考研数学三线性方程组

考研数学三线性方程组1.【单项选择题】A.4个.B.3个.C.2个.D.1个.正确答案：A参考解析：

2.【单项选择题】设方程组Ax=b有m个方程，n个未知数且m≠n，则正确命题是A.若Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解.B.若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解.C.若Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解.D.若Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解.正确答案：D参考解析：A是m×n矩阵．3.【单项选择题】已知η1，η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，ξ1，ξ2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则Ax=b的通解为(  ).A.B.C.D.正确答案：B参考解析：Ax=b的通解为Ax=0的通解加上Ax=b的一个特解，根据非齐次和齐次线性方程组解的性质与结构，知4.【单项选择题】设A是行阶矩阵，对方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有(  ).A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解正确答案：A参考解析：由Ax=0，得ATAx=AT(Ax)=0，故Ax=0的解是ATAx=0的解．反之，若x是ATAx=0的解，令Ax=b，则bT=(Ax)T=xTAT，从而bTb=xTATAx=0．于是b的各分量的平方和为0，故b=0，从而Ax=0，因此ATAx=0的解是Ax=0的解．5.【单项选择题】设A是n阶矩阵，若对任意的n维列向量α，有A*α=0，则Ax=0的基础解系所含解向量的个数k满足().A.k=0B.k=1C.k>1D.k=n正确答案：C参考解析：方程组解的判别，关键是讨论其秩．由已知，对任意n维列向量α，有A*α=0，故A*α=0的基础解系有n个，即n-r(A*)=n，故r(A*)=0，由r(A)与r(A*)的关系，知r(A)<n-1，所以Ax=0有k=n-r(A)>n-(n-1)=1个基础解系，故C正确．6.【单项选择题】AB=O，则必有().A.λ=-2且|B|=0B.λ=-2且|B|≠0C.λ=1且|B|=0D.λ=1且|B|≠0正确答案：C参考解析：由AB=0，知B的每一个列向量都是Ax=0的解．7.【单项选择题】A.当k≠-5时，(b1，b2，b3)T为任意非零列向量B.当k=-5时，(b1，b2，b3)T为任意列向量C.当k=-5时，b1+b3=4b2D.当k≠-5时，b1+b3=4b2正确答案：C参考解析：8.【单项选择题】设矩阵Am×n，Bn×m则().A.当m>n时，AB必可逆B.当m>n时，必有|AB|=0C.当n>m／时，必有r(AB)<mD.当n>m时，ABx=0必有唯一解正确答案：B参考解析：对选项B，由r(AB)≤r(A)≤n<m，而AB为m×m矩阵，故必有|AB|=0．9.【单项选择题】设A是n阶矩阵，齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解，则().A.A*x=0的解均是Ax=0的解B.Ax=0的解均是A*x=0的解C.Ax=0与A*x=0无非零公共解D.Ax=0与A*x=0恰好由一个非零解构成公共基础解系正确答案：B参考解析：10.【单项选择题】设A是m×n矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件是(  ).A.r(A|b)<nB.Ax=0有非零解C.Ax=b有两个不同解D.A的列向量组线性相关正确答案：C参考解析：11.【单项选择题】设AT=(α1，α2，…，αn-1)是n×(n-1)矩阵，r(AT)=n-1，β1，β2是与α1，α2，…，αn-1都正交的两个不同的n维列向量，是是任意常数，则方程组Ax=0的通解为(  ).A.k(β1-β2)B.k(β1+β2)C.kβ1D.kβ2正确答案：A参考解析：由已知，r(A)=r(AT)=n-1，Ax=0的基础解系有n-r(A)=1个向量．12.【单项选择题】A.(-2，2，1，0)T，(1，2，0，1)T．B.(-1，0，1，1)T，(2，0，-2，-2)T．C.(-2，2，1，0)T，(2，2，-3，-4)T．D.(1，-2，0，1)T．正确答案：C参考解析：【分析】齐次方程组Ax=0的基础解系有3层含义：(1)齐次方程组的解；(2)线性无关；(3)解向量个数为n-r(A)．本题(B)中两个向量线性相关，肯定不是基础解系，要排除．易见本题秩r(A)=2，那么，n-r(A)=4-2=2，即解向量个数应为2，故要排除(D)．至于(A)和(C)必有一个正确，因此(-2，2，1，0)T肯定是解．那么(1，2，0，1)T与(2，2，-3，-4)T中必有一个不是解，故要从解的角度来分析判断．将(A)中的(1，2，0，1)T代入方程，知不是方程组的解，故去除(A)，(或将(C)的(2，2，-3，-4)T代入方程，满足方程知)所以要选(C)．13.【单项选择题】已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组AX=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是A.(1，-1，3)T．B.(2，1，-3)T．C.(2，2，-5)T．D.(2，-2，6)T．正确答案：B参考解析：14.【单项选择题】要使α1=(2，1，1)T，α2=(1，-2，-1)T都是齐次线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为A.B.C.D.正确答案：B参考解析：因为α1，α2线性无关，所以Ax=0至少有两个线性无关的解，故n-r(A)≥2，即r(A)≤3-2=1，因此排除(A)(C)．对于(B)和(D)，因为α2不是方程组(D)的解，因此排除(D)．15.【单项选择题】设向量组α1，α2，α3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0的基础解系的是(  )．A.α1+α2，α2+α3，α3-α1B.α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C.α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D.α1+α2+α3，2α1-3α2+2α3，3α1+5α2-5α3正确答案：C参考解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX=0的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选(C)．16.【单项选择题】设A为m×n阶矩阵，且r(A)=m<n，则(  )．A.A的任意m个列向量都线性无关B.A的任意m阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解D.矩阵A通过初等行变换一定可以化为(Em|O)正确答案：C参考解析：【解】选(C)．17.【填空题】已知A是三阶实对称矩阵，λ1=1和λ2=2是A的2个特征值，对应的特征向量分别是α1=(1，a，-1)T和α2=(1，4，5)T．若矩阵A不可逆，则Ax=0的通解是____.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】A是实对称矩阵，α1和α2是不同特征值的特征向量，相互正交，则18.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-1或0【解析】对非齐次线性方程组的增广矩阵a作初等行变换，19.【填空题】设α1，α2，α3，β均为三维列向量，A=(β-α1-2α2-3α3，α1，α2，α3)，则方程组Ax=β的一个特解为______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：(1，1，2，3)T【解析】设Ax=β有特解α*=(x1，x2，x3，x4)T，则20.【填空题】设A=(aij)3×3为实矩阵．且Aij=aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】21.【填空题】齐次线性方程组的基础解系是______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：(0，2，1，0)T【解析】对系数矩阵作初等行变换，化为行最简，有22.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-5或-6【解析】齐次方程组Ax=0有无穷多解的充分必要条件是r(A)<n(n是未知量的个数)．现在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式|A|=0．23.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解】24.【解答题】已知向量组α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，-1，a)T,α4=(3，10，b，4)T线性相关.(1)求a，b的值.(2)判断α4能否由α1，α2，α3线性表示，如能就写出表达式.(3)求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)由(2)当b=2时

