数学建模习题与答案课后习题

第一局部课后习题学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一种10人的委员会，试用如下措施分派各宿舍的委员数：〔1〕按比例分派取整数的名额后，剩余的名额按通例分给小数局部较大者。〔2〕2.1节中的Q值措施。〔3〕d’Hondt措施：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：12345…A235117.578.358.75…B333166.511183.25…C43221614410886.4将所得商数从大到小取前10个〔10为席位数〕，在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分派的席位。你能解释这种措施的道理吗。假如委员会从10人增至15人，用以上3种措施再分派名额。将3种措施两次分派的成果列表比较。〔4〕你能提出其他的措施吗。用你的措施分派上面的名额。在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品廉价这种现象了吗。比方洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，两者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例措施构造模型解释这个现象。〔1〕分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产本钱、包装本钱和其他本钱等决定，这些本钱中有的与重量w成正比，有的与外表积成正比，尚有与w无关的原因。〔2〕给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，阐明w越大c越小，不过伴随w的增长c减少的程度变小。解释实际意义是什么。一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量予以奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的措施。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据〔胸围指鱼身的最大周长〕：身长〔cm〕36.831.843.836.832.1重量〔g〕76548211627374821389652454胸围〔cm〕24.821.327.924.821.631.822.921.6先用机理分析建立模型，再用数据确定参数用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，规定布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大〔如图〕。假设懂得管道长度，需用多长布条〔可考虑两端的影响〕。假如管道是其他形状呢。用尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列措施，使加工出尽量多的圆盘。动物园里的成年热血动物靠喂养的食物维持体温主线不变，在某些合理、简化的假设下建立动物的喂养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。举重比赛按照运发动的体重分组，你能在某些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗。下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检查你的模型。组别最大体重〔kg〕抓举〔kg〕挺举〔kg〕总成绩〔kg〕154132.5155287.5259137.5170307.5364147.5187.5335470162.5195357.5576167.5200367.5683180212.5392.5791187.5213402.5899185235420910819523543010〉108197.5260457.5第一局部课后习题答案按照题目所给措施〔1〕，〔2〕，〔3〕的席位分派成果如下表：宿舍〔1〕〔2〕〔3〕〔1〕〔2〕〔3〕A322443B333555C455667总计101010151515〔1〕生产本钱重要与重量w成正比，包装本钱重要与外表积s成正比，其他本钱也包括与w和s成正比的局部，上述三种本钱中都具有与w，s均无关的成分。又由于形状一定期一般有，故商品的价格可表为〔为不小于0的常数〕。〔2〕单位重量价格，其简图如下：显然c是w的减函数，阐明大包装比小包装的商品廉价，；曲线是下凸的，阐明单价的减少值伴随包装的变大是逐渐减少的，不要追求太大包装的商品。对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上同样，因此重量w与身长的立方成正比，即，为比例系数。