四川高考文科数考试说明(讨论稿)

PAGEPAGE62013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）考试说明数学（文科）《2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）考试说明》的数学（文）部分（以下简称《考试说明》）以既有利于数学新课程的改革、又要发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查考生对中学数学知识的掌握程度、又注意考查考生进入高等学校继续学习的潜能，既符合四川省普通高等学校招生统一考试工作整体方案和普通高中课程改革的实际情况、又利用高考命题的导向功能推动新课程的课堂教学改革为基本原则，依据教育部颁布的《普通高中课程方案（实验）》、《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）、教育部考试中心颁布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲（文科·课程标准实验）》、《四川省普通高考改革方案》、《四川省普通高中课程设置方案》、《四川省普通高中课程数学学科教学指导意见》，并结合我省普通高中数学教学实际制定．Ⅰ．考试性质普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试．高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。因此，高考应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度．Ⅱ．命题指导思想2013年普通高等学校招生全国统一考试数学科（四川卷）的命题，将遵循“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意的命题指导思想，将知识、能力和素质融为一体，坚持正确导向，注重能力考查，力求平稳推进，确保命题质量，全面检测考生的数学素养和考生进入高等学校继续学习的潜能，有利于高校选拔新生和中学实施素质教育．数学科考试将充分发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考生数学的基础知识、基本技能和数学思想方法，考查考生的数学基本能力、应用意识和创新意识，考查考生对数学本质的理解，体现《课程标准》中对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求．数学科命题将在试卷结构、难度控制及试题设计等方面保持相对稳定，适度创新，既体现新课程理念，又继承四川省历年高考数学命题的成果．Ⅲ．考试形式与试卷结构一、考试形式考试采用闭卷、笔试形式．考试时间为120分钟．考试时不允许使用计算器．二、考试范围考试内容如下：数学1（必修）：集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）．数学2（必修）：立体几何初步、平面解析几何初步．数学3（必修）：算法初步、统计、概率．数学4（必修）：基本初等函数Ⅱ（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换．数学5（必修）：解三角形、数列、不等式．选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用（不含“导数及其应用”中的“生活中的优化举例”）．选修1—2：推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图．三、试卷结构1．试题类型全卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分为150分．试卷结构如下：题型题数分值说明第Ⅰ卷选择题1260四选一型的单项选择第Ⅱ卷填空题416只需直接填写结果，不必写出具体解答过程解答题674要求写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程2．难度控制试题按其难度分为容易题、中等难度题和难题．难度在0.7以上的试题为容易题，难度为0.4—0.7的试题是中等难度题，难度在0.4以下的试题为难题．试卷由三种难度的试题组成，并以中等难度题为主．命题时根据有关要求和教学实际合理控制三种难度试题的分值比例（大致控制在3:5:2）及全卷总体难度．Ⅳ．考试内容及要求一、考核目标与要求数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力。具体考试内容根据教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）、教育部考试中心颁布的《普通高等学校招生全国统一考试大纲（文科·课程标准实验）》、《四川省普通高中课程数学学科教学指导意见》确定。关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下：1．知识要求知识是指《课程标准》所规定的必修课程、选修课程系列1中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算，处理数据、绘制图表等基本技能.各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明．对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握（分别用A、B、C表示），且高一级的层次要求包含低一级的层次要求．了解、理解、掌握是对知识的基本要求．（1）了解（A）：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别、认识和直接应用。