宁夏中卫市高三高考二模数学（理科）试卷

2021年宁夏中卫市高三高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x∈N|2x﹣7≤0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤3} B．{0，1，2，3} C． D．{1，2，3}2．设复数，那么在复平面内复数3z﹣1对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知a＝log32，b＝2，，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a4．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊥α，n⊂β，则“m∥n”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱为（）A．2 B． C． D．46．埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国．古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的．古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数．埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（）A． B． C． D．7．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，若，则抛物线的方程是（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x8．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（）A． B． C． D．9．某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）＝（ex﹣e﹣x）cosx B．f（x）＝（ex﹣e﹣x）|cosx| C．f（x）＝（ex+e﹣x）cosx D．f（x）＝（ex+e﹣x）sinx10．点P是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内切圆圆心，记△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2≤恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（0，2] B．[2，+∞） C．（1，2] D．11．若lnx﹣lny＜（x＞1，y＞1），则（）A．ey﹣x＞1 B．ey﹣x＜1 C．ey﹣x﹣1＞1 D．ey﹣x﹣1＜112．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（）A．32﹣π B．48﹣12π C．28﹣π D．20﹣π二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），P（ξ≤6）＝0.84，则P（ξ≤0）＝．14．设x＝θ函数f（x）＝3cosx+sinx的一个极值点，则tanθ＝．15．已知是空间单位向量，，若空间向量满足（x，y∈R），||＝2，则||的最大值是．16．若数列{an}满足a1＝2，an+1＝4an+4+1，则使得an≥20202成立的最小正整数n的值是．三、解答题：（本大题共3小题，满分34分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知，如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝PA＝2，PA⊥平面ABCD，E，M分别是BC，PD中点，点F在棱PC上移动．（1）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD；（2）当直线AF与平面PCD所成的角最大时，确定点F的位置．18．已知椭圆的离心率为，椭圆的中心O到直线x+y﹣2b＝0的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点，对于椭圆C上任意一点M，若，求λμ的最大值．19．已知函数（e…是自然对数的底数）．（1）若f（x）在x∈（0，2）内有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）a＝1时，讨论关于x的方程的根的个数．（二）选考题：（请考生在第22、23两道题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分）[选修44：坐标系与参数方程]20．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，射线与曲线C交于O，P两点，直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）当|AB|＝|OP|时，求a的值．[选修45：不等式选讲]21．设函数f（x）＝|x+1|﹣|x|的最大值为m．（1）求m的值；（2）若正实数a，b满足a+b＝m，求的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈N|2x﹣7≤0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤3} B．{0，1，2，3} C． D．{1，2，3}解：∵，B＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：B．2．设复数，那么在复平面内复数3z﹣1对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：复数＝＝＝﹣i，那么在复平面内复数3z﹣1＝﹣1﹣3i对应的点（﹣1，﹣3）位于第三象限，故选：C．3．