常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定承认上述模型，由于它对肥鱼和瘦鱼同等看待。假如只假定鱼的横截面积是相似的，那么横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是，为比例系数。运用数据估计模型中的系数可得=0.014，=0.0322，将实际数据与模型成果比较如下表：实际重量〔g〕76548211627374821389652454模型72746912267274831339675483模型73046511007304831471607483主线上满意。将管道展开如图：可得，假设d一定，w趋于0，趋于/2；w趋于d，趋于0。假设管道长度为，不考虑两端的影响时布条长度显然为d/w，假设考虑两端影响，那么应加上dw/sin。对于其他形状管道，只需将d改为对应的周长即可。设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。方案一：圆盘中心按正方形排列，如如下图1，圆盘总数为=[a/2][b/2]方案二：圆盘中心按六角形排列，如如下图2，行数m满足2+〔m-1〕a，于是m=图1图2列数〔按图2第1行计数〕n满足：假设[b]为奇数，那么各行圆盘数同样为〔[b]-1〕/2；假设[b]为偶数，那么奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1。圆盘总数为其中〔1〕为：m为偶数。〔2〕为：m为奇数，[b]为偶数。ab两个方案的比较见下表(表中数字为/)：ab35810142042/24/48/710/914/1320/1973/36/612/1115/1421/2030/29105/510/1020/1825/2335/3350/48157/814/1628/2835/3649/5270/762010/1120/2240/3950/5070/72100/105当a，b较大时，方案二优于方案一。其他方案，方案一、二混合，假设a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为106。假设处在静止状态的动物的喂养食物量重要用于维持体温不变，且动物体内热量重要通过它的外表积散失，对于一种动物其外表积S与某特性尺寸之间的关系是，因此喂养食物量。假设举重比赛成绩y与运发动肌肉的截面积s成正比，而截面积〔是某特性尺寸〕，体重，于是。用举重总成绩检查这个模型，成果如如下图3；假如用举重总成绩拟合，可得=0.57，成果如如下图4。图3图4第二局部课后习题Malthus模型预测的优缺陷。阻滞增长模型预测的优缺陷。简述动态模型和微分方程建模。按照你的观点应从那几种方面来建立传染病模型。体现Leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。试比较持续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型,并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。第二局部课后习题答案长处:短期预报比较精确;缺陷:不适合中长期预报;原因:预报时假设人口增长率为常数,没有考虑环境对人口增长的制约作用。长处:中期预报比较精确;缺陷:理论上很好，实用性不强;原因:预报时假设固有人口增长率以及最大人口容量为定值。实际上这两个参数很难确定，并且会伴随社会开展状况变化而变化。动态模型:描述对象特性随时间(空间)的演变过程,分析对象特性的变化规律,预报对象特性的未来性态,研究控制对象特性的手段；微分方程建模:模根据函数及其变化率之间的关系确定函数,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程。描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,防止传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析措施建立模型。不一样年龄组的繁殖率和死亡率不一样,以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1),是一种差分方程模型。持续形式:表达某种群时刻的数量(人口)离散形式:表达某种群第代的数量(人口)假设,那么,是平衡点;的平衡点为.的平衡点为,其中,此时的差分方程变为.由可得平衡点.在平衡点处,由于,因此,不稳定.在在平衡点处,因,因此(i)当时,平衡点不稳定;(ii)当时,平衡点不稳定.第三局部课后习题判断如下数学模型与否为线性规划模型。〔a,b,c为常数，x,y为变量〕将下述线性规划问题化为原则形式。用单纯形法求解线性规划问题。