25.【解答题】已知A(1，1)，B(2，2)，C(a，1)为坐标平面上的点，其中a为参数．问：是否存在经过点A，B，C的曲线y=k1x+k2x2+k3x3?如果存在，求出曲线方程.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)(2)当a=1时，点A，C重点，此时(3)当a=0或a=2时

r(A)=2，r(A|b)=3方程组无解，此时不存在满足题中要求的曲线．26.【解答题】设方程组(1)当a为何值时方程组有解?并求其通解.(2)求方程组满足x1=x2的所有解.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)对增广矩阵作初等行变换，有(2)27.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解对增广矩阵五作初等行变换，28.【解答题】解?当有无穷多解时，求其通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解已知方程组的系数矩阵A为3阶方阵，可以通过行列式讨论参数λ，确定其解的情况．29.【解答题】(Ⅰ)求方程组①与②的基础解系；(Ⅱ)求方程组①与②的非零公共解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解(Ⅰ)(Ⅱ)30.【解答题】求方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的非零公共解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解方程组(Ⅰ)31.【解答题】设有方程组(Ⅰ)求方程组①的通解；(Ⅱ)当a，b，c为何值时，方程组①与②同解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解(Ⅰ)对①的增广矩阵作初等行变换，32.【解答题】设行阶矩阵A满足|A|=0，Aij为|A|的元素aij对应的代数余子式，且A11≠0，求方程组A*x=0的基础解系和通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：由|A|=0，A11≠0，得r(A)=n-1，故r(A*)=1，即A*x=0等价于方程A11x1+A21x2+...+An1xn=0

