北师大版九年级数学上册 （矩形的性质与判定）特殊平行四边形教育教学课件(第2课时)

第一章特殊平行四边形

1.2矩形的性质与判定第2课时

1课堂讲解由对角线关系判定矩形由直角的个数判定矩形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升做一做如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？1知识点由对角线关系判定矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.请完成该定理的证明：

知1－讲知识点知1－讲例1如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求ABCD是矩形.（来自教材）知识点知1－讲∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.∴OA＝OB＝OC＝OD＝4.∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.∴ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．（来自教材）解：1如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．知1－练（来自《典中点》）2下列关于矩形的说法中正确的是(

)

A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分知1－练（来自《典中点》）3已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是(

)A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形D．当∠ABD＝∠CBD时，四边形ABCD是矩形知1－练（来自《典中点》）2知识点由直角的个数判定矩形知2－导想一想我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．（来自教材）（来自教材）知2－讲例2已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC

的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD=∠BAC，∠CAN＝∠CAM.∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝(∠BAC＋∠CAM)＝×180°＝90°在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．1数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是(

)A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量三个角是否都为直角知2－练（来自《典中点》）2下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等；⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个知2－练（来自《典中点》）3议一议你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．知2－练（来自教材）1.矩形的判定方法：（1）矩形的判定与性质是互逆定理；（2）判定矩形的常见思路如下：平行四边形四边形矩形对角线互相平分有三个角是直角有一个角是直角对角线相等1.必做:完成教材P16T1-T32.补充:请完成《典中点》剩余部分习题第一章

特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第3课时

1题型利用矩形的判定和性质解和差问题如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为E，F，D.(1)求证：BD＝PE＋PF.(2)当点P在BC的延长线

上时，其他条件不变．

如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立

吗？若不成立，请说明理由．(1)如图，作BH⊥FP交FP的延长线于点H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，

∴四边形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.证明：又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB＝90°.又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.则PE＝PH.∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.即BD＝PE＋PF.(2)不成立，PE＝BD＋PF.理由：作BH⊥PF交PF的延长线于点H.

与(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.解：2．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接

AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：

四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD

是等边三角形，且边长为4，

求四边形ABFC的面积．2题型利用矩形的判定和性质解面积问题(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF.又∵点E为BC的中点，

∴BE＝CE.又∵∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.证明：又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC.∴四边形ABFC为矩形．(2)∵四边形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.

又∵△AFD是等边三角形，且边长为4，∴CF＝CD＝

＝2.∴AC＝∴S矩形ABFC＝解：3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.

求证：四边形AODE是矩形．3题型利用矩形的定义判定与菱形有关的矩形∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.∴四边形AODE是矩形．证明：4．如图，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分别

是AB，CD的中点，判断MN与CD的位置关系，

并说明理由．4题型利用直角三角形斜边上中线性质判断直线位置关系MN⊥CD.理由如下：如图，连接ND，NC.在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，N是AB的中点，∴ND＝

AB.同理可证NC＝

AB.∴ND＝NC.∴△NDC是等腰三角形．

在等腰三角形NDC中，∵M是CD的中点，∴MN⊥CD.解：5．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，

我们把一个四边形ABCD

的四边中点E，F，G，

H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边

形吗？5题型利用矩形、菱形的判定探究条件小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.点E，F分别是AB，BC的中点EF∥GHEF＝AC点G，H分别是CD，AD的中点GH∥ACGH＝ACEF∥GHEF＝GH四边形EFGH是平行四边形参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则

四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由．(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱

形？写出结论并说明理由．②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩

形．直接写出结论．(1)四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：

连接AC.∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝

AC.∵G，H分别是CD，AD的中点，∴GH∥AC,GH＝

AC.∴EF∥GH，EF＝GH.∴四边形EFGH是平行四边形．解：(2)①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．

理由如下：由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，当AC＝BD时，FG＝

BD，EF＝

AC，∴FG＝EF.∴四边形EFGH是菱形．②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．

点拨：(2)②中由(1)可知四边形EFGH是平行

四边形，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.∵AC⊥BD，∴EF⊥BD.∵G，F分别是CD，BC的中点，∴FG∥BD.∵EF⊥BD，∴EF⊥FG.即∠EFG＝90°.∴四边形EFGH是矩形．6．已知点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且

BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P是EC上的一动点，

且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.6题型利用矩形的性质探究动点问题(1)如图①，当点P为线段EC的中点时，求证：PR＋PQ＝(2)如图②，当点P为线段EC上任意一点(不与点E，点C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成

立？若成立，请给