2024届浙江省杭州地区数学九年级第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

2024届浙江省杭州地区数学九年级第一学期期末质量跟踪监视试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，反比例函数的图象上有一点A，AB平行于x轴交y轴于点B，△ABO的面积是1，则反比例函数的表达式是（）A． B． C． D．2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°3．下列图形中，不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．如图，的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则的面积为（）A．6 B．5 C．4 D．35．下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正三角形 B．正五边形 C．等腰直角三角形 D．矩形6．已知，满足，则的值是（）．A．16 B． C．8 D．7．如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）A．9πm2 B．πm2 C．15πm2 D．πm28．如图,二次函数的图象与轴正半轴相交于A、B两点,与轴相交于点C,对称轴为直线且OA=OC,则下列结论:①②③④关于的方程有一个根为其中正确的结论个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．反比例函数y=和一次函数y=kx-k在同一坐标系中的图象大致是()A． B． C． D．10．如图所示，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与y轴的一个交点坐标为(0，3)，其部分图象如图所示，下列5个结论中，其中正确的是（）①abc＞0；②4a+c＞0；③方程ax²+bx+c=3两个根是=0，=2；④方程ax²+bx+c=0有一个实数根大于2；⑤当x＜0，y随x增大而增大A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，若点A的坐标为（1，），则∠1的度数为_____．12．如图，圆是锐角的外接圆，是弧的中点，交于点，的平分线交于点，过点的切线交的延长线于点，连接，则有下列结论：①点是的重心；②；③；④，其中正确结论的序号是__________．13．一个正n边形的一个外角等于72°，则n的值等于_____．14．在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.2，乙的成绩的方差为3.9，由此可知_____的成绩更稳定．15．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(4，1)在AB边上，把△CDB绕点C旋转90°，点D的对应点为点D′，则OD′的长为_________．16．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿．17．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是_______．（填序号）18．根据下列统计图，回答问题：该超市10月份的水果类销售额___________11月份的水果类销售额（请从“>”“=”或“<”中选一个填空）.三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知⊙O的直径d=10，弦AB与弦CD平行，它们之间的距离为7，且AB=6，求弦CD的长．20．（6分）如图，在中，，分别是，上的点，且，连接，，.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，，，，求的长．21．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝1．22．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF//BD交OE的延长线于点F，连接DF.求证：（1）△ODE≌△FCE;（2）四边形OCFD是矩形．23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE．（1）求证：直线DF与⊙O相切；（2）求证：BF＝EF；24．（8分）如图，于点是上一点，是以为圆心，为半径的圆．是上的点，连结并延长，交于点，且．（1）求证：是的切线（证明过程中如可用数字表示的角，建议在图中用数字标注后用数字表示）；（2）若的半径为5，，求线段的长．25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P是弦CD的中点．（1）依题意画出弦CD，并说明画图的依据；（不写画法，保留画图痕迹）（2）若AP＝2，CD＝8，求⊙O的半径．26．（10分）某旅馆一共有客房30间，在国庆期间，老板通过观察记录发现，当所有房间都有旅客入住时，每间客房净赚600元，客房价格每提高50元，则会少租出去1个房间．同时没有旅客入住的房间，需要花费50元来进行卫生打理．（1）求出每天利润w的最大值，并求出利润最大时，有多少间客房入住了旅客．（2）若老板希望每天的利润不低于19500元，且租出去的客房数量最少，求出此时每间客房的利润．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】如图，过点A作AC⊥x轴于点C，构建矩形ABOC，根据反比例函数系数k的几何意义知|k|=四边形ABOC的面积．【题目详解】如图，过点A作AC⊥x轴于点C.则四边形ABOC是矩形，∴S=S=1，∴|k|=S=S+S=2，∴k=2或k=−2.又∵函数图象位于第一象限，∴k>0，∴k=2.则反比函数解析式为.故选C.【题目点拨】此题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键在于掌握反比例函数的性质.2、A【解题分析】试题分析：连接OA，根据直线PA为切线可得∠OAP=90°，根据正六边形的性质可得∠OAB=60°，则∠PAB=∠OAP－∠OAB=90°－60°=30°．考点：切线的性质3、B【分析】将一个图形绕某一点旋转180°后能与自身完全重合的图形是中心对称图形，根据定义依次判断即可得到答案.【题目详解】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选：B．【题目点拨】此题考查中心对称图形的定义，熟记定义并掌握各图形的特点是解题的关键.4、D【分析】先由点D、E分别是边AB、AC的中点，得DE∥BC，从而得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及△ABC的面积为12，​可得SADE=1．【题目详解】解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，，∴△ADE∽△ABC，∴SADE：S△ABC=1：4∵△ABC的面积为12∴SADE=1.故选D．【题目点拨】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握形似三角形的判定方法与性质定理是解答本题的关键.5、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一进行分析判断即可得.【题目详解】A．正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；B．正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形；C．等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形；D．矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选D．【题目点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6、A【分析】先把等式左边分组因式分解，化成非负数之和等于0形式，求出x,y即可.【题目详解】由得所以=0，=0所以x=-2,y=-4所以=（-4）-2=16故选：A【题目点拨】考核知识点：因式分解运用.灵活拆项因式分解是关键.7、B【解题分析】小羊的最大活动区域是一个半径为6、圆心角为90°和一个半径为2、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围．【题目详解】大扇形的圆心角是90度，半径是6，如图，所以面积==9πm2；小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是2m，则面积=π（m2），则小羊A在草地上的最大活动区域面积=9π+π=π（m2）．故选B．【题目点拨】本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可．8、C【解题分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由图象可知当x＝3时，y＞0，可判断②；由OA＝OC，且OA＜1，可判断③；由OA＝OC，得到方程有一个根为－c，设另一根为x，则=2，解方程可得x=4+c即可判断④；从而可得出答案．【题目详解】由图象开口向下，可知a＜0，与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，又对称轴方程为x＝2，所以0，所以b＞0，∴abc＞0，故①正确；由图象可知当x＝3时，y＞0，∴9a+3b+c＞0，故②错误；由图象可知OA＜1．∵OA＝OC，∴OC＜1，即﹣c＜1，∴c＞﹣1，故③正确；∵OA＝OC，∴方程有一个根为－c，设另一根为x．∵对称轴为直线x=2，∴=2，解得：x=4+c．故④正确；综上可知正确的结论有三个．故选C．【题目点拨】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA＝OC，是解题的关键．9、C【解题分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案．【题目详解】（1）当k＞0时，一次函数y=kx-k

