第五章动态数列

第五章动态数列.第一页，共83页。第五章动态数列任课教师：郭卫萍第一页第二页，共83页。第三节动态数列速度分析指标发展速度增长速度平均发展速度和平均增长速度增长1%的绝对值第二页第三页，共83页。一、发展速度发展速度=报告期水平/基期水平1．环比发展速度动态数列中，各期环比发展速度分别为：第三页第四页，共83页。2．定基发展速度动态数列中，各期定基发展速度分别为：第四页第五页，共83页。环比发展速度与定基发展速度的关系：各环比发展速度的连乘积等于相应的定基发展速度。即：相邻的两个定基发展速度之商，等于相应时期的环比发展速度。即：第五页第六页，共83页。二、增长速度第六页第七页，共83页。1．定基增长速度第七页第八页，共83页。2．环比增长速度第八页第九页，共83页。【注】定基发展速度＝

各环比发展速度定基增长速度≠

各环比增长速度第九页第十页，共83页。当i=n时第十页第十一页，共83页。由此可得：则：所以因此，报告期的环比增长速度等于报告期的定基发展速度与前一期定基发展速度之商-1。即等于（报告期的定基增长速度+1）与（前一期的定基增长速度+1）之比-1。第十一页第十二页，共83页。某企业1996-2000年产量增长速度年份19961997199819992000环比增长速度（%）20（2）2515（5）定基增长速度（%）（1）50（3）（4）132.5(例题分析)【例】某企业几年来产量不断增长，已知1996年比1995年增长20%，1997年比1995年增长50%，1998年比1997年增长25%，1999年比1998年增长15%，2000年比1995年增长132.5%，计算下表空缺数字202587.5115.67.8第十二页第十三页，共83页。解：第十三页第十四页，共83页。三、平均发展速度和平均增长速度平均发展速度：是指各个时期环比发展速度的平均数，说明现象在一定时期内逐期发展变化的一般水平。平均增长速度：是现象在一段时间内增减变化的平均程度。平均增长速度=平均发展速度-1平均发展速度总是正值，而平均增长速度可为正值也可为负值第十四页第十五页，共83页。总发展速度

一定时期内现象的总发展速度等于各期环比发展速度的连乘积。第十五页第十六页，共83页。【例】根据第四次、第五次人口普查资料，我国大陆人口1990年普查时有113368万人，2000年普查时为126583万人，则此两次人口普查之间我国人口平均发展速度为：平均增长速度为：-1=11.087‰第十六页第十七页，共83页。【例】若要求在2010年底，把我国大陆人口数控制在14亿以内，以2000年底全国人口数为基数，10年内我国大陆人口增长率应控制在什么水平上？平均增长速度为：10.125‰第十七页第十八页，共83页。【例】某地区GDP“九五”前三年平均发展速度为112%，后两年平均发展速度为109%，求该地区“九五”期间GDP平均发展速度和平均增长速度解：第十八页第十九页，共83页。四、增长１％的绝对值

指每增长1%所包含的绝对增长量，是一个由相对数和绝对数结合运用的指标。第十九页第二十页，共83页。【例】已知某集团公司2006年利税总额比2005年增长1000万元，环比增长速度为20%，求该公司2006年利税总额比2005年增长1%的绝对值。【解】第二十页第二十一页，共83页。第四节动态数列的趋势分析动态数列的影响因素长期趋势的分析第二十一页第二十二页，共83页。一、动态数列的影响因素1．长期趋势(T)指现象在一段较长的时间内，由于普遍的、持续的、决定的基本因素的影响作用，而使发展水平沿着一个方向，表现为持续向上、向下或稳定的趋势变动。第二十二页第二十三页，共83页。2．季节变动(S)指由于自然季节因素（气候条件）或人文习惯因素（节假日）的影响，动态数列随季节变动更替而呈现的周期性变动。季节变动一般以年为周期。也有以一周或一日为周期的。周期不到一年的规律性变动称准季节变动，分析方法与季节变动相同，纳入季节变动范畴。第二十三页第二十四页，共83页。３．循环变动(C)指周期在一年以上，现象近乎规律性的上升与下降交替出现的循环往复变动。如产品的生命周期、经济危机周期等。第二十四页第二十五页，共83页。４．随机变动(I)又称不规则变动。指动态数列由于偶然性因素的影响而表现出的不规则的波动。包括由突发的自然灾害、意外事故或重大政治事件所引起的剧烈变动，也包括大量无可名状的随机因素干扰造成的起伏波动。第二十五页第二十六页，共83页。长期趋势的测定方法：（一）数学模型法（二）时距扩大法（三）序时平均法（四）移动平均法二、长期趋势的分析第二十六页第二十七页，共83页。（一）数学模型法(模型拟合法)它根据时间序列的数据特征，用数学方法建立一个合适的趋势方程（即配合一条适当的趋势线）来描述时间序列的趋势变动，推算各时期的趋势值，分析和预测长期趋势。第二十七页第二十八页，共83页。数学模型法的主要步骤：第一步，选取合适的数学模型；第二步，估计模型参数。第三步，计算趋势变动预测值。第二十八页第二十九页，共83页。 1、选取合适的趋势方程：直接观察法，也称散点图法。它以时间t为横轴，以时间序列指标值（或其对应数值）为纵轴，绘出散点图，根据散点的分布来选择趋势方程。第二十九页第三十页，共83页。增长特征法若时间序列中的逐期增长量大致相等，配合直线方程。yc=a+bt若二级增长量大致相等，则配合抛物线方程。yc=a+bt+ct2若各期环比发展速度相等时，则配合指数曲线。yc=abt第三十页第三十一页，共83页。2．直线趋势测定的方法yc=a+bt

