旋转相似三角形的探究

#旋转相似三角形问题的探究【牛刀小试】如图，AB=8,。为AB的中点，满足OP=2,连接BP,将BP绕P点逆时针旋转90°到PC,连接BC、AC,则AC的取值范围是【分析】不变量：AB、OP和/BPC=90°变量：P（轨迹为圆），BP、CP、AC、BC关系：。为AB中点，BP=CP求解：AC（AC=2OD,遇到中点，中位线），联想45°旋转。【解答】如图，以OB为斜边作等腰直角三角形OO'B,则/OBO'=45°,由题意可知/PBC=45°, ZOBP=ZO'BD,取BC中点D'。连接PD、OD,又-OB-O'B所以OB_又-OB-O'B所以OB_PBO'BBD△OBP^AO'BD墨=应，O'D=五,D的轨迹是以。'为圆心，半径为J2的圆故J2MOD<372,OD分别为AB、BC中点，所以AC=2OD,所以2J2工ACM6J2.牛刀小试.gsp牛刀小试.gsp【庖丁解牛】旋转相似的主要特点：①旋转前有一对相似三角形，旋转后新产生一对相似三角形;②证明新三角形相似的方法：“两边一夹角判定法”；③角相等从旋转得到，对应边成比例从原三角形相似中得到适用对象：共（对应）顶点的一对相似三角形B口用榴旺角开月I司相似三角附旋转相似动画演示.gsp△ABC^AADE,△ABDace△ABCs^ade,△ABDace例：如图，在4ABC中，AB=5,AC=4,△ABC绕着点A旋转后能与^AB'C重合，那么4ABB与4ACC的面积之比为析：根据旋转的性质，可得△ABC与^AB'C的关系，根据两边对应成比例，夹角相等的三角形相似，可得△ABB与4ACC的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案.答：△ABC绕着点A旋转后能与△ABC重合，・•.AB=AB'，AC=AC；/BAB'=/CAC',•.AB:AC=AB':AC',/BAB'=/CAC'・.△ABB's△ACC",,.AB:AC=5:4,・•.△ABB与^ACC'的面积之比=(5:4)2=25:16,故答案为：25:16.【变式拓展】1、已知AB为圆。的直径，AB=4,C为OB的中点，点P在圆。上运动，连接CP,以CP为边作等边三角形CPD,则OD的最大值为【解答】如图，以OC为斜边作等边三角形OO'C,则/OCO'=60°,由题意可知/PCD=60°,ZOCP=ZO'CD, AOCP^AO'CD,O'D=OP=2/PCD=60°,D的轨迹是以。'为圆心，半径为2的圆，故O、O'、D共线时，OD由最大值3.变式：已知AB为圆。的直径，AB=4,C为OB的中点，点P在圆。上运动，连接CP,以CP为直角边，P为直角顶点作等腰直角三角形 CPD,则OD的最大值为.【解答】如图，以O为直角顶点，OC为直角边作等腰直角三角形OO'C,则/OCO'=45°,由题意可知ZPCD=45°, /OCP=/O'CD,又^%=耳=/，△OCPs^o'cd,O'D=72OP=2衣O'Ccd72D的轨迹是以O'为圆心，半径为2J2的圆，故O、O′、D共线时，OD由最大值2J2+1.2、【无锡市惠山区】如图， AABC是等腰直角三角形，/ACB=90°,点E、F分别是边BC、AC的中点，P是AB上一点，以PF为一直角边作等腰直角三角形 PFQ,且/FPQ=90°,若AB=10,PB=1,则QE的值为()A.3 B.3近 C.4 D.4也解：连结FD,D是AB的中点，如图，.「△ABC为等腰直角三角形，AB=10,PB=1,.•.AC=BC=5业/A=45。,•・•点D、E、F分别是"BC三边的中点，AB=10,PB=1,.•.AD=BD=5,DP=DB-PB=5-1=4,EF、DF为AABC的中位线,・.EF//AB,EF=1AB=5,DF=2BC=5*2,/EFP=/FPD,

52•/FDA=45，EF=-5-・./DFP+ZDPF=45°,「△PQF为等腰直角三角形，./PFE+/EFQ=45°,FP=PQ,・./DFP=ZEFQ,「△PFQ是等腰直角三角形,.DF_=PF■EF—Fq-'・.△FDP^AFEQ,EFcFd-=《.•.QE=^2DP=4-72.选D.变式：若D为AB的中点，P在PD之间运动时，则QE的范围是【实战演练】1.【无锡市江南中学】如图，在矩形ABCD中，将/ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后， BC的对应边B'C'交CD边于点B'C'交CD边于点G.连接（结果保留根号）BB'、CC'.若AD=7,CG=4,AB'=B'G,则一：

