北师大版九年级数学上册 （菱形的性质与判定）特殊平行四边形教育课件(第2课时)

第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定第2课时

1课堂讲解由对角线的位置关系判定菱形由边的关系判定菱形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升

根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流．（来自教材）1知识点由对角线的位置关系判定菱形可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．下面我们证明这个结论．知1－导（来自教材）已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：ABCD是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线．∴BA＝BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．知1－讲（来自教材）

证明：知1－讲总结1.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱

形.2.规律导引：若用对角线进行判定：先证明四边

形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或

直接证明四边形的对角线互相垂直平分.（来自《点拨》）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

请你添加一个适当的条件____________使其成

为菱形(只填一个即可)．知1－练（来自《典中点》）2下列命题中正确的是(

)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形知1－练（来自《典中点》）2知识点由边的数量关系判定菱形知2－导议一议已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形．你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流．定理：四边相等的四边形是菱形.请你完成这个定理的证明.（来自教材）知2－讲例1已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交

于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.求证：ABCD

是菱形．

在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝AO2＋OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．∴AC⊥BD.∴

ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．（来自教材）证明：总结知2－讲（来自《点拨》）1.判定定理2：四边相等的四边形是菱形.2.规律导引：若用边进行判定：先证明四边形是平

行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四

边形的四条边都相等．1做一做你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，

将纸展开，就得到了一个菱形．

你能说说小颖这样做的道理吗？知2－练（来自教材）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，

则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是(

)A．BA＝BC

B．AC，BD互相平分C．AC＝BD

D．AB∥CD知2－练（来自《典中点》）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给

出的条件不正确的是(

)A．AB＝AD

B．AC⊥BDC．AC＝BD

D．∠BAC＝∠DAC知2－练（来自《典中点》）1.菱形的判定方法：(1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)(边)：四边相等的四边形是菱形．

平行四边形四边形菱形2、判定菱形的常见思路：

四条边都相等判定条件对角线互相垂直一组邻边相等1.必做:完成教材P7T1-T32.补充:请完成《典中点》剩余部分习题第一章

特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第3课时

名师点金菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对

角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平

行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，

也可直接判定四边相等．(1)∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∠DAC＝∠ACE.∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC.∴∠EAC＝∠ACE.∴AE＝CE.∴四边形AECD是菱形．证明：(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.∵AE＝CE，∴CE＝BE.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，

∠EAC＝∠ACE，∴∠BCE＋∠ECA＝90°，即∠BCA＝90°.∴△ABC是直角三角形．解：2训练角度利用菱形的性质与判定证明线段的关系2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，

BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是

AB，CD，AC，BD的

中点，求证：线段EF

与线段GH互相垂直平分．(1)如图，过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，

则∠ACD＝∠M.

∵AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形．∴AC＝BM.∵AC＝BD，∴BD＝BM.∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.

又∵CD＝DC，

∴△ACD≌△BDC.∴AD＝BC.证明：(2)如图，连接EH，HF，FG，GE，∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴HE∥AD，且HE＝

AD，FG∥AD，

且FG＝

AD，EG＝

BC.∴HE∥FG，HE＝FG.∴四边形HFGE为平行四边形．由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG.∴▱HFGE为菱形．∴线段EF与线段GH互相垂直平分．3训练角度利用菱形的性质与判定求线段长3．如图，在四边形ABCF中，∠ACB＝90°，点E

是AB的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的

对称点．(1)证明：四边形AECF为菱形；(2)设EF交AC于点O，若BC＝10，

求线段OF的长．(1)因为点F恰是点E关于AC所在直线的对称点，所以AC应是EF的中垂线．所以CE＝CF，AE＝AF.又点E是直角三角形ABC斜边上的中点，所以AE＝CE.所以AE＝AF＝CE＝CF.所以四边形AECF是菱形．证明：(2)因为四边形AECF是菱形，所以OA＝OC，OE＝OF.因为点E是AB的中点，所以EO是△ACB的中位线．所以EO＝

BC＝5.所以OF＝5.解：4训练角度利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分

∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，

过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，

交AB于点M，连接ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形．(2)当点P在何处时，菱形AEPM

的面积为四边形EFBM面积的

一半？请说明理由．(1)∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA.∴∠CAD＝∠EPA.∴EA＝EP.∴四边形AEPM为菱形．证明：解：(2)当点P为EF的中点时，S菱形AEPM＝

S四边形EFBM.

理由如下：∵四边形AEPM为菱形，∴AP⊥EM