检查函数在处有正定，从而为极小点。证明G为奇异当且仅当，从而证明对所有满足的x，G是正定的。求出函数的所有平稳点；问哪些是极小点？与否为全局极小点？应用梯度法于函数取迭代求第三局部课后习题答案答案：〔1〕是〔2〕不是〔3〕是答案：〔1〕〔2〕令引入松弛变量可得到如下的原则形式：〔3〕解：〔4〕解：答案：在上述问题的约束条件中参与松弛变量，将原问题化成原则形式如下：其现成可行基对应的单纯形表如下：25000010100402010123200118换基迭代，得200-5/20-301010040101/206300-116换基迭代，得000-11/6-2/3-340011/3-1/320101/206100-1/31/32故最优解为，目的函数的最优值为.证明：，，经检查，正定，奇异当且仅当即。假设，即时，正定，因此假设那么，即，故正定。解：，故平稳点为极小点为且是全局极小点。解：第四局部课后习题假如开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的成果尚不能确定，即图中a、b的数值不确定。讨论本博弈也许有哪些也许的成果？假如本博弈中的“威胁〞和“承诺〞是可信的，a、b应满足什么条件？〔a,b〕(0,4)〔a,b〕(0,4)静态贝叶斯博弈中参与人的方略有什么特点？为何？有了海萨尼转换，不完全信息动态博弈和完全但不完美信息动态博弈主线上是同样的，，这种论述与否对的？判断如下论述与否对的，并作简朴讨论。(1)古玩市场的交易中买卖双方的懊悔都来源于自己对古玩价值判断的失误，假设预先对价值的判断是对的的，那么交易者肯定不会懊悔。(2)教育程度在劳动力市场招聘员工时受到重视的理由是，经济学已经证明教育对于提高劳动力素质有不可替代的作用。假设〔1〕“自然〞以均等的概率决定得益是下述得益矩阵1的状况还是得益矩阵2的状况，并让博弈方1懂得而不让博弈方2懂得；〔2〕博弈方1在T和B中选择，同步博弈方2在L和R中进展选择。找出该静态贝叶斯博弈的所有纯方略贝叶斯纳什均衡。请用下面这个两市场博弈验证海萨尼有关混合方略和不完全信息博弈关系的结论。第四局部课后习题答案参照答案：括号中的第一种数字代表乙的得益，第二个数字代表甲的得益，因此a表达乙的得益，而b表达甲的得益。在第三阶段，假如，那么乙会选择不打官司。这时逆推回第二阶段，甲会选择不分，由于分的得益2不不小于不分的得益4。再逆推回第一阶段，乙肯定会选择不借，由于借的最终得益0比不借的最终得益1小。在第三阶段，假如，那么乙轮到选择的时候会选择打官司，此时双方得益是(a,b)。逆推回第二阶段，假如，那么甲在第二阶段仍然选择不分，这时双方得益为(a,b)。在这种状况下再逆推回第一阶段，那么当时乙会选择不借，双方得益〔1，0〕，当时乙肯定会选择借，最终双方得益为〔a,b〕。在第二阶段假如，那么甲会选择分，此时双方得益为〔2，2〕。再逆推回第一阶段，乙肯定会选择借，由于借的得益2不小于不借的得益1，最终双方的得益〔2，2〕。根据上述分析我们可以看出，该博弈比较明确可以预测的成果有这样几种状况：〔1〕，此时本博弈的成果是乙在第一阶段不乐意借给对方，完毕博弈，双方得益〔1，0〕，不管这时候b的值是多少；〔2〕，此时博弈的成果仍然是乙在第一阶段选择不借，完毕博弈，双方得益〔1，0〕；〔3〕，此时博弈的成果是乙在第一阶段选择借，甲在第二阶段选择不分，乙在第三阶段选择打，最终成果是双方得益〔a,b〕；〔4〕，此时乙在第一阶段会选择借，甲在第二阶段会选择分，双方得益〔2，2〕。要本博弈的“威胁〞，即“打〞是可信的，条件是。要本博弈的“承诺〞，即“分〞是可信的，条件是且。注意上面的讨论中没有考虑a=0、a=1、b=2的几种状况，由于这些时候博弈方的选择很难用理论措施确定和预测。不过最终的成果并不会超过上面给出的范围。参照答案：静态贝叶斯博弈中博弈方的一种方略是他们针对自己多种也许的类型怎样作对应的完整方案。或者换句话说，静态贝叶斯博弈中博弈方的方略就是类型空间到行为空间的一种函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数，当博弈方的类型只有有限几种时是离散函数，当博弈方的类型空间是持续区间或空间时那么是持续函数。只有一种类型的博弈方的方略仍然是一种行为选择，但我们同样可以认为是其类型的函数。静态贝叶斯博弈中博弈方的方略之因此必须是针对自己所有也许类型的函数，原因是博弈方互相会认为其他博弈方也许属于每种类型，因此会考虑其他博弈方所有也许类型下的行为选择，并以此作为自己行为选择的根据。因此各个博弈方必须设定自己在所有多种也许类型下的最优行为，而不仅仅只考虑针对真实类型的行为选择。参照答案：对的。实际上，不完全信息动态博弈与完全但不完美信息动态博弈本质上常常是同样的，是一种博弈问题的两种不一样理解措施，而把它们联络起来的桥梁就是海萨尼转换。参照答案：〔1〕错误。虽然自己对古玩价值的判断是完全对的的，仍然有也许懊悔。