这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等。（2）理解（B）：要求对所列知识内容有理性的认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够解释、举例或变形、推断，能够利用所学的知识内容对有关问题作比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力.这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达、表示，推测、想象，比较、判别、判断，初步应用等.（3）掌握（C）：要求能够对所列的知识内容有较深刻的理性认识，形成技能，能够推导证明，能够利用所学知识对比较综合的问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决.这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等.用等差数列、等比数列的有关知识解决一些简单的实际问题√不等式不等关系不等式的基本性质√绝对值不等式的几何意义及其简单应用（选修4-5）√一元二次不等式解一元二次不等式√简单的线性规划用二元一次不等式组表示平面区域√简单的二元线性规划问题√基本不等式基本不等式的证明过程√用基本不等式解决简单的最大（小）值问题√推理与证明合情推理与演绎推理合情推理√归纳和类比√演绎推理√直接证明与间接证明综合法√分析法√反证法√平面向量平面向量平面向量的相关概念√向量的线性运算向量加法、减法及其几何意义√向量的数乘及其几何意义√两个向量共线√平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理√平面向量的正交分解及其坐标表示√用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算√用坐标表示的平面向量共线的条件√平面向量的数量积数量积及其物理意义√数量积与向量投影的关系√数量积的坐标表示√用数量积表示两个向量的夹角√用数量积判断两个平面向量的垂直关系√向量的应用用向量方法解决简单的问题√导数及其应用导数概念及其几何意义导数的概念√导数的几何意义√导数的运算根据导数定义求函数的导数√导数的四则运算√导数公式表√导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）√函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）√数系的扩充与复数的引入复数的概念与运算复数的基本概念，复数相等的条件√复数的代数表示法及几何意义√复数代数形式的四则运算√复数代数形式加减法的几何意义√立体几何初步空间几何体柱、锥、台、球及其简单组合体√简单空间图形的三视图√斜二测法画简单空间图形的直观图√球、棱柱、棱锥的表面积和体积√点、直线、平面间的位置关系空间线、面的位置关系√公理1、公理2、公理3、公理4、定理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.√线、面平行或垂直的判定√线、面平行或垂直的性质√用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的简单命题√平面解析几何初步直线与方程直线的倾斜角和斜率√过两点的直线斜率的计算公式√两条直线平行或垂直的判定√直线方程的点斜式、两点式及一般式√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式、点到直线的距离公式√两条平行线间的距离√圆与方程圆的标准方程与一般方程√直线与圆的位置关系√两圆的位置关系√用直线和圆的方程解决简单的问题√空间直角坐标系空间直角坐标系√空间两点间的距离公式√圆锥曲线与方程圆锥曲线椭圆的定义及标准方程√椭圆的几何图形及简单性质√抛物线的定义及标准方程√抛物线的简单几何性质√双曲线的定义及标准方程√双曲线的简单几何性质√算法初步算法及其程序框图算法的含义√程序框图的三种基本逻辑结构√基本算法语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句√框图流程图流程图√结构图结构图√统计随机抽样简单随机抽样√分层抽样和系统抽样√用样本估计总体概率分布表、直方图、折线图、茎叶图√样本数据的基本的数字特征（如平均数、标准差）√用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征√变量的相关性线性回归方程√概率事件与概率随机事件的概率√两个互斥事件的概率加法公式√古典概型古典概型及其概率计算公式√几何概型几何概型√Ⅴ．参考样题为让考生对高考试题获得一定的认识，我们从近几年高考数学（北京卷、全国卷和四川卷）中选择了部分试题编制成参考样题．均有答案、说明．参考样题与2013年高考试卷的结构、形式、测试内容、题目排序、题量、难度等均没有对应关系．一、选择题；在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．[试题1]（2010年全国文史类第1题改编）如果集合，，那么（）A．B．C．D．[答案]D[说明]本题考查集合的交集运算以及绝对值不等式、无理不等式的解法．[试题2]（2003年北京文史类第2题改编）如果，，，那么（）A．B．C．D．[答案]把，，都化成以为底的指数幂，得，，．由函数在上是增函数，且，得，因此正确答案选B．[说明]本题考查指数的概念、指数的运算和指数函数的单调性．[试题3]（2007年北京文史类第3题改编）函数的最小正周期是（）A．B．C．D．[答案]因为，所以的最小正周期为，因此正确答案选B．[说明]本题考查三角函数的周期性以及和角与差角公式．