集合的概念与表示

【考点梳理】考点一：元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．考点二：元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.考点三：常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR考点四：集合的表示（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．（2）描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．【题型归纳】题型一：集合的概念1．（2023·全国·高一）下列各组对象的全体能构成集合的有（

）（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案.【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.故选：C.2．（2023秋·高一单元测试）下列各组对象不能构成集合的是（）A．参加卡塔尔世界杯比赛的全体球员B．小于2的正整数C．数学必修第一册课本上的难题D．所有有理数【答案】C【分析】根据集合的概念，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，参加的全体球员，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；对于B中，小于2的正整数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合；对于C中，多难的题才算是难题，有一定的不确定性，不符合集合中元素的确定性，故不能构成集合；对于D中，所有有理数，所研究的有理数，是确定的，没有重复的，所以能构成集合，故选C.故选：C.3．（2022秋·河南郑州·高一校考阶段练习）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（

）A．所有很大的实数组成的集合B．满足不等式x+1<2C．所有大于-4的偶数组成的集合D．所有到x,y轴距离均为1的点组成的集合【答案】C【分析】根据集合的性质、有限和无限集定义，结合各选项的描述判断对应集合是否符合要求即可.【详解】A：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，错误；B：满足不等式x+1<2的所有整数解为有限集{-1,0,1,2}C：所有大于-4的偶数组成的集合为{a|a=2n,n>-2,n∈ZD：所有到x,y轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，错误.故选：C题型二：元素与集合的关系4．（2023秋·高一课时练习）给出下列关系：①13∈R；②5∈Q；③-3?A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】利用集合与元素间的关系逐个分析即可.【详解】135是无理数，不是有理数，②错误；-3是整数，③错误；-7正确的个数为2个，故选：B.5．（2023·全国·高一专题练习）给出下列6个关系：①22∈R，②3∈Z，③0?N*，④4A．4 B．2 C．3 D．5【答案】A【分析】根据数的分类一一判断即可.【详解】22为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以23是无理数，所以3?0不是正整数，所以0?N4=2∈π是无理数，所以π∉|-2|=2∈Z故选:A.6．（2021秋·河南新乡·高一校考阶段练习）已知集合A=xx=10，a=2+3，则A．a∈A B．a?A C．a=A D．a【答案】A【分析】对a=2+3平方后得到a2<10【详解】∵a=2∴a2∴a<10∴a∈A.故选：A题型三：根据元素和集合的关系求参数7．（2021秋·河北张家口·高一张家口市宣化第一中学校考期中）已知集合A=a-2,a2+4a,12，且-3∈A，则A．-3或-1 B．-1 C．3 D．-3【答案】D【分析】因为-3∈A，a-2=-3，或a2+4a=-3，根据互异性可得【详解】因为-3∈A，当a-2=-3，得a=-1，则A=-3,12当a2+4a=-3，故a=-1(舍去)或a=-3，此时故选：D8．（2022秋·陕西渭南·高一渭南市瑞泉中学校考阶段练习）已知集合A=0,2,4，B=4,m+n,mn+2.若A．2或-43 B．2或43 C．-2或-4【答案】A【分析】由题意得：m+n=0或mn+2=0，分两种情况求出对应的【详解】由题意得：m+n=0或mn+2当m+n=0时，mn+2=2，即故2n+4+n=0，解得：n=-4故m=43，所以当mn+2=0时，m=0，此时m+n=2，解得：所以n=2或-4故选：A9．（2022秋·福建福州·高一福建省福州格致中学校考阶段练习）已知集合A=a+2,a+12,a2+3a+3A．-1,0,-2 B．0,-2 C．-1 D．0【答案】D【分析】分别令a+2=1、a+12=1、a2【详解】①若a+2=1，即a=-1时，a+12=0，a2+3a+3=1，即②若a+12=1，即a=0或当a=0时，a+2=2，a2+3a+3=3，当a=-2时，a+2=0，a2+3a+3=1，即a+12③若a2+3a+3=1，即a=-1或由①知：a=-1不满足题意；由②知：a=-2不满足题意；综上所述：实数a的取值集合为0.