经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：（2）当k＜0时，一次函数y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：故选C．【题目点拨】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．10、B【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【题目详解】抛物线开口向下，a＜0，对称轴为直线x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，与y轴交点为（0，3），因此c＝3＞0，于是abc＜0，故结论①是不正确的；由对称轴为直线x＝−＝1得2a＋b＝0，当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，所以a＋2a＋c＜0，即3a＋c＜0，又a＜0，4a＋c＜0，故结论②不正确；当y＝3时，x1＝0，即过（0，3），抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性可得，抛物线过（2，3），因此方程ax2＋bx＋c＝3的有两个根是x1＝0，x2＝2；故③正确；抛物线与x轴的一个交点（x1，0），且−1＜x1＜0，由对称轴为直线x＝1，可得另一个交点（x2，0），2＜x2＜3，因此④是正确的；根据图象可得当x＜0时，y随x增大而增大，因此⑤是正确的；正确的结论有3个，故选：B．【题目点拨】考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．二、填空题(每小题3分,共24分)11、60°．【分析】过点作⊥轴，构造直角三角形之后运用三角函数即可解答。【题目详解】解：过点作⊥轴，中，，∠，∠=°.【题目点拨】本题考查在平面直角坐标系中将点坐标转化为线段长度，和运用三角函数求角的度数问题，熟练掌握和运用这些知识点是解答关键.12、②④【分析】根据三角形重心的定义，即可判断①；连接OD，根据垂径定理和切线的性质定理，即可判断②；由∠ACD=∠BAD，∠CAF=∠BAF，得∠AFD=∠FAD，若，可得∠EAF=∠ADF=∠BAC，进而得，即可判断③；易证∆ACD~∆EAD，从而得，结合DF=DA，即可判断④．【题目详解】∵是弧的中点，∴∠ACD=∠BCD，即：CD是∠ACB的平分线，又∵AF是的平分线，∴点F不是的重心，∴①不符合题意，连接OD，∵是弧的中点，∴OD⊥AB，∵PD与圆相切，∴OD⊥PD，∴，∴②符合题意，∵是弧的中点，∴∠ACD=∠BAD，∵AF是的平分线，∴∠CAF=∠BAF，∴∠CAF+∠ACD=∠BAF+∠BAD，即：∠AFD=∠FAD，若，则∠AFD=∠AEF，∴∠AFD=∠AEF=∠FAD，∴∠EAF=∠ADF=∠BAC，∴．即：只有当时，才有．∴③不符合题意，∵∠ACD=∠BAD，∠D=∠D，∴∆ACD~∆EAD，∴，又∵∠AFD=∠FAD，∴DF=DA，∴，∴④符合题意．故答案是：②④．【题目点拨】本题主要考查圆的性质与相似三角形的综合，掌握垂径定理，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质定理，是解题的关键．13、1．【分析】可以利用多边形的外角和定理求解．【题目详解】解：∵正n边形的一个外角为72°，∴n的值为360°÷72°＝1．故答案为：1【题目点拨】本题考查了多边形外角和，熟记多边形的外角和等于360度是解题的关键．14、甲【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．【题目详解】解：因为S甲2=1.2＜S乙2=3.9，方差小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲．故答案为甲；【题目点拨】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．15、3或【分析】由题意，可分为逆时针旋转和顺时针旋转进行分析，分别求出点OD′的长，即可得到答案．【题目详解】解：因为点D（4，1）在边AB上，