①因为A11≠0，故方程①有下列线性无关的解，a1=(-A21，A11，0，...，0)T，a2=(-A31，0，A11，0，...，0)T，......an-1=(-An1，0，...，0，A11)T解向量个数为n-r(A*)=n-1，故a1，a2，...，an-1是原方程组的基础解系，通解为k1a1+k2a2+...+kn-1an-1(k1，k2，...kn-1为任意常数)33.【解答题】已知4×3矩阵A=(α1，α2，α3)，非齐次线性方程组Ax=β的通解为(1，2，-1)T+k(1，-2，3)T，K是为任意常数，令B=(α1，α2，α3，β+α3)，求方程组By=α1-α2的通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解34.【解答题】设A是5×4矩阵，r(A)=2，已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且α1+α2=(4，6，-8，4)T，α3=(1，2，-1，1)T，又(0，1，-3，0)T是Ax=0的解，求Ax=b的通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解由已知条件及Ax=b的通解结构，只需求Ax=0的基础解系，而基础解系有N-r(A)=4-2=2个，(0，1，-3，0)T是Ax=0的一个解，于是再求一个与(0，1，-3，0)T线性无关的解即可．注意到α1+α2-2α3。是Ax=0的解，事实上，A(α1+α2-2α3)=Aα1+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，且α1+α2-2α3=(4，6，-8，4)T-2(1，2，-1，1)T=(2，2，-6，2)T，又(2，2，-6，2)T与(0，1，-3，0)T线性无关(分量不成比例)，所以Ax=b的通解为

34.【解答题】设A是5×4矩阵，r(A)=2，已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且α1+α2=(4，6，-8，4)T，α3=(1，2，-1，1)T，又(0，1，-3，0)T是Ax=0的解，求Ax=b的通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解由已知条件及Ax=b的通解结构，只需求Ax=0的基础解系，而基础解系有N-r(A)=4-2=2个，(0，1，-3，0)T是Ax=0的一个解，于是再求一个与(0，1，-3，0)T线性无关的解即可．注意到α1+α2-2α3。是Ax=0的解，事实上，A(α1+α2-2α3)=Aα1+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，且α1+α2-2α3=(4，6，-8，4)T-2(1，2，-1，1)T=(2，2，-6，2)T，又(2，2，-6，2)T与(0，1，-3，0)T线性无关(分量不成比例)，所以Ax=b的通解为

35.【解答题】设A是m×n矩阵,r(A)=n-2,非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量α1，α2，α3满足α1+α2=(1,2,3,4)T,α2+2α3=(-2,1.5,3)T,2α3+3α1=(11,5,-6,7)T,求方程组Ax=b的通解.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解依题设，找出Ax=0的基础解及Ax=b的一个特解．36.【解答题】设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵,非齐次线性方程组Ax=β的通解为(1,2,2,1)T+k(1,-2,4,0)T,k为任意常数,记B=(α3，α2，α1，β-α4).(Ⅰ)证明：r(B)=2；(Ⅱ)求方程组Bx=α1-α2的通解.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解(Ⅰ)由Ax=β的解的结构，知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，并有(Ⅱ)37.【解答题】设A为3×4矩阵,r(A)=1,若向量组α1=(1,2,0,2)T,α2=(-1,-1,1,a)T,α3=(1,-1,a,5)T,α4=(2,a,-3,-5)T与方程组Ax=0的基础解系等价,求Ax=0的通解.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解由α1，α2，α3，α4与Ax=0的基础解系等价，知α1，α2，α3，α4必是Ax=0的解，又r(A)=1，知Ax=0有n-r(A)=4—1=3个线性无关的解向量，故r(α1，α2，α3，α4)=3，其极大线性无关组是Ax=0的基础解系．对(α1，α2，α3，α4)作初等行变换，有38.【解答题】已知平面上三条不同直线的方程分别为l1:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0，l3:cx+2ay+3b=0,证明:这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：证(必要性)设三条直线交于一点，则非齐次线性方程组39.【解答题】设A是3阶方阵,A=(aij)3×3.且aij=Aiji,j=1，2，3,其中Aij为aij的代数余子式,a33≠0,b=(a13,a23,a33)T,求非齐次线性方程组Ax=b的解。请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解求抽象方程组Ax=b的通解，首先要讨论秩，从而确定解的情况．40.【解答题】设A是m×n矩阵,b为m维列向量,证明:线性方程组ATAx=ATb必有解.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：证只要证明r(ATA)=r(ATA|ATb)．41.【解答题】设A是3阶矩阵，向量β=(3,3,3)T,非齐次线性方程组Ax=β的通解为k1(1,2,-2)T+k2(2,1,2)T+(1,1,1)T,k1,k2为任意常数.(I)证明:任意3维列向量α可由A的三个特征向量线性表示;(II)若α=(1,2,-1)T,求Aα.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解(Ⅰ)依题设，(1，1，1)T是Ax=β的特解，(1，2，-2)T，(2，1，2)T是Ax=0的基础系，故(Ⅱ)42.【解答题】设n阶方阵A的行列式|A|=0,A有一个代数余子式Aij≠0,证明:Ax=0的通解为k(Ai1,Ai2，…，Ain)T,k为任意常数.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：证由|A|=0且Aij≠0，知r(A)=n-1，故Ax=0只有一个线性无关的解向量．又所以Ax=0的通解为k(Ai1，Ai2，…，Ain)T．43.【解答题】设4维列向量组α1，α2，α3，α4且α1，α2，α3线性无关,α4=α1+α2+2α3，B=(α1-α2，α2+α3，-α1+kα2+α3).方程组Bx=α4有无穷多解.(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)求方程组的通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解(Ⅰ)依题设(Ⅱ)44.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解A中有6个未知参数，不能用初等行变换求解，利用特征向量的定义Aα=λα(α≠0)．由已知，有45.【解答题】(Ⅰ)若A是正交矩阵，求a，b，c的值；(Ⅱ)请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解(Ⅰ)A是正交矩阵，则A的列向量为两两正交的单位向量，故(Ⅱ)当A为正交矩阵时，46.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：47.【解答题】(1)若ai≠aj(i≠j)，求ATx=b的解；(2)若a1=a3=a≠0，a2-a4=-a，求ATX=b的通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)48.【解答题】求方程组AX=0的通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)(2)当k=9时，r(B)=1，1≤r(A)≤2，数学三第四节线性方程组1.【单项选择题】A.4个.B.3个.C.2个.D.1个.正确答案：A参考解析：