故选：D.题型四：集合的互异性求参数问题10．（2022秋·江苏南京·高一校考阶段练习）已知a∈R，b∈R，若集合a,ba,1A．2 B．1 C．1 D．2【答案】B【分析】根据集合相等的条件及分式ba有意义可知a?0,ba=0，进而求出【详解】根据集合相等的条件及分式ba有意义可知a?0,则b=0，代入集合得{a,0,1}={a则a2=1因此a故选：B11．（2022秋·陕西西安·高一校考阶段练习）已知A=a-2,2a2+5a,12且-3∈A，则由A．-32 B．-1,-32【答案】D【分析】分a-2=-3，2a2+5a=-3讨论，求出a【详解】∵-3∈A，当a-2=-3，即a=-1时，A=-3,-3,12当2a2+5a=-3，即a=-1（舍）或a=-故由a的值构成的集合是-3故选：D12．（2022秋·江苏南京·高一校考期中）已知集合A=a+1,a2+4a-9,2021，若-4∈A，则实数A．-5 B．1 C．5或-1 D．-5或1【答案】B【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出a的值.【详解】?A=a+1,a2+4a-9,2021，且-4∈A⑴、当-4=a2+4a-9即①、当a=-5时，a+1=-4，②、当a=1时，a+1=2，a2⑵、当a+1=-4即a=综上所述：实数a的值为1.故选：B题型五：集合的表示方法13．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）用列举法可将集合x,y|x?0,1,y?A．0,1 B．1,2C．0,1,1,2【答案】D【分析】列举出集合中的元素，结合集合的列举法，即可求解.【详解】x=0,y=1;x=0,y=2;x=1,y=1;x=1,y=2.∴集合x,y|x?0,1,y?故选：D.14．（2023·全国·高一假期作业）下列说法：①集合x?N|x3=x用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或R；③一次函数y＝x＋2和y＝－2xA．3 B．2C．1 D．0【答案】D【分析】对于①，通过解方程求出x的值，即可判断出结果的正误；对于②，根据集合的表示方法即可判断出结果的正误；对于③，通过联立方程，得出交点坐标，从而判断结果的正误.【详解】由x3=x，得x(x-1)(x+1)=0，解得x＝0或x＝1或x＝－1，又因为-1?N，故集合{x∈N|x3集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．联立y=x+2y=-2x+8，解得x=2y=4，∴一次函数与y＝－2∴所求集合为(x,y)|x=2且y=4，故③不正确．故选：D.15．（2022秋·浙江宁波·高一校考期中）下列命题中正确的（

）A．0与0表示同一个集合；B．由1，2，3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1；C．方程x-12x-2=0D．集合x4<x<5【答案】B【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：0不能表示一个集合，故错误；对B：因为集合的元素具有无序性，故正确；对C：因为集合的元素具有互异性，{1,1对D：集合x4<x<5故选：B.题型六：集合的基本知识综合问题16．（2023秋·高一课时练习）用描述法表示下列集合．(1)所有不在第一、三象限的点组成的集合；(2)所有被3除余1的整数组成的集合；(3)使y=1x2(4)方程x-22【答案】(1)(x,y)|xy=0,x?(2){x|x=3n+1,n∈(3){xx?2且(4){(x,y)|x=2【分析】（1）根据点的特点得出解集；（2）根据被3除余1的整数可表示为3n+1,n∈Z（3）解不等式x2（4）解方程得出解集.【详解】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为(x,y)|xy=0,x?R,（2）∵被3除余1的整数可表示为3n+1,n∈Z{x|x=3n+1,n∈Z（3）要使y=1x2+x-6有意义．则x2∴使y=1x2+x-6有意义的实数x组成的集合为（4）由x-22+y+32=017．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=x|a(1)若A中只有一个元素，求a的值；(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围.【答案】(1)a=0或a=1(2)a|a≤1【分析】(1)针对a=0和a≠0两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出a的值即可(2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素的情况即可得出a的取值范围【详解】（1）由题意，当a=0时，2x+1=0，得x=-12，集合A只有一个元素，满足条件；当ax2+2x+1=0为一元二次方程，?=4-4a=0，得a=1，集合∴A中只有一个元素时a=0或a=1.（2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，a≠0并且?=4-4a>0，得a<1且a≠0，再结合A中一个元素的情况，∴a的取值范围为a|a≤118．