所以AB=BC=4，BD=4-1=3；

（1）若把△CDB顺时针旋转90°，

则点D′在x轴上，OD′=BD=3，

所以D′（3，0）；∴；

（2）若把△CDB逆时针旋转90°，

则点D′到x轴的距离为8，到y轴的距离为3，

所以D′（3，8），∴；

故答案为：3或．【题目点拨】此题主要考查了坐标与图形变化——旋转，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要注意分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况．16、或【解题分析】解方程x2-4x+3=0得，x1=1，x2=3，①当3是直角边时，∵△ABC最小的角为A，∴tanA=；②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A的邻边=，∴tanA=；所以tanA的值为或．17、③【分析】根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.【题目详解】①、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；②、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；③、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似;④、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；故答案为:③.【题目点拨】此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．18、>【分析】根据统计图，分别求出该超市10月份的水果类销售额与11月份的水果类销售额，比较大小即可．【题目详解】∵10月份的水果类销售额为（万元），11月份的水果类销售额为（万元），∴10月份的水果类销售额>11月份的水果类销售额．故答案是：>【题目点拨】本题主要考查从统计图种提取信息，通过观察统计图，得到有用的信息，是解题的关键．三、解答题(共66分)19、1【解题分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理得到根据AB∥CD，得到点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，根据勾股定理求出进而求出ON，在Rt△CON中，根据勾股定理求出根据垂径定理即可求出弦CD的长．【题目详解】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，则∵AB∥CD，∴点M、O、N在同一条直线上，在Rt△AOM中，∴ON=MN﹣OM=3，在Rt△CON中，∵ON⊥CD，∴CD=2CN=1．【题目点拨】考查勾股定理以及垂径定理，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.20、（1）见解析；（2）．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，AD=CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF=∠AFD，求得AD=DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．【题目详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴且．∵，∴，即，∴四边形是平行四边形．（2）解：∵，∴．∵平分，∴，∴，∴．∵四边形是平行四边形，∴，，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴．【题目点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．21、化简为，值为【分析】先将分式化简,再把值代入计算即可．【题目详解】原式＝＝，当a＝1时，原式＝．【题目点拨】本题考查分式的化简求值,关键在于熟练掌握化简方法．22、（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）根据题意得出，，根据AAS即可证明；（2）由（1）可得到，再根据菱形的性质得出，即可证明平行四边形OCFD是矩形.【题目详解】证明：（1），，.E是CD中点，，又(AAS)（2），，.，四边形OCFD是平行四边形，平行四边形ABCD是菱形，.平行四边形OCFD是矩形.【题目点拨】此题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键在于利用全等三角形的性质进行解答.23、见解析【解题分析】分析：（1）连接OD，由已知易得∠B=∠C，∠C=∠ODC，从而可得∠B=∠ODC，由此可得AB∥OD，结合DF⊥AB即可得到OD⊥DF，从而可得DF与⊙O相切；（2）连接AD，由已知易得BD=CD，∠BAD=∠CAD，由此可得DE=DC，从而可得DE=BD，结合DF⊥AB即可得到BF=EF.详解：（1）连结OD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OC=OD，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠B，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴DF⊥OD，∴直线DF与⊙O相切；（2）连接AD．∵AC是⊙O的直径，∴AD⊥BC，又AB=AC，∴BD=DC，∠BAD=∠CAD，∴DE=DC，∴DE=DB，又DF⊥AB，∴BF=EF．点睛：（1）连接OD，结合已知条件证得OD∥AB是解答第1小题的关键；（2）连接AD结合已知条件和等腰三角形的性质证得DE=DC=BD是解答第2小题的关键.24、（1）见解析；（2）【分析】(1)如图连结，先证得，即可得到，即可得到是的切线；(2)由(1)知：过作于，先证明得到，设,在中，，即：解出方程即可求得答案．【题目详解】证明：(1)如图，连结，则，∴，∵，∴，∵，∴，而，∴，即有，∴，故是的切线；(2)由(1)知：过作于，∵,∴，而，由勾股定理，得：，在和中，∵，