陕西省西安市周至县第二中学2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试卷

高二数学试题（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.————C分析：由抛物线标准方程知p＝2，可得抛物线准线方程．解答：抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且2p=4,=1，∴抛物线的准线方程是x＝﹣1．故选C．点拨：本题考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，属于基础题．2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件————A分析：首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.解答：求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.点拨：本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.3.双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（）A. B. C. D.————B分析：根据双曲线方程写出渐近线方程，用点到直线的距离公式计算即可.解答：解：双曲线的渐近线方程为则焦点到渐近线的距离为故选：B.4.若命题：，，则是（）A.， B.，C.， D.，————B分析：根据量词命题的否定判定即可.解答：解：根据量词命题的否定可得：，的否定为，故选：B.5.下列命题中，真命题的个数为（）①若，则；②零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行或垂直；③所有单位向量都相等；④若，则、、三点共线；⑤若点到平面内两个定点的距离之和是一个定值，则点的轨迹为椭圆；A.1 B.2 C.3 D.4————B分析：根据相等向量的定义可判断①；由零向量的定义可判断②；由单位向量的定义可判断③；向量共线且有相同起点可判断④；根据椭圆定义可判断⑤.解答：①相等向量是指大小相等方向相同的两个向量，若，则的方向不一定相同，错误；②零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行或垂直，正确；③所有单位向量模长相等，但是方向不一定相同，错误；④若，且两个向量有共同的起点A，则、、三点共线；⑤在同一平面内，点到两个定点的距离之和是一个定值，并且这个定值大于两个定点之间的距离，则点的轨迹为椭圆，比如定值等于两个定点之间的距离，轨迹为线段，所以错误；故选：B.点拨：本题考查向量的有关概念、椭圆的定义，关键点是熟练掌握向量的有关概念和性质、椭圆的定义，考查了学生对基本概念的理解.6.向量，，若，则实数的值为（）A. B. C. D.————D分析：由向量平行的坐标表示计算．解答：易知不满足题意，即，则有得，解得．故选：D．7.向量，，，则在上的投影为（）A. B. C. D.————A分析：根据数量积的几何意义，在上的投影由求解.解答：因为向量，，所以，所以在上的投影为故选：A8.在正方体中，点为棱的中点，点为棱的中点，若，则（）A. B. C. D.————A分析：利用空间向量的加法运算得到，再由，利用待定系数法求解.解答：如图所示：，，又因为，所以，所以，故选：A9.若命题：，是真命题，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.————B分析】根据命题为真命题，转化为，恒成立求解.解答：因为命题为真命题，即，恒成立，即，恒成立，而，当且仅当，即时取等号，所以，故选：B10.在正方体中，棱长为，点为棱上一点，则的最小值为（）A. B. C. D.————D分析：以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得，结合向量的数量积的运算，即可求解.解答：如图所示，以分别轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，设，所以，则，当时，的最小值为.故选：D.11.已知，，，，若、、、四点共面，则（）A. B. C. D.————D分析：根据、、、四点共面，可得，列出方程组，即可求解.解答：由题意，点，，，，可得，因为、、、四点共面，可得，即，可得，解得.故选：D.12.抛物线上的点到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.————B分析：设是抛物线上任一点，求出点到直线的距离后，由二次函数和绝对值的性质可得．解答：设是抛物线上任一点，则到直线的距离为，易知时，的最大值是，∴．故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为__________．————由题意不妨设,点在第一象限,所以,即点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.14.已知抛物线：的焦点为，是上一点，，则________.————分析：根据焦半径公式可得：，结合抛物线方程求解出的值.解答：由抛物线的焦半径公式可知：，所以，故答案为：.点拨：结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.15.两个顶点的坐标分别是，，边、所在直线的斜率之积等于，则顶点的轨迹方程为_________.————分析：设点将斜率之积用点坐标表示出来，化简即可得到顶点的轨迹方程.解答：解：设点则所以化简得.故答案为：16.已知点、为椭圆：左、右焦点，在中，点为椭圆上一点，则___________.————分析：先根据椭圆方程求出a，b，c，再利用正弦定理将角转化为边，结合椭圆的定义求解.