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第九中学校考开学考试）已知集合A中的元素全为实数，且满足：若a∈A，则1+a1-a(1)若a=-3，求出A中其他所有元素．(2)0是不是集合A中的元素？请你取一个实数a∈Aa≠-3，再求出A(3)根据（1）（2），你能得出什么结论？【答案】(1)A中其他所有元素为-12，(2)0不是A中的元素，答案见解析(3)A中没有元素-1，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．【分析】（1）把a=-3代入1+a1-a，得出数值后再（2）假设0∈A，计算并导出矛盾得0不是A的元素，取a=3，求出集合A中元素即可.（3）由（2）可观察出A中不能取的数，分析（1）（2）中的四个值的特点得出结论，进而由“若a∈A，则1+a1-a（1）由题意，可知-3∈A，则1+-31--3=-12?A所以A中其他所有元素为-12，（2）假设0∈A，则1+01-0而当1∈A时，1+a1-a所以0不是A中的元素．取a=3，则1+31-3=-2?A，1+-21--2所以当3∈A时，A中的元素是3，-2，-13，（3）猜想：A中没有元素-1，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．由（2）知0，1?A，若-1∈A，则1+-11--1则有-1?A，即-1，0，1都不在集合A中．若实数a1∈A，则1+aa4=1+结合集合中元素的互异性知，A中最多只有4个元素a1，a2，a3，a4且显然a1≠a2，否则同理，a1≠a所以A中没有元素-1，0，1；A中有4个元素，其中2个元素互为负倒数，另外2个元素也互为负倒数．【双基达标】一、单选题19．（2023秋·高一课时练习）已知M={x|x-1<2}，那么（A．2∈M,-2∈MC．2?M,-2?M 【答案】A【分析】根据元素与集合的关系即可求解.【详解】由题意可得M={x|x<1+所以2∈M,故选：A20．（2023春·广东湛江·高一雷州市第一中学校考阶段练习）已知集合A=-3,-2,0,1,2,3,7，B=xx?A,-x?A，则B=A．0,1,7 B．1,7 C．-2,0,7 D．-2,1,7【答案】B【分析】根据题意，结合B=x【详解】由集合A=-3,-2,0,1,2,3,7，因为B=xx?A,-x?A故选：B．21．（2023秋·全国·高一随堂练习）下列语句中，正确的个数是（

）（1）0∈N；（2）π∈Q；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程xA．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据集合的概念和性质判断即可.【详解】0是自然数，故0∈N，（1）正确；π是无理数，故π∉Q由3、4、5、5、6构成的集合为3，数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误；方程x2=0的解为x=0，可以构成集合故选：A22．（2022秋·高一课时练习）已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则1+a1-a∈A(a≠1)，当13∈A时，则集合A中元素的个数是（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】列举出满足集合描述的元素，即可得答案.【详解】∵13∈A，∴1+131-13=2∈A.∵2∈A，∴1+21-2=-3∈A.∵∵-12∈A，∴1-121+12故选：D23．（2021秋·高一课时练习）已知a、b、c为非零实数，记代数式a|a|+b|b|+A．0?M B．4?M C．2∈M D．4∈M【答案】D【分析】对a，b，c分类讨论求出原代数式所有可能得值即可.【详解】令y=a若a,b,c全为正数，则y=4；若a,b,c全为负数，则y=-4，若a,b,c中有2个正数一个负数，则y=0，若a,b,c中有2个负数，1个正数，则y=0，?M=-4,0,4故选：D.24．（2023·全国·高一专题练习）用适当的方法表示下列集合．(1)方程组2x-3y=143x+2y=8(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(3)方程x2(4)二次函数y=x(5)二次函数y=x【答案】(1)4,-2(2)3,5,7,11(3)2或x|(4)x,y(5)y|y【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述法和列举法的使用特点，即可求解.【详解】（1）解方程组2x-3y=143x+2y=8得x=4y=-2，故解集可用描述法表示为x,yx=4（2）小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11，故可用列举法表示为3,5,7,11．（3）方程x2-4x+4=0的实数根为2，因此可用列举法表示为（4）二次函数y=x2+2x-10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对x,y，其中x，y由于点有无数个，则用描述法表示为x,y|y=（5）二次函数y=x2+2x-10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y25．（2023·高一课时练习）集合A中的元素是实数，且满足条件①若a∈A，则11-a?A，②(1)A中至少有几个元素？