已知a＝log32，b＝2，，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a解：∵0＝log31＜a＝log32＜log33＝1，＞＞2＝b＞1＞20＝1，∴c＞b＞a．故选：D．4．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊥α，n⊂β，则“m∥n”是“α⊥β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解：若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，即“m∥n”是“α⊥β”的充分条件；若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，又n⊂β，所以m，n的关系不确定，即“m∥n”是“α⊥β”的不必要条件；所以“m∥n”是“α⊥β”的充分不必要条件．故选：A．5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最长棱为（）A．2 B． C． D．4解：由题意几何体的直观图如图：正四棱锥P﹣ABCD，其中，PO⊥底面ABCD，ABCD是正方形，对角线长为2，PO＝2，所以PC＝PA＝PB＝PD＝＝，AB＝BC＝CD＝DA＝＝2，所以最长的棱长为．故选：C．6．埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国．古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的．古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数．埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（）A． B． C． D．解：对于A，+++++＝＝1﹣＝；故A正确；对于B，+++…+＝+++…+＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝，故B不正确；对于C，++＝++＝，故C正确；对于D，∵1+2+3+…+n＝，∴＝＝2（﹣），∴++…+＝2（﹣+﹣+…+﹣）＝2（﹣）＝，故D正确．故选：B．7．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，若，则抛物线的方程是（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x解：由题意如图，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），可知，∠NMF＝60°，MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，准线与x轴的交点为A，所以MN＝FM，O是AF的中点，AN∥OD所以D是NF的中点，所以MD⊥NF，∠DMF＝30°，，所以|MF|＝＝4，则|MN|＝4，|DF|＝2，所以F在MN上的射影是MN是中点，所以F（1，0），可得p＝2，所以抛物线方程为：y2＝4x．故选：C．8．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（）A． B． C． D．解：甲选两种书体共有5×4＝20种，乙选两种书体共有5×4＝20种，一共有400种选法，甲不选隶书体有4×3＝12种，乙不选草书体有4×3＝12种，共有12×12＝144种选法，共有12×12＝144种选法，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为P＝＝．故选：C．9．某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）＝（ex﹣e﹣x）cosx B．f（x）＝（ex﹣e﹣x）|cosx| C．f（x）＝（ex+e﹣x）cosx D．f（x）＝（ex+e﹣x）sinx解：对于B，当x＞0时，ex﹣e﹣x＞0，cosx≥0，故f（x）＝（ex﹣e﹣x）|cosx|≥0，选项B错误；对于C，由f（0）＝0可知，选项C错误；对于D，当x＝5时，f（5）＝（e5+e﹣5）•sin5＜0，不符合题意，选项D错误．综上，只有选项A符合题意．故选：A．10．点P是双曲线右支上的一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点I是△PF1F2的内切圆圆心，记△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积分别为S1，S2，S3，若S1﹣S2≤恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（0，2] B．[2，+∞） C．（1，2] D．解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则，，，所以，所以2a≤c，所以e≥2，故选：B．11．若lnx﹣lny＜（x＞1，y＞1），则（）A．ey﹣x＞1 B．ey﹣x＜1 C．ey﹣x﹣1＞1 D．ey﹣x﹣1＜1解：依题意，，令，则，∴函数f（t）在R上单调递增，∵，即f（lnx）＜f（lny），∴lnx＜lny，∴1＜x＜y，∴y﹣x＞0，∴ey﹣x＞e0＝1．故选：A．12．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不能到达的空间的体积为（）A．32﹣π B．48﹣12π C．28﹣π D．20﹣π解：由题意可知，小球球心活动的区域是棱长为2的正方体，小球活动不到的区域分为两个部分，一部分是棱长为2的正方体的外部，另一部分是球在棱长为2的正方体的顶点处的间隙，小球在容器内活动不到的体积相当于棱长为2的正方体中间挖掉一个半径为1的球的剩余部分，所以其体积为V正方体﹣V球＝，球在顶点处活动不到的部分放在一起，可以看成高为2，底面积为4的正四棱柱（3个）中间挖掉底面积为π，高为2的圆柱（3个）剩下部分的体积，其体积为V正四棱柱﹣V圆柱＝3×（2×4﹣π•2）＝24﹣6π，所以小球活动不到的部分的体积为．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），P（ξ≤6）＝0.84，则P（ξ≤0）＝0.16．