人教B版（2023）必修第三册《7.3.4 正切函数的性质与图像》同步练习（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）如图，长方形的边，，是的中点．点沿着，与运动，记将动点到，两点距离之和表示为的函数，则的图象大致为

A.B.

C.D.

2.（5分）函数y=|tanx|cosx的部分图象是（）

A.B.

C.D.

3.（5分）函数图象的对称中心坐标为

A.，B.，

C.，D.，

4.（5分）函数的周期是

A.B.C.D.

5.（5分）函数的周期是

A.B.C.D.

6.（5分）下列函数是在(0，1)上为减函数的是()

A.y=cosxB.y=2xC.y=sinxD.y=tanx

7.（5分）下列叙述中正确的个数为（）①y=tanx在R上是增函数；②y=sinx，x∈[0，2π]的图象关于点P（π，0）成中心对称图形；③y=cosx，x∈[0，2π]的图象关于直线x=π成轴对称图形；④正弦、余弦函数y=sinx、y=cosx的图象不超出两直线y=-1，y=1所夹的范围．

A.1个B.2个

C.3个D.4个

8.（5分）已知函数，则下列说法错误的是

A.函数的周期为

B.函数的值域为

C.点是函数的图象的一个对称中心

D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）关于函数，下列说法正确的是

A.的最小正周期为

B.的定义域

C.的图象的对称中心为，

D.在区间上单调递增

10.（5分）关于函数，下列说法中正确的是

A.最小正周期是

B.图象关于点对称

C.图象关于直线对称

D.在区间上单调递增

11.（5分）若函数，则下列选项正确的是

A.最小正周期是B.图象关于点对称

C.在区间上单调递增D.图象关于直线对称

12.（5分）多选关于函数，下列说法错误的是

A.是奇函数B.为其图象的一个对称中心

C.在区间上单调递减D.最小正周期为

13.（5分）下列关于函数的说法正确的是

A.在区间上单调递增

B.最小正周期是

C.图象关于成中心对称

D.图象关于直线成轴对称

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）若直线与函数的图象不相交，则______．

15.（5分）函数的最小正周期为______．

16.（5分）函数的单调增区间为____________.

17.（5分）函数的单调递减区间是______.

18.（5分）方程在区间内的解是______.

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）求的定义域

函数为常数，，的部分图象如图所示，求．

20.（12分）分已知函数，其中.

当时，求函数在区间上的最大值与最小值；

若在区间上是单调函数，求的取值范围．

21.（12分）已知，

求的值；

求的值．

22.（12分）已知函数

求的定义域、值域；

讨论的周期性，奇偶性和单调性．

23.（12分）已知函数

求该函数的定义域、周期；

求该函数的单调区间及对称中心．

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】

此题主要考查函数图象的识别和判断，属于中档题.

根据条件先求出时的解析式是解决本题的关键，根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．

解：当时，，，

此时，，此时单调递增，

当在边上运动时，且时，

如图所示，

，

，

，，

，

当时，，

当在边上运动时，，，

由对称性可知函数关于对称，

且，且轨迹为非线型，

排除，，，

故选

2.【答案】C;

【解析】解：由选项的图知，是x∈[0，

3π

2

]的函数y=|tanx|cosx的图象，

∵y=|tanx|cosx=|

sinx

cosx

|cosx=

sinx，0≤x＜π2

π

2

-sinx，

π

2

＜x≤π-sinx，π＜x＜

3π

2

，

∴由正弦函数的图象与性质可得，x∈[0，

3π

2

]时，函数y=|tanx|cosx的图象是C选项．

故选C．

3.【答案】D;

【解析】

此题主要考查了正切函数的图象与性质，属于基础题．

根据正切函数的对称中心即可解出．

解：令得，

函数的对称中心为

故选

4.【答案】B;

【解析】解：函数，

所以．

故选：．

直接利用正切函数的周期公式，求出它的周期即可．

本题是基础题，考查正切函数的周期的求法，一般情况下，求三角函数的周期都是指的最小正周期，也可以利用周期的定义求解．

5.【答案】A;

【解析】

此题主要考查函数的图象与性质直接利用即可求出结果.

解：，

故选

6.【答案】A;

【解析】选项A：根据余弦函数的图象，y=cosx在(0，1)上是减函数，所以该选项正确；

选项B：y=2x在(0，1)上是增函数，所以该选项错误；

选项C：根据正弦函数的图象，y=sinx在(0，1)是增函数，∴该选项错误；

选项D：根据正切函数的图象，y=tanx在(0，1)上是增函数，所以该选项错误．

故选A。

7.【答案】C;

【解析】解：①、y=tanx在区间（-+kπ，+kπ）（k∈Z），但在R上不是增函数，

如和的正切值之间的关系，故①错，

②、因y=sinx的对称中心是（kπ，0）（k∈Z），故②正确；

③、因y=cosx的对称轴是x=kπ（k∈Z），故③正确；

④、根据正弦（余弦）函数值域是[-1，1]，故④正确．

故选C．

8.【答案】D;

【解析】解：对于函数，其最小正周期为，A正确；

是正切型函数，值域是，B正确；

当时，，函数关于点对称，C正确；

，

，

，D错误．

故选：．

根据正切型函数的图象与性质，对选项中的命题进行判断即可．

该题考查了正切型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．

9.【答案】ACD;

【解析】

此题主要考查正切函数的图像性质，包括正切函数的定义域、周期性、对称性、单调性.