(2)若条件②换成3∈A，A中至少含有的元素是什么？(3)请你设计一个属于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.【答案】(1)3；(2)3,-1(3)令4∈A，A中至少含有的其他元素是-1【分析】（1）按照给定条件，把2代入依次计算作答.（2）按照给定条件，把3代入依次计算，确定集合A中含有的元素作答.（3）令集合A中元素为4，再代入依次计算确定其它元素作答.【详解】（1）因为2∈A，由①知，11-2=-1?A，而-1∈A，则11-(-1)=1所以集合A中至少有3个元素.（2）因为3∈A，由①知，11-3=-12?A，而-12所以集合A中至少含有的元素是3,-1（3）令4∈A，由①知，11-4=-13?A，而-13所以集合A中至少含有的其它元素是-1【高分突破】一：单选题26．（2022秋·高一单元测试）已知集合A=2,0,1,9，B=k|k?R,k2A．0 B．2 C．-1 D．-2【答案】D【分析】根据集合的定义求出集合B后可得结论．【详解】A=2,0,1,9，B=①当k2-2=2时，k=2时，k-2=0∈A，∴k≠2；k=-2时，k-2=-4?A，满足条件；②当k2-2=0时，k=±2③当k2-2=1时，k=±3④当k2-2=9时，k=±11从而得到B=±所以集合B中所有元素之和为-2．故选：D．27．（2022秋·河北衡水·高一衡水市第二中学校考阶段练习）设集合A=2,4，集合B=1,2，集合M=zA．7 B．8 C．9 D．16【答案】B【分析】由题知M=1,2,4【详解】解：因为A=2,4所以，当x=2，y=1时，z=2；当x=2，y=2时，z=1；当x=4，y=1时，z=4；当x=4，y=2时，z=2；所以M=1,2,4，M故选：B.28．（2022秋·湖南永州·高一校考阶段练习）已知集合A={1,-1},B={1,0,-1},则集合C={a-b|a∈A,b∈B}中元素的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据题意求出集合C中的元素即可得答案.【详解】解：当a=1时，b=-1,0,1，则a-b=0,1,2；当a=-1时，b=-1,0,1，则a-b=0,-1,-2；所以集合C={a-b|a∈A,a∈B}={-1,-2.0,1,2}，所以元素的个数为5个.故选:D.29．（2022秋·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考开学考试）已知集合U=a1,a2,a3,a4，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且同时满足下列三个条件:①若a1∈A，则aA．a1,a2 B．a【答案】C【分析】根据集合A满足的条件求得正确答案.【详解】对于a1，若a1∈A，则a2∈A，则a对于a2，若a2∈A，则a3∈A对于a3，若a3∈A对于a4，若a4∈A综上所述，集合A=a故选：C30．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）已知集合S=(x,y)|1=x=10,1=y=10,x?N,y?N．若A?S，且对任意(a,b)∈A，(s,t)∈A，均有(a-s)(b-t)≤0，则集合A．5 B．9 C．15 D．19【答案】D【分析】根据(a-s)(b-t)≤0，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多，点的分布情况，即可得解.【详解】由题知：集合S=(x,y)|1=x=10,1=y=10,x?N,y?N，若A?S，且对任意(a,b)∈A、考虑(a,b)，(s,t)是平面内的满足题目条件的任意两点，“(a-s)(b-t)≤0”等价于“a-s=0或(b-t)(a-s)即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，要使集合中这样的点最多，就是直线t=1,s=1两条直线上的整数点，共19个，（当然也可考虑直线t=10,s=10两条直线上的整数点，共19个）故选：D二、多选题31．（2023·江苏·高一假期作业）下列说法错误的是()A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0}B．方程x-2+|y+2|=0的解集为C．集合{y|y=x2}D．若A={x∈Z|-1≤x≤1}，则-1.1∈A【答案】BCD【分析】根据集合的定义与表示逐项分析判断．【详解】对于A：因为xy>0等价于x>0y>0或x<0如果x>0y>0，则点在第一象限，如果x<0所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0}，故A正确；对于B：由于方程x-2+|y+2|=0的解集等价于x-2=0y+2=0，解得故解集为{(-2,2)}，故B错误；对于C：集合{y|y=x2}表示y=集合{x,y|y=x对于D：因为A={x?Z|-1=x=1}=-1,0,1，则-1.1?A，故D故选：BCD．32．（2023·江苏·高一假期作业）方程组x+y=3x-y=-1A．x,yC．{1，2} D．{(1,2)}【答案】ABD【分析】求出方程组的解，再结合选项判断即可．【详解】方程组x+y=3x-y=-1的解为x=1∴方程组x+y=3x-y=-1∴{(x,y)|x=1y=2}、{(x,y)|故选：ABD．33．（2022秋·辽宁营口·高一校考阶段练习）已知x，y，z为非零实数，代数式xx+yy+zA．