BB解：连接AC,AG,AC',由旋转可得，AB=AB',AC=AC',/BAB'=/CAC',,ABAB.AC=AC''・.△ABB'^AACC',,ABAB.AC=AC''・.△ABB'^AACC',CC'=ACBB尸AB'••AB'=B'G,ZAB'G=ZABC=90°,AB'G是等腰直角三角形，AG=J2AB',设AB=AB'=x,则AG=\2x,DG=x-4,••RtAADG中,AD2+DG2=AG2,-72+(x-4)2=hj2x)2,解得x1=5,x2=—13(舍去)，AB=5,••RtAABC中，AC=\,'AB2+BC2=^52+72=74,.CC_=AC_\74-BBAB―5,2.【宜兴市实验学校】如图，△ABC在第一象限，其面积为8.点P从点A出发，沿^ABC的边从A-B-C-A运动一周，在点P运动的同时，作点P关于原点。的对称点Q,再以PQ为边作等边三角形PQM,点M在第二象限，点M随点P运动所形成的图形的面积为（ ）A.3 B.9 C.27 D,973

解：如图，二.点P从点A出发，沿那BC的边从A—B-C-A运动一周，且点Q关于原点。与点P对称，♦・点Q随点P运动所形成的图形是AABC关于O的中心对称图形，以PQ为边作等边APQM,M点对应的A,B,C的点分别为Ma,Mb,Mc,.「△MbQbB是等边三角形，，MbO=13OB,同理Mc0=J30C,,MbO_McO_3-Bo-=~CO~=7'./COB+ZBOMc=90°,ZMcOMb+ZBOMc=90°./COB=ZMQMb，••AMcOMb^ACOB,•MbMc=V3BC,同理,MaMb=艰AB,MaMc="3AC,•・△MaMbMc的面积=V3X..3X9=27,即点M随点P运动所必成的图形的面积为 27.选C.3.【无锡市天一实验学校】如图，已知点A是第一象限内横坐标为2m的一个定点，AC^x轴于点M,交直线y=—x于点N.若点P是线段ON上的一个动点，/APB=30°,BAXPA,则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是.解：由题意可知，OM=2,3,点N在直线y=—x上，AC^x轴于点M,则4MN为等腰直角三角形，ON=J2om=\2x213=2、6.如答图①所示，设动点 P在O点（起点）时，点 B的位置为B。，动点P在N点（终点）时，点 B的位置为Bn,连接BoBn..AO，ABo,AN，ABn，・••/OAC=/B°ABn，又.•ABo=AO-tan30,ABn=AN-tan30°，.二AB°：AO=ABn：AN=tan30°（此处也可用30°角的Rt「边长的关系来求得），AAB0Bn^AAON,且相似比为tan30°,3B0Bn=ON-tan30=276><^=2燧.3现在来证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）.B为Bi，连接AP,ABiB为Bi，连接AP,ABi,BoBi•.AO±ABo,AP±ABi,•-ZOAP=/B°ABi,又•••AB0=AO-tan30,ABi=AP-tan30°，.二AB0:AO=ABi:AP,・.△ABoBiS^AOP, AB0Bi=ZAOP.又..AAB0Bns4AON,../ABoBr^/AOP,• AB°Bi=/ABoBn，・・•点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）.综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn,其长度为2^.2.4.（1）如图1,已知^ABC,以AB,AC为边分别向△ABC外作等边4ABD和等边AACE,连结BE,CD,请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 ），并证明：BE=CD;（2）如图2,利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形 ABCD中，AD=3,CD=2,ZABC=ZACB=ZADC=45°,求BD的长.（3）如图3,四边形ABCD中，/CAB=90°,/ADC=/ACB=%tan“=4,CD=5,AD=12,求BD的长.图1 图图1 图2 图3解：⑴如图1,分别以点A.B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D,连接AD、BD,再分别以A.C为圆心,以AC为半径画弧，交于点E,连接AE、CE,则^ABD、AACE就是所求作的等边三角形；证明：如图1,ABD和4ACE都是等边三角形,.AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZEAC=60°,./DAC=ZBAE,.△DAC^ABAE(SAS),BE=CD;由勾股定理得：DE=。32+32=3折,./EDA=45°,./ADC=45°,./EDC=/EDA+/ADC=90°,./ACB=ZABC=45°,./CAB=90°,./CAB+/DAC=/EAD+/DAC,•••AE=AD,AC=AB,

•.△DAB^AEAC(SAS),EC=BD,在RtAdce中，ec=Jed2+cd2=J(3应j+2W22,BD=EC=722;(3)如图3,作直角三角形DAE,使得/DAE=90°,ZEDA=ZABC,连接EC,容易得到△DAEsABAC,AEAC=ADAB,即AEAD=ACAB,./DAE=ZBAC=90°,./DAE+/DAC=/BAC