北师大版九年级数学上册 （正方形的性质与判定）特殊平行四边形课件教学(第1课时)

正方形的性质与判定第1课时北师大版九年级上册数学同步课件

学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.理解正方形的概念.2.探索并证明正方形的性质，并了解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别.3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.学习目标重点难点下图中的四边形都是特殊的平行四边形.观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？222.52.533生活中有哪些这样的图形呢？一正方形的性质新知学习有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.有一组邻边相等有一个角是直角平行四边形正方形思考正方形是矩形吗？你认为正方形有哪些性质？正方形既是矩形，又是菱形.正方形具有矩形与菱形的所有性质.仔细思考，给出你的答案定理

正方形四条边相等，四个角都是直角.定理

正方形的对角线相等且互相垂直平分.探究例1 已知：如图，四边形ABCD

是正方形，

求证：正方形ABCD

四边相等，四个角都是直角.证明：∵

四边形ABCD

是正方形，

∴四边形ABCD

是矩形(正方形也是矩形).

∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° .

∵

四边形ABCD

是正方形，∴四边形ABCD

是菱形(正方形也是菱形). ∴AB=BC=CD=AD .ABCD例2 已知：如图，四边形ABCD

是正方形.对角线AC、BD

相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.ABCDO证明：∵四边形ABCD

是正方形， ∴四边形ABCD

是平行四边形. ∴AO=BO=CO=DO(平行四边形对角线互相平分).

∵四边形ABCD

是正方形， ∴四边形

ABCD

是菱形， ∴AC⊥BD(菱形对角线互相垂直).ABCDO思考正方形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？ABCD同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考.对称性：

.对称轴：

.轴对称图形4条1.如图，在正方形ABCD

中，E

为CD

上一点，F为

BC

延长线上一点，且CE=CF.BE

与DF

之间有怎样的关系？请说明理由.针对训练ABDCFE解：BE=DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四边形ABCD

是正方形，

∴BC=DC，∠BCE=90°.(正方形的四条边都相等，四个角都是直角)∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF，

∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.ABDCFE(2) 延长BE

交DE

于点M， ∵△BCE≌△DCF， ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°， ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.ABDFECM思考平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？试着用一个图直观地表示他们之间的关系！矩形正方形平行四边形菱形一组邻边相等一组邻边相等一个角为直角一个角为直角2.如图，在正方形ABCD

中，对角线AC

与BD

相交于点O，图中有多少个等腰直角三角形？解：共有8个等腰直角三角形.ABCDO3.如图，在正方形ABCD

中，点F

为对角线AC

上一点，连接BF，DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.ABFDC全等三角形有：△AFD≌△AFB，△CFD≌△CFB，△ACD≌△ABD.证明：∵四边形ABCD

为正方形，∴AD=AB(正方形的四条边都相等).∠DAF=∠BAF(正方形对角线也是顶角的角平分线)在△AFD和△AFB

中∵ AF=AF，

∠DAF=∠BAF， AD=AB，∴△AFD≌△AFB(SAS).ABFDC自己证明其余的两对三角形全等哦！以△AFD全等于△AFB为例.课堂小结1.四个角都是直角2.四条边都相等3.对角线相等且互相垂直平分正方形的性质性质定义有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系正方形的性质与判定第2课时北师大版九年级上册数学同步课件

教学目标1．探索并证明正方形的判定，了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.情景导入什么是正方形？正方形有哪些性质？正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.正方形性质：①四个角都是直角;

②四条边都相等; ③对角线相等且互相垂直平分；④既是中心对称图形也是轴对称图形.新知讲解如何判定一个四边形是正方形呢？判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；（2）先证它是菱形，再证它有一个角为直角.

简记

：

即是矩形又是菱形就是正方形新知讲解如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？剪下一个等腰直角三角形就能剪出一个正方形.新知讲解方位角和距离满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．有一个角是直角有一组邻边相等有一组邻边相等有一个角是直角对角线相等对角线垂直新知讲解准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.新知讲解猜想

满足怎样条件的矩形是正方形？矩形一组邻边相等对角线互相垂直正方形你能证明这两种猜想吗？新知讲解定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.证明：有一组邻边相等的矩形是正方形.新知讲解证明：对角线互相垂直的矩形是正方形.已知：如图，在矩形ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.ABCDO证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB,∴AD=AB=BC=CD,∴四边形ABCD是正方形.归纳总结通过矩形判定正方形：符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD，所以四边形ABCD是正方形。判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形。符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，所以四边形ABCD是正方形。ABCDO判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形。新知讲解你能证明这两个猜想吗？把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.正方形猜想

满足怎样条件的菱形是正方形？菱形一个角是直角对角线相等正方形新知讲解定理：有一个角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.新知讲解定理：对角线相等的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC=BD，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定义）.归纳总结正方形判定的几条途径：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形条件(二选一)菱形条件(二选一)一个直角，一组邻边相等，对角线相等对角线垂直平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角典例精析例1如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形.FABECD典例精析FABECD证明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°,又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.想一想我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明.想一想ADCBA1B1C1D1以正方形四边的中点为顶点，可以组成一个正方形。证明思路：利用三角形的中位线证出A1D1=A1B1=C1D1=C1B1，从而得到四边形A1B1C1D1是矩形，再根据一组邻边相等得出A1B1C1D1是正方形。议一议以菱形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？以矩形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？菱形的中点组成的四边形是矩形.你能试着证明吗？矩形的中点组成的四边形是菱形.议一议已知：如图，点E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为矩形.证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形.又∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°.∴四边形EFGH是矩形（矩形的定义）议一议已知：如图，点E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点.求证：四边形EFGH为菱形.

议一议∴四边形EFGH为平行四边形.又∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形EFGH是菱形（菱形的定义）归纳总结决定中点四边形形状的关键因素是什么？对角线不垂直，不相等平行四边形对角线不垂直，不相等平行四边形对角线相等菱形对角线垂直矩形对角线相等且垂直正方形课堂练习1.在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是()A．AB＝ADB．AB⊥BCC．AC⊥BDD．AC平分∠BAD2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A．BC＝ACB．BD＝DFC．AC＝BFD．CF⊥BFBC课堂练习3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___________（只填写序号）．②③或①④4.如图所示，E是正方形ABCD边BC上任意一点，EF⊥BO于F，EG⊥CO于G，若AB=10厘米，则四边形EGOF的周长是_____厘米.课堂练习5．已知：如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF．求证：四边形AECF是菱形证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CB,AD∥CB.∴∠ADF=∠CBE.又∵BE=DF,∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF=CE,∠AFD=∠