[试题4]（2006年北京文史类第2题改编）函数的图象（）A．关于轴对称B．关于轴对称C．关于原点对称D．关于直线对称[答案]D．[说明]本题考查正弦函数的性质、函数的有奇偶性及其图象的对称性．[试题5]（2004年北京文史类第3题）设是两条不同的直线，是三个不同的平面．给出了下列四个命题：①若，∥，则；②若∥，∥，，则；③若∥，∥，则∥；④若，，则∥．若中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④[答案]A．[说明]本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行、垂直关系，开始结束开始结束输出图1输入是否[试题6]（2010全国文史类第8题）如果执行如图1所示的框图，输入，则输出的数等于（）A．B．C．D．[答案]第一次运行，，，，成立，进入第二次运行；，，成立，进入第三次运行；，，成立，进入第四次运行；，，成立；，，不成立，此时退出循环，输出．因此答案选D．[说明]本小题考查程序框图的循环结构，及考生的识图能力和简单的计算能力，题目难易适中，找出规律及最后一次运行是解题的关键．[试题7]（2010年北京文史类第3题）从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是（）A．B．C．D．[答案]从中随机选取一个数有5种选法，从中随机选取一个数有3种选法，由分步计数原理知共有种选法．而满足的选法有：当时，有2种，当时，有1种，共有种选法．由古典概型知的概率．因此答案选D．[说明]本是主要考查古典概型的求法和分类讨论思想的应用．[试题8]2005年北京文史类第4题改编）如果，，，且，那么向量与的夹角为（）A．B．C．D．[答案]由两向量的夹角公式和已知条件可知，只需求得的值即可．由，得，再由已知求得，，得，因此答案选C．[说明]本题考查向量、向量的模及向量的夹角等概念，考查向量的运算以及向量垂直的条件．[试题9]（2010年北京文史类第3题改编）如果，那么（）A．B．C．D．[答案]∵，∴，因此答案选B．[说明]本题主要考查复数的运算和复数模的求法．66图2-2ABC[试题10]（2011年全国文史类第4题）若变量满足约束条件66图2-2ABCA．B．C．D．[答案]如图2，作出可行域，再作出初始直线，即，发现向上移动时越来越大，故平移到过点时最小，又，∴．因此答案选C．[说明]本题主要考查线性规划问题以及数形结合思想．[试题11]（2008年全国文史类第7题）已知等比数满足，，则（）A．B．C．D．[答案]设等比数列公比为，∵，∴，∴．又，∴，∴．∴．因此答案选A．[说明]本题主要考查等比数列的通项公式，求解时应利用方程思想准确求出和．[试题12]（2011年全国文史类第7题）设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于（）A．B．C．D．[答案]由已知，，∴，∴，∴当时，取得最小值6．因此答案选C．[说明]本题主要考查三角函数的图象变换以及三角函数的有关性质．[试题13]（2011年北京《考试说明》样题文史类第8题）甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如下表：甲的成绩乙的成绩环数78910环数78910频数6446频数4664，分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的标准差，分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的平均数，则有（）A．，B．，C．，D．，[答案]由甲、乙成绩分布的对称性可得，再根据标准差是刻画成绩的分散与集中程度的量得到．因此答案选B．[说明]本题主要考查平均数、标准差的概念．[试题14]（2011全国文史类第8题）已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足．若，，则（）A．B．C．D．ACB图3ACB图3中，，∴，∴．∴为直角三角形，∴．在中，，，∴．因此答案选C．[说明]本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的关系以及空间想象能力和数据的处理能力．[试题15]（2009全国文史类第7题）甲组有5名男同学、3名女同学，乙组有6名男同学、2名女同学，若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法有（）A．150种B．180种C．300种D．345种[答案]若从甲组中选出1名女同学，有种选法，则甲组还需从5名男同学中选1名，有种，其余2名同学还应从乙组的男同学中选，有种，此时有（种）；若从乙组中选1名女同学，有种选法，则还需从乙组的男同学中选1人，有种选法，从甲组的5名男同学中选2名，共有种，共有（种），故共有（种）不同的选法．因此答案选D．[说明]本题考查用两个原理及组合知识解决实际问题，求解时应注意分类讨论思想的应用．224正（主）视图侧（左）视图俯视图图4[试题16]（2011年北京文史类第5题）某四棱锥的三视图如图4所示，该四棱锥的表面积是（）A．B．C．D．[答案]由三视图还原几何体的直观图如图5所示．，因此答案选B．[说明]本题考查三视图及几何体表面4424图5积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力．[试题17]（2009年四川省文史类第7题）已知为实数，且，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]∵，∴，又，∴与的大小无法比较；当成立时，假设，，∴，与题设矛盾，∴．综上可知，“”是“”的必要而不充分条件．因此答案选B．[说明]本题主要考查充分必要条件的判断，解题时注意反证法的应用．