2021北京初二（上）期末数学汇编：勾股定理

2021北京初二（上）期末数学汇编

勾股定理

一、单选题

1.（202卜北京延庆•八年级期末）在RSABC中，NACB=90。，AC=BC=1.点Q在直线BC上，且AQ

=2,则线段BQ的长为（）

A.柩B.75C.百+1或省-1D,6+1或逐-1

2.（2021•北京延庆•八年级期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）

A.3,4,8B.5,6,10C.5,5,11D.5,12,13

3.（2021•北京•八年级期末）如图甲，直角三角形AABC的三边a,b,c,满足M+从=c?的关系.利用这

个关系，探究下面的问题：如图乙，AOAB是腰长为1的等腰直角三角形，ZOAB=90°,延长。4至旦，

使AB|=O4,以。片为底，在A。4s外侧作等腰直角三角形0AB一再延长。4至鸟,使4鸟=。4,以

。当为底，在AOABE卜侧作等腰直角三角形。4鸟......按此规律作等腰直角三角形0A“纥（〃21,〃为

正整数），则&与的长及A。％⑼的面积分别是（）

A.2,22020B.4,22021C.2忘,22020D.2,220,9

4.（2021•北京顺义八年级期末）如图，已知A4?C中，NABC=45。，F是高AD和8E的交点,

AC=M,BD=2,则线段。k的长度为（）

5.（2021•北京通州•八年级期末）小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原

点为O,在数轴上找到表示数2的点A,然后过点A作ABLOA,使AB=1；再以O为圆心，OB的长为

半径作弧，交数轴正半轴于点P,那么点P表示的数是（）

D.娓

两条直角边之比为3：4,那么这个直

角三角形的周长为（）

A.27cmB.30cmC.40cmD.48cm

二、填空题

7.（2021.北京房山.八年级期末）如图，这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：一根竹子高1

丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是尺（1丈=10尺）

8.（2021♦北京市育英中学八年级期末）在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所

文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳

子拉直，则绳端离旗杆底端的距离（8C）有5米.则旗杆的高度.

9.（2021•北京顺义・八年级期末）已知AMC中，ZC=90°,AB=2cm,AC+BC=46cm,则AABC的面积

为.

10.（2021.北京石景山•八年级期末）我国古代的数学名著《九章算术》中有这样一道题目“今有立木，系

索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”译文为“今有一竖立着的木柱，在木柱的

上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵索沿地面退行，在离木柱根

部8尺处时，绳索用尽.问绳索长是多少？”示意图如图所示，设绳索AC的长为x尺，木柱AB的长用含

x的代数式表示为一尺，根据题意，可列方程为一.

11.（2021・北京房山•八年级期末）已知：如图，“BC中，ZACB=90°,AC=BC=6，"BO是等边三角

形，则S的长度为.

12.（2021•北京延庆•八年级期末）如图,在△ABC中，ZACB=90°,AD平分NBAC,AB=10,AD=

5,AC=4,则4ABD的面积为

13.（2021•北京通州•八年级期末）如图中的每个小方格都是边长为1的正方形，那么/ABC的度数是

14.（2021•北京大兴•八年级期末）已知：如图，在A48C中,AB=BC=3,ZBAC=30°,分别以点A,C

为圆心，4C的长为半径作弧，两弧交于点O,连接D4,DC,BD,下面四个结论中，①4O=C。；

②③AC=6；④2MCO是等边三角形；所有正确结论的序号是.

D

AB

15.（2021•北京门头沟•八年级期末）如图，在三角形纸片ABC中，ZACB=90°,BC=6,AB=10,如果

在AC边上取一点E,以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，那么

CE的长为

16.（2021•北京平谷•八年级期末）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、。均在格点上，则

NCAB+NCBA三

17.（2021•北京门头沟•八年级期末）如图，A4BC中，AB=4五,ZABC=45°,。是BC边上一点，且

AD=AC,若BD-DC=1.求。C的长.

18.（2021•北京昌平•八年级期末）定义：点P是AMC内部的一点，若经过点尸和AABC中的一个顶点的

直线把AMC平分成两个面积相等的图形，则称点P是AABC关于这个顶点的均分点.例如图中，点P是

△ABC关于顶点A的均分点.