其中：yc——时间序列的长期趋势t——时间序列的时间序号a——t=0时，yc的值，

(截距)b——（斜率）t每变动一个单位时，yc平均增减的数量。b>0时，直线呈上升趋势，b<0时，直线呈下降趋势。第三十一页第三十二页，共83页。（1）最小平方法基本原理：要求配合的长期趋势直线的理论值与原数列的实际值之间的离差平方和为最小。即：∑(y-yc)2=最小值∑(y-a-bt)2=最小值令G(a，b)=∑(y-a-bt)2，要使G(a，b)有最小值，则需G对a、b的偏导数为零。第三十二页第三十三页，共83页。解此联立方程得直线yc=a+bt的参数解为即：第三十三页第三十四页，共83页。最小平方法的简捷计算

取时期t的中点为原点，使t＝01）当n为奇数时，取数列中间的一项为原点0大于中间项的t分别为1，2，3，…，小于中间项的t分别为-1，-2，-3，…2）当n为偶数时，取数列中间两项的中点为原点0，大于中间项的t分别为1，3，5，…，小于中间项的t分别为-1，-3，-5，…。第三十四页第三十五页，共83页。则参数a，b的计算公式简化为：使方程式：第三十五页第三十六页，共83页。注：原点改变前后的趋势值应该是相等的。1）n为奇数时，a值不等，b值相等。2）n为偶数时，a值不等，b值为原点改变前的1/2。第三十六页第三十七页，共83页。书上P121页例5-11已知某企业2002-2010年的销售额资料如下表所示。第三十七页第三十八页，共83页。第三十八页第三十九页，共83页。解：设直线方程为：yc=a+bt因此趋势方程为：yc=274.81+24.35t第三十九页第四十页，共83页。将各年的时间序号代入直线方程，即得各年的趋势值。预测该企业2012年(t=11)该种产品销售量：yc=274.81+24.35×11=542.66(万吨)现在仍用刚才的例子，改换原点，用最小二乘法的简化法求直线趋势方程，计算出来的趋势值是相等的。第四十页第四十一页，共83页。第四十一页第四十二页，共83页。解：设直线方程为：yc=a+bt所以直线趋势方程为yc=396.56+24.35t预测该产品2012年(t=6)的销售量：yc=396.56+24.35×6=542.66(万吨)第四十二页第四十三页，共83页。【例】1996-2005年某企业某种产品销售量直线趋势方程计算表如下：

第四十三页第四十四页，共83页。第四十四页第四十五页，共83页。解：设直线方程为：yc=a+bt因此趋势方程为：yc=8.04+2.14t第四十五页第四十六页，共83页。将各年的时间序号代入直线方程，即得各年的趋势值。预测该企业2015年(t=20)该种产品销售量：yc=8.04+2.14×20=50.84(万吨)现在仍用刚才的例子，改换原点，用最小二乘法的简化法求直线趋势方程，计算出来的趋势值是相等的。第四十六页第四十七页，共83页。第四十七页第四十八页，共83页。解：设直线方程为：yc=a+bt所以直线趋势方程为yc=19.81+1.07t预测该产品2015年(t=29)的销售量：yc=19.81+1.07×29=50.84(万吨)第四十八页第四十九页，共83页。(2)半数平均法又称分段平均法或部分平均法基本根据：两点确定一条直线，把时间序列分成相等的两部分，(如果n为奇数项，可将最初水平或中间水平去掉)，然后每部分求出一个平均数作为直线上的两个点，代入直线方程联立求解两个参数a与b。第四十九页第五十页，共83页。数学依据是：实际水平值与趋势值离差和等于零。即：(y-yc)=0

