2023-2024学年四川省泸州市泸县五中高二（上）开学数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省泸州市泸县五中高二（上）开学数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.设z1=3−4i，zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若α、β是两个不重合的平面，

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α//β；

②设α、β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α⊥β；

③若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l/A.0 B.1 C.2 D.33.一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是(

)A.6，163，5 B.5，5，5 C.5，163，6 D.4，54.已知△ABC中，AB=5，BCA.(π6,π5) B.(5.已知点D为△ABC边BC上的中点，点E满足AE=1A.5 B.7 C.9 D.116.若tanθ=2，则A.23 B.−23 C.47.已知cos(α+β)=23A.−23 B.−13 C.8.在△ABC中，下列命题正确的个数是(

)

①AB−AC=BC；

②AB+BA.1 B.2 C.3 D.4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知向量a=(2,A.若a//b，则m=−4

B.若a⊥b，则m=1

C.10.声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y=AsinωA.函数f(x)图象的一个对称中心为(−π12,0)

B.函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=−π611.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=45°A.若a=3,△ABC有两解

B.若a=3，△ABC有两解

C.若12.在正方体ABCD−A1B1CA.D1P⊥AC1

B.D1P//平面A1BD

C.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为______．14.某圆锥体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为12，则该圆台体积为______．15.已知函数f(x)满足y=f(x+1)16.直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的各个顶点都在一个球的表面上，且四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知向量a=(1(1)(2)求向量a与向量b的夹角θ(3)若|c|=10，且18.(本小题12.0分)

已知f(x)=sinx+3cos(x+π319.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin2C2+csin220.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面为直角梯形，CD//AB，AD⊥AB，且PA=AD=CD=21.(本小题12.0分)

△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为△ABC的内心，记△OBC，△OAC，△OAB的面积分别为S1，S2，S3，已知S12+S32−S1S22.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=x|2a−x|+2x，a∈R．

(1)若a=0，判断函数y=f(x答案和解析1.【答案】D

【解析】解：z1−z2=5−7i复平面内对应的点(2.【答案】C

【解析】①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，由直线与平面、平面与平面平行的判定可得α//β，故①正确；

②设α、β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α与β可能垂直也可能不垂直，故②错误；

③若α外一条直线l与α内的一条直线平行，由直线与平面平行的判定可得l//α，故③正确．

∴以上说法正确的有2个．

故选：C．

由直线与平面、平面与平面平行的判定判断3.【答案】C

【解析】解：由题意可知x+42=4×54，

解得x=6，

所以该组数据的平均值为16×(8+7+6+4+4+1)=54.【答案】C

【解析】解：AB=5，BC=7，CA=9，

则cos∠CAB=AB5.【答案】D

【解析】解：由点D为△ABC边BC上的中点，点E满足AE=13AD，

可得AC=AB+BC=AB+2BD

=AB+2(AD−AB6.【答案】A

【解析】解：∵tanθ=2，则sin27.【答案】C

【解析】解：因为cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=28.【答案】B

【解析】解：①AB−AC=CB≠BC；所以①不正确；

②AB+BC+CA=0；满足向量的运算法则，所以②正确；

③若(AB+AC9.【答案】AB【解析】解：于A，因为a//b，所以2×2=(−1)×m，所以m=−4，A正确；

对于B，因为a⊥b，所以2×m+(−1)×2=0，所以m=1，B正确；

对于C，因为|2a−b|=|10.【答案】AC【解析】解：f(x)=2cos2x+23sinxcosx−1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，