(1)下列图形中，点。一定是AABC关于顶点8的均分点的是;(填序号)

①NBAE=NCAE②BE=CE

(2)在AABC中，8c=2,AB=AC且A8>BC,点尸是AABC关于顶点A的均分点，且他壮尸2,直接

写出/3PC的范围；

(3)如图，在AABC中，N8AC=90°,BC=10,点尸是AABC关于顶点A的均分点，直线AP与8c交于

点。，当8PJ_A£>时，BP=4,求CP的长.

19.(2021.北京石景山.八年级期末)如图，AABC中，AC=2AB=6,BC=3百.AC的垂直平分线分别交

AC,BC于点D,E.

(1)求BE的长;

（2）延长DE交AB的延长线于点F,连接CF.若M是DF上一动点，N是CF上一动点，请直接写出

CM+MN的最小值为.

20.（2021•北京石景山•八年级期末）在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,请在图中画出

2个形状不同的等腰三角形，使它的腰长为围，且顶点都在格点上，则满足条件的形状不同的等腰三角形

共个.

21.（2021•北京房山・八年级期末）在HAABC中，ABAC=90°,AB^AC.

（1）如图1,点D为BC边上一点,连接AO,以A。为边作心△ADE,ZZME=90°,AD=AE,连接

EC.直接写出线段8。与CE的数量关系为,位置关系为.

（2）如图2,点。为BC延长线上一点，连接AD,以AD为边作RtAADE,NZME=90。，AD=AE,连

接EC.

①用等式表示线段8C,DC,EC之间的数量关系为.

②求证：BL>2+CD?=2AD?.

（3）如图3,点。为外一点，且NADC=45。，若80=13,CD=5,求AO的长.

图3

22.（2021•北京平谷•八年级期末）如图：AB=AC,ADIBC^D,AE=DE.

求证：（1）DE//AB；

（2）若NB=60。，DE=2,求的长.

参考答案

1.c

【分析】分Q在CB延长线上和Q在BC延长线上两种情况分类讨论，求出CQ长，根据线段的和差关系

即可求解.

【详解】解：如图1，当Q在CB延长线上时，

在RtAACQ中，CQ=JAQJAC.=打-]2=6,

.•.BQ=CQ-BC=G-I；

图1

如图2,当Q在BC延长线上时，

在RtAACQ中，CQ-AQ2—AC2->/22—I2=>/3>

:.BQ=CQ+BC=G+1;

图2

ABQ的长为G+l或6-1.

故选：C

【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意画出图形，分类讨论是解题关键.

2.D

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长”，〃，C满足/+〃=。2,那么这个三角形就是直

角三角形进行分析即可.

【详解】解：A：32+42=25/82,不能组成直角三角形，不符合题意；

B：52+6\6屏102,不能组成直角三角形，不符合题意；

C：52+52=50彳11?,不能组成直角三角形，不符合题意；

£＞：52+122=169/132,可以组成直角三角形，符合题意.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三

条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则

不是.

3.A

【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出4B?的长，再进一步推出一般规律，利用规律

求解AOAmE2⑼的面积即可.

【详解】由题意可得：OA=AB=A4=1,0B,=2,

•••△04,与为等腰直角三角形，且“直角三角形AABC的三边a,b,c,满足合+从二。。的关系”，

.••根据题意可得：。\=44=应，

04=204=272,

04=AJS2==2，

L,

二总结出。4"=（四）”，

•；=丁乂

S^OAE11=5,5A<7A/）1=-X^XV2=1,S^0AA=-x2x2=2,

归纳得出一般规律：S,叽期=gx（夜）"x（0）”=2i,

•o_,2020

*・=乙'

故选：A.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三

角形的性质归纳一般规律是解题关键.

4.D

【分析】先证明△8。尸名△AOC,得到BQAC=W，再根据勾股定理即可求解.

【详解】解：YA。和跖是aABC的高线，

・・・ZADB=ZADC=ZBEC=90°,

AZDBF+ZC=90°,ZCAD+ZC=90°,

・・・/DBF=/CAD,

•/ZABC=45°,

・•・/84£>=45。，

：.BD=AD,

：./\BDF^AADCf

/.BF-AC-y[s,

在放AB。/中，DF=J8尸2_BO?=J（石『_2?=1.