[试题18]（2011年北京文史类第3题改编）如果，那么（）A．B．C．D．[答案]不等转化为．因此答案选D．[说明]本题主要考查对数不等式的求解，考查考生的运算求解能力．[试题19]（2009年全国文史类第5题改编）假设双曲线的渐近线与抛物线相切，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．[答案]双曲线的渐近线方程为，∵与渐近线相切，∴只有一个实根，∴，∴，∴，∴，因此答案选C．[说明]本题考查双曲线离心率的求法、对双曲线渐近线方程的理解以及直线与抛物线位置关系的判断．本题求解的关键是利用直线与抛物线相切，得到消元后的二次方程的判别式等于，由此得到之间的关系式．[试题20]（2010年四川省文史类第11题）设，则的最小值是（）A．B．C．D．[答案]，当且仅当且，即，时取等号．因此答案选D．[说明]本题考查均值不等式，应灵活运用添项、减项的方法．[试题21]（2010年；四川省文史类第10题）椭圆的右焦点为，其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．[答案]设，则．又点在的垂直平分线上，∴，因此．又，∴．∴．又，∴．因此答案选D．[说明]本题考查椭圆的第二定义及椭圆的几何性质，求解时应注意线段垂直平分线性质的应用，并注意到点不能为椭圆的右顶点．二、填空题：把答案填在题中横线上．[试题22]（2011年四川省文史类第3题改编）圆的圆心坐标是．[答案]圆的圆心坐标是，即，因此答案填选．[说明]本题主要考查圆的一般方程中圆心坐标的求法．[试题23]（2011年全国文史类第14题改编）如果，，那么．[答案]∵，∴，∴．又，∴，，又，∴，∴．因此答案填．[说明]本题主要考查同角三角函数的基本关系式以及三角函数的符号问题．[试题24]（2011年全国文史类第10题改编）如果是周期为的奇函数，当时，，那么．[答案]∵是周期为的奇函数，∴．因此答案填．[说明]本题主要考查函数的奇偶性、周期性以及数据处理的能力．[试题25]（2011年北京《考试说明》样题文史类第14题）口袋中有形状大小都相同的4只小球，其中有2只红球和2只黄球，从中依次不放回地随机模出2只球．那么2只都是黄球的概率为；2只颜色不同的概率为．[答案]由于基本事件的总数为12，2只都是黄球的配件包含的基本事件的个数为2，2只球颜色不同的事件包含的基本事件的个数为8．因此2只都是黄球的概率为，2只球颜色不同的概率为．因此答案应填和．[说明]本题主要考查随机事件的概率及性质，考查古典概型的概率求解方法．[试题26]（2011年北京《考试说明》样题文史类第16题改编）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列是等和数列，且公和为4，那么的值为，且这个数列的前2013项和的值为．[答案]由“等和数列”的概念，即可由题意得出的等和数列为1，3，1，3，1，3，…，于是，．[说明]本题主要考查数列的基本概念，考查综合应用所掌握所学数学知识选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究，创造性地解决问题的能力．[试题27]（2006年北京文史类第13题）在中，，，所对的边长分别是，若：：，则，的大小是．[答案]由正弦定理得，由余弦定理得，得．[说明]本题主要考查正弦定理和余弦定理．[试题28]（2010年全国文史类第15题）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的（填入所有可能的几何体前的编号）．①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱[答案]①三棱锥的正视线与其中一侧面平行可以得正视图为三角形；②四棱锥，若底面是矩形，有一侧棱垂直于底面可以得正视图为三角形；③三棱柱，把侧面水平放置，正对着底，沿着一个侧面看，得正视图为三角形；④四棱柱，不论从哪个方向看都得不出三角形；⑤圆锥的底面水平放置，正视图是三角形；⑥圆柱从不同方向看是矩形或圆，不可能是三角形．因此答案选①，②，③，⑤．[说明]本题主要考查三视图的有关知识，从不同角度观察同一个几何体得到的图形不一定相同，充分考查学生的空间想象能力以及画图、用图能力．[试题29]（2010年四川省文史类第13题改编）的展开式中的常数项为．（用数字作答）[答案]．当，即时，第3项为常数项，．[说明]本题考查二项式定理及二项展开式的知识，考查学生分析问题的能力和运算能力．[试题30]（2008年全国文史类第4题改编）曲线在点处的切线方程是．[答案]∵，∴，∴曲线在点处的切线斜率，切线方程为，即即为所填答案．[说明]本题考查多项式函数的导数以及导数的几何意义，考查直线点斜式的应用．求解此类问题应先求导数，再求导数值（斜率），根据导数值再用点斜式求出直线方程．[试题31]（2011年四川省文史类第11题改编）在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，那么抛物线顶点的坐标为．[答案]当时，；当时，，∴割线的斜率．设直线与抛物线的切点横坐标为，由得切线斜率为，∴，∴．∴直线与抛物线的切点坐标为，切线方程为，即．圆的圆心到切线的距离．由题意得，即．又，∴，此时，．顶点坐标为．因此答案应填．AMAM图6[试题32]（2009年全国文史类第15题）已知为球的半径，过的中点且垂直于的平面截球面得到圆．若圆的面积为，则球的表面积等于．[答案]∵圆的面积为，∴圆的半径．设球的半径为，由图6可知，，∴．123312123312231图7[说明]本题考查球的截面的性质．[试题33]（2008年全国文史类第12题改编）将1，2，3填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，如图7是一种填法，则不同的填写方法种数是．