(y-a-bt)=0

展开上式有：

y－na－b

t＝0

两边同时除以n得：

第五十页第五十一页，共83页。于是有：解此联立方程得：第五十一页第五十二页，共83页。某企业1996-2005年某种产品销售量【例】第五十二页第五十三页，共83页。要求：根据上面资料用半数平均法确定直线趋势方程并预测各年的趋势值。解：设直线方程为：yc=a+bt第五十三页第五十四页，共83页。代入联立方程：解此联立方程得：a=9.02，b=1.96所以直线趋势方程为：yc=9.02+1.96t第五十四页第五十五页，共83页。预测值：将各年的时间顺序号依次代入直线趋势方程，即得各年趋势值。根据上述方程式，如果预测2015年该企业该种产品的销售量，可将t=20代入方程式，得2015年的预测值为：第五十五页第五十六页，共83页。２、曲线趋势的测定方法(1)二次抛物线yc=a+bt+ct2用最小平方法求解三个待定参数。要求∑(y-yc)2=最小值，即∑(y-a-bt-ct2)2=最小值令G(a，b，c)=∑(y-a-bt-ct2)2，将G对a、b、c求偏导数，并令其为零，可导出下列三个求解参数a、b、c的标准方程式：第五十六页第五十七页，共83页。将时间序号t设定为中点为原点，使

t=0，

t３=0，则上列三个方程式可简化为：第五十七页第五十八页，共83页。解此方程组，得：第五十八页第五十九页，共83页。【例】某企业某种产品销售量资料如下表

(单位：万件)第五十九页第六十页，共83页。第六十页第六十一页，共83页。解得：a=2401.84，b=380.77，c=20.08所以yc=2401.84+380.77t+20.08t2如要预测1999年4季该产品销售量，将t=6代入曲线方程得：yc=2401.84+380.77×6+20.08×62

=5409.34(万件)第六十一页第六十二页，共83页。（二）时距扩大法将时间序列指标值所属的时间予以扩大，然后对新时间单位内的指标值进行合并，便得到一个扩大了时距的时间序列。其作用是消除较小时距单位内偶然因素的影响，显示现象变动的基本趋势。第六十二页第六十三页，共83页。某地区2004-2006年社会消费品零售额

单位：万元【例】第六十三页第六十四页，共83页。某地区2004-2006年社会消费品零售额

时距扩大法起着修匀的作用，显示出研究现象的长期变动趋势。单位：万元第六十四页第六十五页，共83页。应用时距扩大法需要注意的问题1）扩大的时距多大为宜，取决于现象本身的特点。

对于呈现周期波动的序列，扩大的时距应与波动周期相吻合；对于一般的时间序列，则要逐步扩大时距，以能够显示趋势变动的方向为宜。时距扩大太多，将造成信息的损失。2）扩大后的时距要一致，相应的发展水平才具有可比性。第六十五页第六十六页，共83页。(三)序时平均法是先将时间数列的时距扩大，然后计算扩大时距后的数列的平均发展水平，借以消除现象在短时期内的波动，以便显示现象的长期趋势。此法既可以用于时期数列，又可用于时点数列、相对数时间数列和平均数时间数列。第六十六页第六十七页，共83页。（四）移动平均法它是将时间序列的各期发展水平，按一定扩大了的时距逐期递推，计算出一系列扩大时距后的序时平均数，形成一个新的序时平均数动态数列，以便削弱或消除偶然因素的影响，显示数列的长期趋势。请看下面例子：第六十七页第六十八页，共83页。某企业1996-2005年某种产品销售量13.6415.7216.9919.2420.8623.0326.33第六十八页第六十九页，共83页。原数列移动平均（步长N=4）移正平均【例】第六十九页第七十页，共83页。移动平均法应注意的问题1．时距（项数）的选择要适当，应根据研究目的或对象的特点确定。1)若现象变化有一定的周期，应以周期长度为平均项数；2)季度资料取4项移动平均，月度资料取12项移动平均；3)若现象变化无明显周期，则以奇数项移动平均为宜。第七十页第七十一页，共83页。2．注意新数列指标值的排列。奇数项移动平均所得的序时平均数，要对准所平均时期的中间时期，一次即得长期趋势值。偶数项移动平均得出平均值，它应置于所平均时期的两个时期之间。这样需再作一次两项移动平均，以“正位”，第二次移动平均值才是原数列的长期趋势值。第七十一页第七十二页，共83页。3．移动平均后的数列项数会减少n为奇数时，新数列首尾各减少项；n为偶数时，首尾各减少项。4．移动平均法适用于分析时间序列的长期趋势，但不适合对现象未来的发展趋势进行预测。第七十二页第七十三页，共83页。第五节季节变动的测定一、季节变动及测定的目的季节变动指社会经济现象由于生产条件、自然条件、社会因素及季节更替的影响，形成每年周