故选：D

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△8DF四△AOC是解题关键.

5.B

【分析】根据题意可知AAOB为直角三角形，再利用勾股定理即可求出OB的长度，从而得出OP长度，

即可选择.

【详解】

...AAOB为直角三角形.

.•.在R/AAOB中，OB=\lo/^+AB2-

根据题意可知。4=2,AB=\,

OB=V22+12=75•

又；OB=OP=45,

；.P点表示的数为6.

故选：B.

【点睛】本题考查数轴和勾股定理，利用勾股定理求出。8的长是解答本题的关键.

6.D

【详解】试题分析：可根据一个直角三角形的两条直角边长的比是3：4,得出两直角边为3x,4x,再利

用勾股定理，直接代入即可求得结果.

•..一个直角三角形的两条直角边长的比是3：4,

.•.设两条直角边长的长是3x,4x,

:.(3x)2+(4x)2=202,

解得：x=4或-4(不合题意舍去)

.♦.3x=12,4x=16,

,这个三角形的周长是：12+16+20=48cm.

故选D.

考点：本题考查的是勾股定理的应用

点评：利用两直角边的比值表示出两直角边的长是解题关键.

7.4.55

【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为(10-外

尺，利用勾股定理求解即可得到答案.

【详解】解：设设竹子折断出离地面的高度是x尺，则斜边为(10-x)尺

由勾股定理得f+32=(10-x)2

国军得x=4.55

故答案为：4.55.

3尺

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形利用勾股定理解

题.

8.12米

【分析】设旗杆的高度是x米，绳子长为(x+1)米，旗杆，拉直的绳子和8C构成直角三角形，根据勾股

定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度.

【详解】解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：

(x+l)2=x2+52,

解得：x=12,

答：旗杆的高度为12米.

故答案为：12米.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可

求解.

9.^-cm2

【分析】设BC=acm,AC=bcm,则a+b=",即可得至+=6,根据勾股定理得到a2+〃=4,进而

得到久历=2,根据三角形面积公式即可求解.

【详解】解：设BC=acm,AC=bcm,则a+b=V^,

(^a+by=6,

即a2+b2+2ab=6,

VZC=90%

,cr+b^AB2=4,

：.2ab=2,

・C1A12

••22Cm'

故答案为：7cm2

【点睛】本题考查了完全平方公式，勾股定理等知识，准确掌握两个知识点并建立联系是解题关键.

10.(x-3)(x-3)2+82=x2

【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程.

【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为(X-3)尺，

根据勾股定理可列方程：（X-3）2+82=V,

故答案为：（x—3）；（x—3）2+8?=工2.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键.

II.>/3+1

【分析】由勾股定理求出AB,根据等边三角形的性质得出48=AO=BD=2,ZDAB=ZABD=60°,证出

ABLCZ）于E,且AE=BE=1,求出AE=CE=1,由勾股定理求出DE,即可得出结果.

【详解】解：：NACB=90。，AC=BC=y/2,

/.AB=y/AC2+BC2=J（可+（厨=2,ZCAB=ZCBA=45°,

「AAB。是等边三角形，

：.AB=AD=BD=2,N£）A8=/ABO=60。，

'：AC=BC,AD=BD,

二AB_LCD于E,且AE=BE=1,

在R/ZkAEC中，ZAEC=90°,ZEAC=45°,

ZEAC=ZACE=45°,

，AE=C£=1,

在RRAED中，ZAED=90°,AD=2,AE=\,

DE=y/AD2-AE2=G，

CD=6+1.

故答案为G+l.

【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知

识.运用勾股定理求出OE是解决本题的关键.

12.15

【分析】过D作DELAB垂足为E,根据角平分线定理可得DE=CD=3,然后根据三角形的面积公式计算即

可.

【详解】解：如图：过D作DELAB垂足为E,

VZC-9O0,

.,.在RSACD中，CD=>]AD2-AC2=^52-42=3.