当x=−π12时，2x+π6=11.【答案】AC【解析】解：由A=45°，c=2，过点B作BD⊥AC，垂足为D．

BD=csinA=2×sin45°=2，

由a=3满足2<3<2，∴此时△ABC有两解．

a=3≥2时，△ABC只有一解．

若△ABC为钝角三角形，则12.【答案】AB【解析】解：对于A，连接BD1，D1C，AC1，BC1，AD1，

由正方体的性质可得：B1D1⊥A1C1，CC1⊥平面A1B1C1D1，

B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以B1D1⊥CC1，A1C1⋂CC1=C1，

A1C1，CC1⊂平面ACC1A1，所以B1D1⊥平面ACC1A1，

因为AC1⊂平面ACC1A1，所以B1D1⊥AC1，同理可得AC1⊥B1C，

∵B1D1⋂B1C=B1，∵B1D1，B1C⊂平面B1CD1，∴AC1⊥平面B1CD1

∵D1P⊂平面B1CD1，∴D1P⊥AC1，故A正确；

对于B，连接A1B，A1D，BD，易证：BD//B1D1，A1D//B1C，

因为A1D⊂平面13.【答案】35

【解析】解：理科生人数占的比例为1000−3001000=710，

则应抽取的理科生人数为为50×71014.【答案】78【解析】解：依题意，设小锥体的底面半径为r，小锥体的高为h，则大锥体的底面半径为2r，大锥体的高为2h，

因为大圆锥的体积即为13π(2r)2⋅2h=1，整理得πr2⋅15.【答案】f(x)【解析】解：取f(x)=x，则y=f(x+1)−16.【答案】124π【解析】解：连接BD，∵直四棱柱底面ABCD−A1B1C1D1有外接球，

∴底面四边形ABCD与△ABD有相同的外接圆O1，且∠BAD+∠BCD=π，

∴cos∠BAD=−cos∠BCD，

在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD=AB2+AD2−BD22AB⋅AD，

在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD=BC2+CD2−BD22BC⋅CD，

∴A17.【答案】解：(Ⅰ)因为a=(1,2)，b=(3,−2)，

所以a−b=(−2,4)．

所以|a−b|=(−2)2+42=25．

(Ⅱ)因为a⋅b=1×【解析】(Ⅰ)根据题意，求出a−b的坐标，进而计算可得答案；

(Ⅱ)根据题意，由向量夹角公式计算可得答案；

(Ⅲ)根据题意，由向量垂直的判断方法可得(2a+18.【答案】解：(1)f(x)=sinx+3(12cosx−32si【解析】(1)化简可得f(x)=cos(x+π6)，由此可得值域；19.【答案】解：(1)由bsin2C2+csin2B2

=b(1−cosC)2+c(1−cosB)2

=b+c2−bcosC+ccosB2

=b+c2−a2+b2−c22a+a2+c2【解析】(1)由二倍角公式，余弦定理化简已知等式可得b2+c2−a2=bc，进而可求cosA的值，结合范围20.【答案】(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以CD⊥PA．

又CD//AB，AD⊥AB，所以CD⊥AD．

因为AD∩PA=A，所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AE．

因为PA=AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD．

又CD∩PD=D，所以AE⊥平面PCD．

(2)解：如图，过E作EF//C【解析】(1)由线面垂直的性质定理可得CD⊥PA，由已知可得CD⊥AD，由线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，推出CD⊥AE，由AE⊥21.【答案】解：(1)设△ABC的内切圆半径为r，因为S12+S32−S1S3=S22，

所以(12ar)2+(12cr)2−(12ar)⋅(12cr)=(12br)2，化简得：a2+c2−b2=ac，

所以cosB=a2+c2−b22ac=12，因为B∈(0,π)，所以B=π3，所以A+C=2π3，

因为ACsinB=ABsinC，所以AC=AB⋅sin【解析】(1)由题意，根据△ABC的内切圆的性质可得a2+c2−b2=ac，利用正、余弦定理可得AC=AB⋅sinBsinC=3sinC，结合角C的取值范围即可求解；

(2)选择①22.【答案】解：(1)函数y=f(x)为奇函数．

理由：当a=0时，f(x)=x|x|+2x，

f(−x)=−x|x|−2x=−f(x)，

∴函数y=f(x)为奇函数；

(2)f(x)=x2+(2−2a