根据正切函数的图像性质对选项一一分析即可.

解：因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，故正确要使有意义，则，即，故错误

令，得，故正确

令，得，

取，可得的一个单调递增区间为，因为，故正确.

故选：

10.【答案】AB;

【解析】

此题主要考查与正切函数有关的命题的真假判断，涉及周期性，单调性和对称性，利用周期性的性质进行判断是解决本题的关键．

根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可．

解：最小正周期是，故正确；

B.令，则，所以函数的对称中心为，

当时，对称中心为，故正确；

C.函数不是轴对称图形，故错误；

D.令，则，所以函数的增区间为在区间上单调递增，故错误.

故选

11.【答案】BC;

【解析】解：对于函数，它的最小正周期是，故错误；

由于当时，，故它的图象关于点对称，故正确；

在区间上，，故函数在区间上单调递增，故正确；

令，可得不存在，故函数的图象不关于直线对称，故错误，

故选：

由题意利用正切函数的图象和性质，得出结论．

此题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．

12.【答案】ACD;

【解析】

此题主要考查正切函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性，熟练掌握正切函数的图象与性质是解决问题的关键，属于中档题.

利用正切函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性对、、、逐项分析即可.

解：中，，

所以函数不是奇函数，错误；

中，，故为图象的一个对称中心，即正确

中，由，得

所以在上单调递增，无单调递减区间，即错误；

中，因为的周期，故错误，

故选

13.【答案】AB;

【解析】此题主要考查了正切函数的图象与性质的相关知识，属于基础题.

逐个分析即可.解：令，解得，，

显然满足上述关系式，故正确；

易知该函数的最小正周期为，故正确；

令，解得，，任取值不能得到，故错误；

正切函数曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故错误．

故选

14.【答案】或-;

【解析】解：直线与函数的图象不相交，时，函数无意义，

即，，．

当时，，满足条件．

当时，，满足条件．

当时，不满足条件．

故满足条件的或，

故答案为：或．

求出正切函数的定义域，根据直线与函数的图象不相交，说明时，函数无意义．

这道题主要考查正切函数的图象和性质，要求熟练掌握正切函数的定义域及其应用，属于中档题．

15.【答案】2π;

【解析】解：

故答案为

根据函数的最小正周期为，进而可求得函数的最小正周期．

此题主要考查了正切函数的周期性．属基础题．

16.【答案】;

【解析】解：的单调增区间为

函数的单调增区间为，即

故答案为

17.【答案】（2kπ-，2kπ+），k∈∈Z;

【解析】解：函数的单调递减区间，即函数的单调递增区间．

令，求得，

故函数的增区间为，，

故答案为：，

由题意化简函数的解析式，再利用正切函数的单调性，得出结论．

此题主要考查正切函数的单调性，属于基础题．

18.【答案】;

【解析】解：由得，

，，

则，得，

故答案为：

根据正弦函数的图像和性质进行求解即可．

此题主要考查方程根的求解，根据正弦函数的图像和性质是解决本题的关键，是基础题．

19.【答案】解：（1）∵f（x）=tan（3x-），

∴3x-≠kπ+，k∈Z；

解得x≠+，k∈Z；

故函数f（x）=tan（3x-）的定义域为{x|x≠+，k∈Z}；

（2）由图可知，A=，=-=，

∴T=π，又T=（ω＞0），

∴ω=2．

又函数图象经过点（，0），

∴2×+φ=2kπ+π，

∴φ=2kπ+（k∈Z），

∴函数的解析式为：f（x）=sin（2x+），

∴f（0）=sin=．;

【解析】

根据正切函数的定义，令求出的取值范围即可；

由图象求出函数的解析式，再计算的值．

该题考查了三角函数的定义、图象与性质的应用问题，是基础题目．

20.【答案】解：当时，

所以当时，取得最小值；

当时，取得最大值

易知函数的图像的对称轴为

因为在上是单调函数，

所以或，即或

所以的取值范围为;

【解析】

此题主要考查函数的单调性与最值，涉及二次函数及正切函数的图象与性质的应用，属于较难题目.

由得出，由二次函数的性质求出在区间上的最值即可；

由二次函数的性质得出的取值范围即可.

21.【答案】解：由得，

即或，

又，所以

;

【解析】此题主要考查同角关系式及诱导公式，同时考查二倍角公式及正切函数的性质.

由已知结合正切函数的性质求解即可

由二倍角公式和诱导公式化简未知式，然后利用同角关系式求解即可.

22.【答案】解：（1）由x-≠+kπ，k∈Z，解得x≠+2kπ，k∈Z．

∴定义域为{x|x≠+2kπ，k∈Z}，值域为R．

（2）f（x）为周期函数，周期T==2π．

再根据f（-x）=3tan（-x-）=-3tan（x+），

∴f（-x）≠f（x），且f（-x）≠-f（x），

∴f（x）为非奇非偶函数．

由-+kπ＜x-＜+kπ，k∈Z，解得-+2kπ＜x＜+2kπ，k∈Z，

故函数的增区间为（-+2kπ，+2kπ），k∈Z．;

【解析】这道题主要考查正切函数的图象和性质，属于基础题．

由，，解得的范围，可得函数的定义域，再结合正切函数的图象特征可