VZC=90°,DE1AB,AD平分NBAC,

；.DE=CD=3,

.1△ABD的面积为LABX£>E」X10X3=15.

22

故答案为：15.

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.

13.45°

【分析】根据题意可求出AB、AC、BC的长，发现正好满足勾股定理，即可求解.

【详解】由图可知：BC=Vl+32=710-AC=Jl+32=而，=五+42=2后,

/.AB2=AC2+BC2,

.••△ABC为等腰直角三角形，

，ZABC=45°,

故答案为：45°.

【点睛】本题主要考查的是勾股定理解三角形，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.

14.①②④

【分析】根据垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，和直角三角形的性质，勾股定理对各项逐一

进行判定即可.

【详解】解：•••分别以点A,C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点£>,

.,.AD=CD=AC,故①正确：

...△ACQ是等边三角形，故④正确；

VAB=BC,AD=CD,

；.BD垂直平分AC,

ABDIAC,故②正确；

VAB=BC,

ZACB=ZBAC=30°,

VAACD是等边三角形，

.,.ZDAC=60°,

二NBAD=90°,

VBD1AC,

/ADB=30。，

VAB=BC=3,

，DB=6,

，AD=6AB=3百，

:，AC=3出,故③错误；

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了含30。角的直角三角形，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理熟

练掌握直角三角形的性质是解题的关键.

15.3

【分析】利用勾股定理可求出AC=8,根据折叠的性质可得BD=AB,DE=AE,根据线段的和差关系可得

CD的长，设CE=x,则DE=8-x,利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.

【详解】VZACB=90°,BC=6,AB=10,

：•AC=yjAB2-BC2=>/102-62=8，

..•BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，

.".BD=AB=10,DE=AE,NDCE=90。，

；.CD=BD-BC=10-6=4,

设CE=x,贝DE=AE=AC-CE=8-x,

.•.在RsDCE中，DE2=CE2+CD2,即(8-x)2=x2+42,

解得：x=3,

：.CE=3,

故答案为：3

【点睛】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线

段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键.

16.45

【分析】设每个小格边长为1，可以算得AD、CD、AC的边长并求得NACD的度数，根据三角形外角性

质即可得到NCAB+NCBA的值.

【详解】解：设每个小格边长为1,则由图可知：

AD=CD=y/l2+22=y/5,AC=y/l2+32=710,

:.AD2+CD2=AC2,

/.△ADC是等腰直角三角形，

二NACD=45°,

又NACD=/CAB+/CBA,

,ZCAB+ZCBAM50,

故答案为45.

【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理及三角形的外角性质是解题关键.

17.2

【分析】过点A作8c于点E,贝ljNAEB=90°,DE=CE,结合/4BC=45。可得出正=45。，进而

可得出4?=3石，在中，利用勾股定理可求出BE的长，即和+；。。=4,结合3D-DC=1可求出

0c的长.

【详解】解：过点A作于点如图所示.

ZAEB=90°fDE=CE.

vZABC=45°,

ZBAE=45°,

AE=BE.

在Rt^ABE中，*•*AB=4>/2，

AE2+BE2=AB2，即BE2+BE2=(4夜产，

;.BE=4,

:.BD+-DC=4.

2

又，；BD-DC=1,

;.DC+l+-DC=4,

2

：.DC=2.

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，在RIAABE中，利用勾股定理

求出席的长是解题的关键.

18.(1)④；(2)60°领上BPC90°；(3)2如

【分析】(1)根据题意所给的均分点的定义逐项判断即可.

(2)根据均分点的定义结合勾股定理，分别计算出=和8P=2时，NBPC的大小即可.

(3)过C点作CELAP,交直线”于点E.根据均分点的定义可知，BD=CD=5.根据勾股定理即可

求出PD.又根据题意易证A3PD%CZ)E(A4S),推出P8=CE=4,PE=2PD=6.再利用勾股定理即可

求出CP长.

【详解】(1)①D点在直线AE上，故D点不是AABC关于顶点B的均分点.

②D点在直线AE上，故D点不是AABC关于顶点B的均分点.

@ZABE=ZCBE,不能推出AE=EC,即不能说明久诋=，故不能证明D点是AABC关于顶点B的

均分点.