由于古玩交易的价格和利益不仅取决于古玩的实际价值和自己的估价，还取决于对方的估价和乐意承受的成交价格，因此仅仅自己作出对的的估价并不等于实现了最大的潜在利益。〔2〕错误。实际上经济学并没有证明教育对于提高劳动力素质有不可替代的作用。此外，我们之因此认为教育对劳动力市场招聘员工有重要参照价值，是由于教育除了〔很也许〕对提高劳动力素质有作用以外，还具有重要的信号机制的作用。也就是说，虽然教育并不能提高劳动力素质，往往也可以反应劳动力的素质。参照答案：在这个静态的贝叶斯博弈中，博弈方1的方略是私人信息类型的函数：当“自然〞选择得益矩阵1时选择T，当“自然〞选择得益矩阵2时选择B。博弈方2的方略那么根据期望利益最大化决定。博弈方2选择L方略的期望得益为，选择R方略的期望得益为，因此博弈方2必然选择R。因此该博弈的纯方略贝叶斯纳什均衡只有：博弈方1在“自然〞选择得益矩阵1时选择T，当“自然〞选择得益矩阵2时选择B，博弈方2选择R。参照答案：根据对完全信息静态博弈的分析措施，我们很轻易发现上述两市场博弈中有两个纯方略纳什均衡〔A,B〕和〔B,A〕，以及一种对称的混合方略纳什均衡：每个厂商都以0.5的概率随机选择A和B。目前我们把上述两市场博弈改成不完全信息的版本。设两个厂商的得益如下面的得益矩阵所示：其中分别是两个厂商的私人信息，对方只懂得它们都均匀分布在上。这时候，我们不难证明厂商1采用方略“时选择A，否那么选择B〞，厂商2也采用方略“时选择A，否那么选择B〞，构成这个不完全信息静态博弈的一种贝叶斯纳什均衡。根据的上述分布，我们懂得两个厂商选择A和B的概率都是0.5。当趋向于0时，这个不完全信息博弈与完全信息博弈越来越靠近，其纯方略贝叶斯均衡当然与完全信息博弈的混合方略纳什均衡完全同样。第五局部课后习题简述古典回归模型的主线假定。试述戈德菲尔德—匡特〔Goldfeld--Quandt〕检查的原理和目的。简述虚拟变量的作用和设置原那么。简述多重共线性产生的原因和影响。异方差的后果D.W检查的优缺陷第五局部课后习题答案1)解释变量x为非随机变量，即在反复抽样过程中，x取值是可控的、固定的。2)零均值假定：E〔〕=0，即随机误差项的平均值为零。3)同方差假定：D〔〕=σ2〔常数〕，即各随机误差项的离散程度〔或波动幅度〕是同样的。4)非自有关假定：Cov〔，〕=0〔i≠j〕，即随机误差项之间是互不有关、互不影响的。5)解释变量与随机误差项不有关假定，Cov〔Xi，〕=0〔或E〔Xi〕=0〕，即解释变量与随机误差项互不有关，彼此独立的对y产生影响。6)无多重共线性假定，即解释变量之间不存在完全的线性关系。2．目的：检查模型的异方差性。原理：为了检查异方差性，将样本按解释变量后提成两局部，再运用样本1和样本2分别建立回归模型，并求出各自的残差平方和RSS1和RSS2。假如误差项的离散程度同样〔即为同方差的〕，那么RSS1与RSS2的值应当大体同样；假设两者之间存在明显差异，那么阐明存在异方差性。检查过程中为了“夸张〞残差的差异性，一般先在样本中部去掉C个数据〔一般取C=n/4〕，再运用F记录量判断差异的明显性。评价：G—Q检查合用于检查样本容量较大、异方差性呈递增或递减的状况，并且检查成果与数据剔除个数C的选用有关。作用：反响无法度量的定性原因对经济变量的影响，使模型愈加精确地反响实际。设置原那么：对于一种原因多种类型的虚拟变量：对于有m个不一样属性类型的定性原因，应当设置m-1个虚拟变量来反应当原因的影响。对于多种原因各两种类型的虚拟变量：假如有m个定性原因，且每个原因各有两个不一样的属性类型，那么引入m个虚拟变量。产生原因：〔1〕经济变量的内在联络是产生多重共线性的主线原因。〔2〕经济变量变化趋势的“共向性〞。〔3〕解释变量中具有滞后变量。影响：〔1〕增大OLS估计的方差。〔2〕难以辨别每个解释变量的单独影响。〔3〕T检查的可靠性减少。〔4〕回归模型缺乏稳定性。〔1〕OLS估计失效〔2〕t估计失效〔3〕模型预测误差增大长处：合用范围广、检查以便缺陷：〔1〕有两个盲区〔2〕模型中不能具有滞后变量〔3〕只能检查一阶滞后自有关第六局部课后习题试举出三个模糊集合的例子。模糊性和随机性有哪些异同？我们给定一种三角形，测得三个内角的读数为A=80°、B=55°、C=45°。令I表达“近似等腰三角形〞，R表达“近似直角三角形〞，E表达“近似正三角形〞，它们都是U上的Fuzzy集，其从属函数规定如下：问给定的三角形属于哪一类？设求影响教师教学质量的原因可以取为四个：=清晰易懂，=教材纯熟，=生动有趣，=板书清晰。这样便做出原因集。四种原因的权数分派为〔0.5，0.2，0.2，0.1〕。评价取集为=〔很好，很好，一般，不好〕。对于某个教师，请假设干人〔教师，学生等等〕，单就来说，假设有40%的人说好，50%的人说很好，10%的人说一般，，没有人说不好，那么得有关的单原因决策向量：〔0.4，0.5，0.1，0〕类似地有〔0.6，0.3，0.1，0〕〔0.1，0.2，0.6