2.【单项选择题】设方程组Ax=b有m个方程，n个未知数且m≠n，则正确命题是A.若Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解.B.若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解.C.若Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解.D.若Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解.正确答案：D参考解析：A是m×n矩阵．3.【单项选择题】已知η1，η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，ξ1，ξ2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则Ax=b的通解为(  ).A.B.C.D.正确答案：B参考解析：Ax=b的通解为Ax=0的通解加上Ax=b的一个特解，根据非齐次和齐次线性方程组解的性质与结构，知4.【单项选择题】设A是行阶矩阵，对方程组(Ⅰ)Ax=0和(Ⅱ)ATAx=0，必有(  ).A.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解B.(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解C.(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解D.(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解正确答案：A参考解析：由Ax=0，得ATAx=AT(Ax)=0，故Ax=0的解是ATAx=0的解．反之，若x是ATAx=0的解，令Ax=b，则bT=(Ax)T=xTAT，从而bTb=xTATAx=0．于是b的各分量的平方和为0，故b=0，从而Ax=0，因此ATAx=0的解是Ax=0的解．5.【单项选择题】设A是n阶矩阵，若对任意的n维列向量α，有A*α=0，则Ax=0的基础解系所含解向量的个数k满足().A.k=0B.k=1C.k>1D.k=n正确答案：C参考解析：方程组解的判别，关键是讨论其秩．由已知，对任意n维列向量α，有A*α=0，故A*α=0的基础解系有n个，即n-r(A*)=n，故r(A*)=0，由r(A)与r(A*)的关系，知r(A)<n-1，所以Ax=0有k=n-r(A)>n-(n-1)=1个基础解系，故C正确．6.【单项选择题】AB=O，则必有().A.λ=-2且|B|=0B.λ=-2且|B|≠0C.λ=1且|B|=0D.λ=1且|B|≠0正确答案：C参考解析：由AB=0，知B的每一个列向量都是Ax=0的解．7.【单项选择题】A.当k≠-5时，(b1，b2，b3)T为任意非零列向量B.当k=-5时，(b1，b2，b3)T为任意列向量C.当k=-5时，b1+b3=4b2D.当k≠-5时，b1+b3=4b2正确答案：C参考解析：8.【单项选择题】设矩阵Am×n，Bn×m则().A.当m>n时，AB必可逆B.当m>n时，必有|AB|=0C.当n>m／时，必有r(AB)<mD.当n>m时，ABx=0必有唯一解正确答案：B参考解析：对选项B，由r(AB)≤r(A)≤n<m，而AB为m×m矩阵，故必有|AB|=0．9.【单项选择题】设A是n阶矩阵，齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解，则().A.A*x=0的解均是Ax=0的解B.Ax=0的解均是A*x=0的解C.Ax=0与A*x=0无非零公共解D.Ax=0与A*x=0恰好由一个非零解构成公共基础解系正确答案：B参考解析：10.【单项选择题】设A是m×n矩阵，则非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件是(  ).A.r(A|b)<nB.Ax=0有非零解C.Ax=b有两个不同解D.A的列向量组线性相关正确答案：C参考解析：11.【单项选择题】设AT=(α1，α2，…，αn-1)是n×(n-1)矩阵，r(AT)=n-1，β1，β2是与α1，α2，…，αn-1都正交的两个不同的n维列向量，是是任意常数，则方程组Ax=0的通解为(  ).A.k(β1-β2)B.k(β1+β2)C.kβ1D.kβ2正确答案：A参考解析：由已知，r(A)=r(AT)=n-1，Ax=0的基础解系有n-r(A)=1个向量．12.【单项选择题】A.(-2，2，1，0)T，(1，2，0，1)T．B.(-1，0，1，1)T，(2，0，-2，-2)T．C.(-2，2，1，0)T，(2，2，-3，-4)T．D.(1，-2，0，1)T．正确答案：C参考解析：【分析】齐次方程组Ax=0的基础解系有3层含义：(1)齐次方程组的解；(2)线性无关；(3)解向量个数为n-r(A)．