④由AE=EC,可知=S’CBE，所以D点是AABC关于顶点B的均分点.

综上，选④.

（2）如图，当8P=加时,

VAB=AC,P点是均分点，

ABD=DC=1,AD±BC,

・••在R/Z^BOP中，DP=y]BP2-BD2=A/2^1=1»

・・・BD=DC=DP=1,

:./BPD=NCPD=45°,

AZBPC=90°.

如图，当3P=2时，

同理可求出/BPD=ZCPD=30°,

AZBPC=60°.

综上，60°<ZBPC<90°.

(3)过C点作CEJ_AP,交直线"于点E,

丁点P是“U?。关于顶点A的均分点，BC=10,

:.BD=CD=5,

在中，PD=ylBD2-BP2=725-16=3»

-BP1AP,CE1AP,

/BPD=NCED=9«,

・；ABDP=/CDE,

・•△BPD'CDE(AAS),

:.PD=DE=3fPB=CE=4.,

:.PE=2PD=6,

在Rt^PEC中，CP=JPE、C比=J36+16=2万.

【点睛】本题考查新定义“均分点”，勾股定理，三角形全等的判定和性质等知识.根据题意充分理解均分

点的定义是解答本题的关键.

19.（1）BE=C；（2）373

【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得AABC是直角三角形，ZB=90°,连接AE,根据线段垂直平分线

的性质可得,在Rt^ABE中利用勾股定理列出方程即可求解；

（2）根据题意画出图形，若使CM+MN的值最小，则A,M,N共线，且4V_LCF,利用全等三角形的

判定与性质即可求解.

【详解】解：（1）连接AE,

VAC^2AB=6,BC=3&,

,AC2=AB2+BC2,

...AABC是直角三角形，Zfi=90°,

；DE垂直平分AC,

AE=CE,

在RtAABE中，AE2=AB2+BE2,即CE?=AB?+BE?,

A(3V3-BE)'=32+B£2,解得8E=若；

(2)：DE垂直平分AC,M是DF上一动点，

,AM=CM,

：.CM+MN=AM+MN,

若使CM+脑V的值最小，则A,M,N共线，且如图,

B

在△ABC和VC7\八中，

NB=ZANC

<ZACB=/CAN,

AC=AC

:・^ABC义VCNA,

AN=BC=36.

【点睛】本题考查勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用以上基

本性质定理是解题的关键.

20.画图见解析，5

【分析】根据等腰三角形的定义作图即可求解.

【详解】解：如图，立％3和AOBC是腰长为质的等腰三角形，作图如下：

可画出满足条件的形状不同的等腰三角形有AOAB、△04E、△04）、AOBC、△。必共5种.

【点睛】本题考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键.

21.（1）BD=CE,BD1CE；（2）@BC+DC=EC,②见解析；（3）6及.

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到N8=N4cB=45。，根据题意可知

ZBAC-ZDAC=ZDAE-ADAC,即4A£>=NC4E,再利用SAS证明。丝VC4E,可得到

BD=CE,ZABC=ZACE^45°,从而算出N8CE的度数，进而得到线段BD与CE的位置关系；

（2）①根据角度的运算得到/BAD=NC4£,再利用SAS证得A84£）gVCAE,得到BD=CE,再根据

BD=BC+CD,等量代换即可求出答案；

②由①中△84。2VC4E,得到BQ=CE,ZABC=ZACE,在根据等腰直角三角形的性质即可得出

ZACE的度数，进而证得NBC£=/DCE=90。，根据勾股定理得到AS+A。?=。石?，CE2+CD2=DE2,

等量代换后得至IJA炉+4。2=。石2+82,又因为AE=A£>,BD=CE,代入即可得出答案；

(3)过点A作力石_LAD,并且AE=AO,连接OE,CE,得到~4。石是等腰直角三角形，由(2)得

△BADmYCAE,得到3O=CE,在吊△C0£中，通过勾股定理求出OE的长度，在放中又由勾股

定理得：AE2+AD2=DE29再根据A£=AQ,代入数据即可求出AD的长度.

【详解】(1)•・•在R〃A3C中，NR4c=90。，AB=A