已知代数方程,想象出它的几何图形.

利用几何的优点：直观。[2]显函数形式解析几何的基本问题:1.已知空间图形,建立十、空间曲线[1]空间曲线的一般方程[2]空间曲线的参数方程十、空间曲线[1]空间曲线的一般方程[2]空间曲线的参

十一.柱面给定空间一定曲线，如果直线沿曲线平行移动，则动直线所形成的曲面称为柱面；动直线称为柱面的母线，定曲线称为柱面的准线。

特殊情况：柱面的母线平行于某坐标轴，而准线在与母线垂直的坐标平面上的柱面。设柱面的母线平行于轴，准线是平面上的一曲线.

，求柱面方程。十一.柱面特殊情况：柱面的母线平行于某坐标轴，

只含而缺的方程表示母线平行于轴，准线是的柱面；类似地，只含而缺的方程表示母线平行于轴，准线是的柱面；只含而缺的方程表示母线平行于轴，准线是的柱面。1.平行于坐标轴的柱面只含而缺的方程2.曲线2.曲线

十二．旋转曲面给定空间一直线与空间曲线，曲线绕直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，定直线称为旋转曲面的旋转轴。特殊情况：坐标平面上的平面曲线绕该坐标平面上的某坐标轴旋转一周所形成的旋转曲面.

设在平面上的曲线，绕轴旋转一周，求旋转曲面的方程。十二．旋转曲面(1)曲线，绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面的方程高数(下)期中复习课件(2)曲线，绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面的方程高数(下)期中复习课件(3)曲线，绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面的方程高数(下)期中复习课件(4)曲线，绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面的方程高数(下)期中复习课件(5)曲线，绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面的方程高数(下)期中复习课件(6)曲线，绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程，只要在方程中，作如下改动，可得旋转曲面的方程以上结论反之也成立。含平方和的三元方程是旋转面方程，另一个变量是旋转轴。以上结论反之也成立。含平方和的三元方程是旋转面方程，另一个变曲线曲面的4重点：柱面：缺变量的三元方程，它平行于没写出变量的坐标轴。旋转面：含至少两变量的平方和的三元方程，旋转轴是以另一个变量命名的轴。三坐标面上的投影就是三视图，用来想象空间曲线形状。在某坐标面上的投影方程即消去变量后，只剩下该坐标面上的变量。曲线的参数方程是三坐标用一个变量的函数表示。要求函数能求导，积分。注意三角函数的使用。曲线曲面的4重点：柱面：缺变量的三元方程，它平行于没写出第八章多元函数微分学多元函数概念(多个自变量),多元初等函数;多元函数极限的概念及求法;连续性,多元初等函数的连续性;偏导数及几何意义,高阶偏导数,方向导数;全微分及与各导数,连续的相互关系;复合函数求导，注意区分和；隐函数和方程组求导，注意用公式和不用公式的区别；曲面的切平面与法线，曲线的切线与法平面；极值，最值，条件极值；梯度及性质．第八章多元函数微分学多元函数概念(多个自变量),多元初等第九,十章多元函数积分重积分，线积分的定义：和式的极限；性质同定积分，即：线性，区域可加性，１的积分，单