（用数字作答）ΔΔΔ图8ΔΔΔ图8中间斜对角线填起．如图8中的Δ，当Δ全为1时，有2种（即第一行第2列为2或3，当第二列填2时，第三列只能填3，当第一行填完后，其它行的数字便可确定），当Δ全为2或3时，分别有2种，共有6种；当Δ分别为1，2，3时，也有6种．共有12种．因此答案应填12．[说明]本题主要考查分析问题和解决问题的能力．[试题34]（2010年四川省文史类第16题）设为实数集的非空子集，若对于任意，都有，则称为封闭集．下列命题：①集合为整数为封闭集；②若为封闭集，则；③封闭集一定是无限集；④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．其中的真命题是．（写出所有真命题的序号）[答案]对于整数，有，，，∴①正确．当，时，，∴②正确．当时，为封闭集，∴③错误．取，时，显然，∴④错误．综上可知，答案应填①，②．[说明]本题考查集合的概念、集合中元素与集合的关系、集合之间的关系等有关知识，考查学生运用所学知识解决新定义问题的创新应用能力，解题关键是正确理解封闭集的属性，本题是拓展性题．三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．[试题35]（2009年北京文史类第15题改编）已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值．[答案]（1）∵，∴函数的最小正周期为．（2）由，得，∴，．∴的最大值是，最小值是．[说明]本题主要考查三角函数的图象及性质，考查诱导公式、二倍角公式的正弦公式、函数的周期及最大值和最小值．[试题36]（2010年北京文史类第16题）已知为等差数列，且，．（1）求的通项公式；（2）若等比数列满足，，求的前项和公式．[答案]（1）设等差数列的公差为．∵，，∴解得，．∴．（2）设等比数列的公比为．∵，，∴，．∴数列的前项和公式为．[说明]本题主要考查等差数列的通项公式以及等比数列的通项公式和前项和公式．考查学生的运算求解能力．[试题37]（2011年北京《考试说明》样题文史类第24题）设和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数．（1）求且的概率；（2）求函数的图象与轴无交点的概率．[答案]（1）由于第一次抛掷骰子的每一个结果都可以与第二次抛掷骰子的任意一个结果配对，组成先后抛掷一枚骰子的一个结果，因此先后抛掷一枚骰子的结果共有36种．且的结果有，，，，，，，，其中第一个数表示第一次抛掷骰子的结果，第二个数表示第二次抛掷骰子的结果．因此且的概率为．（2）∵函数的图象与轴没有交点，即没有实根，则，即．当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．∴函数的图象与轴无交点的概率为．VCVCDBA图9[试题38]（2011年成都市高二年级上期调研考试第21题（文）改编）如图9，在三棱锥中，底面，，是的中点，且．（1）求证：平面平面；（2）当时，求直线与平面所成的角．VCDBA图10[答案]（1）证明：∵，∴是等腰三角形，又是的中点，∴．又底面，∴．于是平面．又平面，∴平面平面．VCDBA图10E（2）解：∵是等腰直角三角形，是的中点，∴．又平面，∴．∴平面．过点作交于点，如图10．则平面．连接，则是在平面内的射影，∴是直线与平面所成的角．在等腰中，，∴E．∴在中，，故．∴直线与平面所成的角为．[说明]本题考查线面垂直、面面垂直的判定定理、等腰（直角）三角形性质的应用；考查线面垂直的性质、面面垂直的性质、线面所成角的性质、正弦函数的应用．[试题39]（2008年全国文史类第21题）已知函数，．（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．[答案]（1）∵，∴，当，即时，恒成立，此时为单调递增函数，单调区间是．当，即或时，函数存在零解，此时当时，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减．此时函数的单调区间为：若或时，当或时，函数单调递增；当时，函数单调递减．（2）若函数在区间内是减函数，则说明两根在区间外，因此，且，由此可解得．因此的取值范围是．[说明]本题考查函数的导数、含参数不等式的解法，导数的应用以及分析问题、解决问题的能力．[试题40]（2010年全国文史类第19题）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．（2）能否有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：[答案]（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为．（2）．由于，∴有的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）由（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．[说明]本题考查列联表、抽样调查的方法、用样本估计总体和设计抽样方法搜集数据等知识．难度较大．[试题41]（2009年北京文史类第20题）设数列的通项公式为．数列定义如下：对于正整数，是使不等式成立的所有中最小值．（1）若，，求；（2）若，求数列的前项和的公式；（3）是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由．[答案]（1）由题意得．解得．∴使成立的所有中的最小正整数为，即．（2）由题意得．对正整数，由得．根据的定义可知，当时，；当，．∴．（3）假设存在满足条件．由不等式及得．∵，由的定义可知，对于任意的正整数都有．即对任意正整数都成立．当（或）时，得（或），这与上述结论矛盾．当，即