本题(B)中两个向量线性相关，肯定不是基础解系，要排除．易见本题秩r(A)=2，那么，n-r(A)=4-2=2，即解向量个数应为2，故要排除(D)．至于(A)和(C)必有一个正确，因此(-2，2，1，0)T肯定是解．那么(1，2，0，1)T与(2，2，-3，-4)T中必有一个不是解，故要从解的角度来分析判断．将(A)中的(1，2，0，1)T代入方程，知不是方程组的解，故去除(A)，(或将(C)的(2，2，-3，-4)T代入方程，满足方程知)所以要选(C)．13.【单项选择题】已知α1=(1，1，-1)T，α2=(1，2，0)T是齐次方程组AX=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是A.(1，-1，3)T．B.(2，1，-3)T．C.(2，2，-5)T．D.(2，-2，6)T．正确答案：B参考解析：14.【单项选择题】要使α1=(2，1，1)T，α2=(1，-2，-1)T都是齐次线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为A.B.C.D.正确答案：B参考解析：因为α1，α2线性无关，所以Ax=0至少有两个线性无关的解，故n-r(A)≥2，即r(A)≤3-2=1，因此排除(A)(C)．对于(B)和(D)，因为α2不是方程组(D)的解，因此排除(D)．15.【单项选择题】设向量组α1，α2，α3为方程组AX=0的一个基础解系，下列向量组中也是方程组AX=0的基础解系的是(  )．A.α1+α2，α2+α3，α3-α1B.α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3C.α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1D.α1+α2+α3，2α1-3α2+2α3，3α1+5α2-5α3正确答案：C参考解析：根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组AX=0的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，所以选(C)．16.【单项选择题】设A为m×n阶矩阵，且r(A)=m<n，则(  )．A.A的任意m个列向量都线性无关B.A的任意m阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多个解D.矩阵A通过初等行变换一定可以化为(Em|O)正确答案：C参考解析：【解】选(C)．17.【填空题】已知A是三阶实对称矩阵，λ1=1和λ2=2是A的2个特征值，对应的特征向量分别是α1=(1，a，-1)T和α2=(1，4，5)T．若矩阵A不可逆，则Ax=0的通解是____.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】A是实对称矩阵，α1和α2是不同特征值的特征向量，相互正交，则18.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-1或0【解析】对非齐次线性方程组的增广矩阵a作初等行变换，19.【填空题】设α1，α2，α3，β均为三维列向量，A=(β-α1-2α2-3α3，α1，α2，α3)，则方程组Ax=β的一个特解为______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：(1，1，2，3)T【解析】设Ax=β有特解α*=(x1，x2，x3，x4)T，则20.【填空题】设A=(aij)3×3为实矩阵．且Aij=aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解析】21.【填空题】齐次线性方程组的基础解系是______．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：(0，2，1，0)T【解析】对系数矩阵作初等行变换，化为行最简，有22.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：-5或-6【解析】齐次方程组Ax=0有无穷多解的充分必要条件是r(A)<n(n是未知量的个数)．现在是三个未知数三个方程的齐次方程组，故可以用系数行列式|A|=0．23.【填空题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了正确答案：参考解析：【解】24.【解答题】已知向量组α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，-1，a)T,α4=(3，10，b，4)T线性相关.(1)求a，b的值.(2)判断α4能否由α1，α2，α3线性表示，如能就写出表达式.(3)求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)由(2)当b=2时