解答：因为椭圆方程为，所以，所以故答案为：2三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）17.已知命题：，，命题：函数单调递增，（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为真命题，求实数取值范围；（3）若命题是假命题，命题是真命题，求实数的取值范围；————（1）；（2）；（3）.分析：（1）由，恒成立，利用判别式法求解.（2）根据函数单调递增，由求解.（3）根据命题是假命题，命题是真命题，则由、一真一假求解.解答：（1）因为命题为真命题，即，恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.（2）若命题为真命题，即函数单调递增，则，解得，所以实数的取值范围是.（3）因为命题是假命题，命题是真命题，所以、一真一假，①若真、假，则，解得；②若假、真，则，解得；综上：18.已知向量，，，，（1）求；（2）求；（3）求；————（1）5；（2）；（3）.分析：（1）利用向量的数量积运算律求解.（2）利用求解.（3）分别求得，，再由求解.解答：（1），（2），，则；（3），，则，又，所以；19.如图，正方体，棱长为，为的中点；（1）求证：；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离；————（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.分析：（1）以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，论证即可.（2）由，得到，再由，利用线面垂直的判定定理证明.（3）求得平面的一个法向量为，设点到平面的距离为，由求解.解答：（1）以为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，，因为，所以，所以.（2），，因为，所以，又因为，且，所以平面；（3），，，，设平面一个法向量为，则，即，设，则，，则，设点到平面的距离为，则；点拨：方法点睛：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可．当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行．其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．20.如图，在三棱锥中，平面，，，，点为棱的中点，点为棱上一点；（1）求直线与的夹角的余弦值；（2）求二面角的余弦值；（3）若直线与平面的夹角的正弦值为，求线段的长度；————（1）；（2）；（3）1.分析：（1）根据，，，以点为原点，以、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，分别求得向量，的坐标，由求解.（2）易知平面的一个法向量为，求得平面的一个法向量为，由求解.（3）设，，，根据直线与平面的夹角的正弦值为，由求解.解答：（1）因为，，，以点为原点，以、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系；则，，，，所以，，则，所以直线与夹角的余弦值是.（2）设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，因为，，则，即，设，则，，则，所以，由图知：二面角是锐角，所以二面角的余弦值为；（3）设，，，则，因为直线与平面的夹角的正弦值为，所以，解得：，所以.点拨：方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC，BD的夹角为β，则cosβ＝.2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．21.已知椭圆：（）的离心率为，焦距为，直线交椭圆于、两点；（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆的左焦点，且倾斜角为，求的面积；（3）若线段的中点为点，求直线的方程；————（1）；（2）；（3）.分析：（1）根据离心率和焦距求解出的值，则椭圆的方程可求；（2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求解出，再求解出到直线的距离，最后根据三角形面积公式求解出的面积；（3）采用点差法结合中点的坐标，求解出的斜率，再根据直线的点斜式方程求解出的方程.解答：（1）由题意可得：，，解得：，，，则椭圆的方程为：（2）左焦点为，直线的斜率为，直线的方程为：，设，，联立，得：，则有，，所以，设点到直线的距离为，则，故；（3）——①，——②，①②得：，又因为，，所以有：，所以直线的方程为，即.点拨：方法点睛：已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线的方程时，可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差，由此可得中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.22.已知椭圆：，点（）（1）证明：点在椭圆上；（2）求点到直线的距离的取值范围；（3）直线过椭圆的右焦点，交椭圆于、两点，求线段长度的取值范围；————（1）证明见解析；（2）；（3）.分析：（1）将点坐标代入椭圆的方程，满足方程则说明点在椭圆上；（2）利用点到直线的距离公式表示出对应距离，同时将距离公式变形为和三角函数有关的形式，根据三角函数的有界性求解出距离最值；（3）分类讨论：直线斜率不存在、直线的斜率存在，利用弦长公式求解出的取值范围.解答：（1）证明：因为，所以点在椭圆上；（2）设点到直线的距离为，则，当时，取最小值为；当时，取最大值为；因此：.