解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∴μ＝3，∵P（ξ≤6）＝0.84，∴P（ξ≥6）＝1﹣0.84＝0.16，∴P（ξ≤0）＝P（ξ≥6）＝1﹣P（ξ≤6）＝0.16，故答案为：0.16．14．设x＝θ函数f（x）＝3cosx+sinx的一个极值点，则tanθ＝．解：f′（x）＝﹣3sinx+cosx，因为x＝θ是函数f（x）＝3cosx+sinx的一个极值点，所以f′（θ）＝﹣3sinθ+cosθ＝0，所以tanθ＝．故答案为：．15．已知是空间单位向量，，若空间向量满足（x，y∈R），||＝2，则||的最大值是．解：空间向量满足（x，y∈R），，由||＝2，整理得，即x2+y2+xy＝4，又＝，由于x2+y2≥2xy，所以由x2+y2+xy＝4，整理得3xy≤4，即，所以|x+y|2＝x2+y2+2xy＝x2+y2+xy+xy＝，故，所以＝．故答案为：．16．若数列{an}满足a1＝2，an+1＝4an+4+1，则使得an≥20202成立的最小正整数n的值是11．解：∵an+1＝4an+4+1＞0，∴＝，∴＝2+1，∴+1＝2（+1），+1＝+1，∴数列{+1}是等比数列，首项为+1，公比为2，∴+1＝（+1）•2n﹣1，∴＝（+1）•2n﹣1﹣1，则不等式an≥20202，化为：≥2020，∴（+1）•2n﹣1﹣1≥2020，n≤10时不成立，n＝11时，左边＝（+1）•1024﹣×1024＝2457.6＞2020＝右边．∴使得an≥20202成立的最小正整数n的值是11．故答案为：11．三、解答题：（本大题共3小题，满分34分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知，如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝PA＝2，PA⊥平面ABCD，E，M分别是BC，PD中点，点F在棱PC上移动．（1）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF⊥平面PAD；（2）当直线AF与平面PCD所成的角最大时，确定点F的位置．【解答】（1）证明：连接AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，∵PA∩AD＝A，PA、AD⊂平面PAD，∴AE⊥平面PAD，∵AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAD．（2）解：由（1）知，AE、AD、AP两两垂直，故以AE、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），，，D（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1），，∴，，．设，．设平面PCD的法向量为＝（x1，y1，z1），则，令，则x1＝1，，∴．设直线AF与平面PCD所成的角为θ，则sinθ＝＝＝＝，当时，sinθ最大，此时F为PC的中点．18．已知椭圆的离心率为，椭圆的中心O到直线x+y﹣2b＝0的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点，对于椭圆C上任意一点M，若，求λμ的最大值．解：（1）∵，∴，∴，∵椭圆的中心O到直线x+y﹣2b＝0的距离为，∴，∴b＝5．∴b2＝25，a2＝4b2＝100，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）可知，由题可知直线AB的方程为，与椭圆C的方程联立，∴．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有．设M（x，y），由，得（x，y）＝λ（x1，y1）+μ（x2，y2）＝（λx1+μx2，λy1+μy2），∴又∵点M在椭圆上，∴x2+4y2＝100，∴，∴．①∵点A，B在椭圆上，∴．②∵．③将②③代入①可得，∵，∴，当且仅当λ＝μ时取“＝”．∴λμ的最大值为．19．已知函数（e…是自然对数的底数）．（1）若f（x）在x∈（0，2）内有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）a＝1时，讨论关于x的方程的根的个数．解：（1）由题意可求得，因为f（x）在x∈（0，2）内有两个极值点，所以f′（x）＝0在x∈（0，2）内有两个不相等的变号根，即ex﹣ax＝0在x∈（0，2）上有两个不相等的变号根,设g（x）＝ex﹣ax，则g′（x）＝ex﹣a，①当a≤0时，x∈（0，2），g′（x）＝ex﹣a＞0，所以g（x）在（0，2）上单调递增，不符合条件；②当a＞0时，令g′（x）＝ex﹣a＝0得x＝lna，当lna≥2，即a≥e2时，x∈（0，2），g′（x）＝ex﹣a＜0，所以g（x）在（0，2）上单调递减，不符合条件,当lna≤0，即0＜a≤1时，x∈（0，2），g′（x）＝ex﹣a＞0，所以g（x）在（0，2）上单调递增，不符合条件,当0＜lna＜2，即1＜a＜e2时，g（x）在（0，lna）上单调递减，（lna，2）上单调递增，若要ex﹣ax＝0在x∈（0，2）上有两个不相等的变号根，则g(0)＞0且g(2)＞0且g(lna)＜0且0＜lna＜2，解得；综上所述，a的取值范围是(e,)；（2）设，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减,（ⅰ）当x∈（1，+∞）时，lnx＞0，则，所以,因为，所以h′（x）＞0，因此h（x）在（1，+∞）上单调递增,（ⅱ）当x∈（0，1）时，lnx＜0，则，所以,因为e2x∈（1，e2），e2x＞1＞x＞0，2x﹣1＜1，所以，因此h（x）在（0，1）上单调递减,综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当x∈（0，+∞）时，h（x）≥h（1）＝﹣e﹣2﹣b，当h（1）＝﹣e﹣2﹣b＞0，即b＜﹣e﹣2时，h（x）没有零点，故关于x的方程根的个数为0，当h（1）＝﹣e﹣2﹣b＝0，即b＝﹣e﹣2时，h（x）只有一个零点，故关于x的方程根的个数为