25.【解答题】已知A(1，1)，B(2，2)，C(a，1)为坐标平面上的点，其中a为参数．问：是否存在经过点A，B，C的曲线y=k1x+k2x2+k3x3?如果存在，求出曲线方程.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)(2)当a=1时，点A，C重点，此时(3)当a=0或a=2时

r(A)=2，r(A|b)=3方程组无解，此时不存在满足题中要求的曲线．26.【解答题】设方程组(1)当a为何值时方程组有解?并求其通解.(2)求方程组满足x1=x2的所有解.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：(1)对增广矩阵作初等行变换，有(2)27.【解答题】请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解对增广矩阵五作初等行变换，28.【解答题】解?当有无穷多解时，求其通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解已知方程组的系数矩阵A为3阶方阵，可以通过行列式讨论参数λ，确定其解的情况．29.【解答题】(Ⅰ)求方程组①与②的基础解系；(Ⅱ)求方程组①与②的非零公共解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解(Ⅰ)(Ⅱ)30.【解答题】求方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的非零公共解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解方程组(Ⅰ)31.【解答题】设有方程组(Ⅰ)求方程组①的通解；(Ⅱ)当a，b，c为何值时，方程组①与②同解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解(Ⅰ)对①的增广矩阵作初等行变换，32.【解答题】设行阶矩阵A满足|A|=0，Aij为|A|的元素aij对应的代数余子式，且A11≠0，求方程组A*x=0的基础解系和通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：由|A|=0，A11≠0，得r(A)=n-1，故r(A*)=1，即A*x=0等价于方程A11x1+A21x2+...+An1xn=0

①因为A11≠0，故方程①有下列线性无关的解，a1=(-A21，A11，0，...，0)T，a2=(-A31，0，A11，0，...，0)T，......an-1=(-An1，0，...，0，A11)T解向量个数为n-r(A*)=n-1，故a1，a2，...，an-1是原方程组的基础解系，通解为k1a1+k2a2+...+kn-1an-1(k1，k2，...kn-1为任意常数)33.【解答题】已知4×3矩阵A=(α1，α2，α3)，非齐次线性方程组Ax=β的通解为(1，2，-1)T+k(1，-2，3)T，K是为任意常数，令B=(α1，α2，α3，β+α3)，求方程组By=α1-α2的通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解34.【解答题】设A是5×4矩阵，r(A)=2，已知α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，且α1+α2=(4，6，-8，4)T，α3=(1，2，-1，1)T，又(0，1，-3，0)T是Ax=0的解，求Ax=b的通解．请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解由已知条件及Ax=b的通解结构，只需求Ax=0的基础解系，而基础解系有N-r(A)=4-2=2个，(0，1，-3，0)T是Ax=0的一个解，于是再求一个与(0，1，-3，0)T线性无关的解即可．注意到α1+α2-2α3。是Ax=0的解，事实上，A(α1+α2-2α3)=Aα1+Aα2-2Aα3=b+b-2b=0，且α1+α2-2α3=(4，6，-8，4)T-2(1，2，-1，1)T=(2，2，-6，2)T，又(2，2，-6，2)T与(0，1，-3，0)T线性无关(分量不成比例)，所以Ax=b的通解为

35.【解答题】设A是m×n矩阵,r(A)=n-2,非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量α1，α2，α3满足α1+α2=(1,2,3,4)T,α2+2α3=(-2,1.5,3)T,2α3+3α1=(11,5,-6,7)T,求方程组Ax=b的通解.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解依题设，找出Ax=0的基础解及Ax=b的一个特解．36.【解答题】设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵,非齐次线性方程组Ax=β的通解为(1,2,2,1)T+k(1,-2,4,0)T,k为任意常数,记B=(α3，α2，α1，β-α4).(Ⅰ)证明：r(B)=2；(Ⅱ)求方程组Bx=α1-α2的通解.请查看答案解析后对本题进行判断：答对了答错了参考解析：解(Ⅰ)由Ax=β的解的结构，知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3，并有(Ⅱ)37.【解答题】设A为3×4矩阵,r(A)=1,若向量组α1=(1,2,0,2)T,α2=(-1,-1,1,a)T,α3=(1,-1,a,5)T,α4=(2,a,-3,-5)T与方程组Ax=0的基础解系等价,求Ax=0的通解.请查看答案解