0∈M B．2∈M C．-4∈M D．4∈M【答案】ACD【分析】根据已知，通过分类讨论对含绝对值的式子去绝对值计算.【详解】当x>0,y>0,z>0时，xx当x,y,z中有两个大于0，另一个小于0时，xx当x,y,z中有两个小于0，另一个大于0时，xx当x<0,y<0,z<0时，xx所以代数式xx+y故选：ACD.34．（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）集合A=x?N63-x?A．3,6 B．xC．0,1,2 D．x∈【答案】BCD【分析】用列举法表示集合A及各选项的集合，对比即可得出答案.【详解】A=x?选项A，不符合；选项B，xx选项C，符合；选项D，x?N故选：BCD.35．（2021秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）设函数f(x)=x2-6x+c1x2A．3∈M B．c1C．c1可能等于8 D．c2【答案】ABD【分析】由解集为正整数解集x1,x2,x3可知c=5【详解】令f(x)=x2-6x+因为解集为正整数解集x1,x∴当c=5时，x=1,x=5；当c=8时，x=2,x=4；当c=9时，x=3，符合正整数解集.因为只有3个正整数解，又c1≥对于A，3∈M，A对；对于B，c1对于C，由B选项可知，C错；对于D，c2=5时，故选：ABD.三、填空题36．（2023秋·山西运城·高一校考阶段练习）有下列各组关系或说法：①0∈N*；②35?Q；③π∈Q；④3+7?R；⑤集合【答案】2【分析】借助集合的概念及数集的特点进行判断.【详解】N*Q表示有理数集，故②正确，③错误；R表示实数集，3+7所有正方形都是平行四边形，因此某一个特殊的正方形ABCD可以作为集合E的元素，故⑤正确.故答案为：237．（2023秋·山西运城·高一校考阶段练习）下面关于集合的表示正确的序号是.①2,3?②x,yx+y=1③xx>1④xx=2k+1【答案】③④【分析】根据集合的表示方法与集合的性质，判断正确的序号.【详解】∵集合中的元素具有无序性，∴2,3=∵x,yx+y=1是点集，而y∵xx>1与y∵xx=2k+1,k?Z与故答案为：③④.38．（2023秋·高一课时练习）若a，ba，1组成的集合与a2,a+b,0组成的集合为同一个含3个元素的集合，则a【答案】1【分析】根据两集合是同一个集合可得ba=0a2=1【详解】因为a，ba，1组成的集合与a所以ba=0a2=1当b=0a=-1时，三个元素组成的集合为-1,0,1当b=0a=1综上，b=0a=-1所以a2024故答案为：139．（2023秋·高一课时练习）设集合M=x,y|x+y<0,xy>0和P=x,y|x<0,y<0，那么M与【答案】M=P【分析】通过比较两集合M和P的表达方式确定关系.【详解】∵xy>0,∴x,y同号，又x+y<0,∴x<0,y<0，即集合M的表达方式等价于集合P的表达方式，∴M=P；故答案为：M=P.40．（2023·高一课时练习）对于任意两个正整数m，n，定义运算⊕如下：①当m，n奇偶性相同时，m⊕n=m+n；②当m，n奇偶性不同时，m⊕n=mn．若集合M=(a,b)|a?b=12,a,b?N+【答案】15【分析】根据定义结合已知条件，对a、b分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解【详解】因为M=(a,b)当a、b都是正偶数时，则集合M中含有2,10，4,8，6,6，8,4，10,2共5个元素；当a、b都是正奇数时，则集合M中含有1,11，3,9，5,7，7,5，9,3，11,1共6个元素；当a、b一个为正偶数，一个为正奇数，则集合M中含有1,12，12,1，3,4，4,3共4个元素；所以M的元素共有5+6+4=15个.故答案为：15四、解答题41．（2023秋·河南焦作·高一校考期末）已知集合A满足以下条件：①1∈A；②若a∈A，则a+3(1)求证：集合A至少有3个元素；(2)若集合M=?RA【答案】(1)证明见解析(2)33【分析】（1）由已知条件可得，1∈A时，有-2-3?A且3-2∈A（2）当a+31-3a无意义时，可得33?A，【详解】（1）证明：由1∈A，得1+3则-2-3则3-2+周而复始，故由题意易得集合A至少有3个元素.（2）当a=33时，a+3令a+31-3即当a=-33时，故-3故属于集合M的两个元素是3342．（2021秋·高一课时练习）已知集合S满足:若a∈S，则11-a?S(1)若2∈S，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素.(2)证明:若a∈S，则1-1(3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由.【答案】(1)-1和12(2)证明见解析(3)不能，理由见解析【分析】（1）由2∈S得到-1∈S，进而求出12（2）11-a?S，进而得到（3）令a=1【详解】（1）因为2∈S，所以11-2所以11--1=1所以集合S中另外的两个元素为-1和12（2）由题意，可知a≠1且a≠0，由11-a?S，得即11-所以若a∈S，则1-1（3）集合S中的元素不可能只有一个.理由如下:令a=1即a2因为?=1-4<0，所以此方程无实数解，所以a?因此集合S中不可能只有一个元素.43．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考期中）对于给定的整数i，若非空集