一　空间向量及其线性运算

8一空间向量及其线性运算1.如图,在底面为正方形的平行六面体ABCD-A'B'C'D'的棱中,与向量模相等的向量有 ()A.0个 B.3个 C.7个 D.9个【解析】选C.向量模相等即向量的长度相等.根据平行六面体的性质可知,与向量模相等的向量为,,,,,,,共7个.2.在四面体ABCD中,点F在AD上,且AF=2FD,E为BC的中点,则= ()A.+12-23B.-12-12+23C.12-12+23D.-12+12-23【解析】选B.在四面体ABCD中,点F在AD上,且AF=2FD,E为BC的中点,所以=++=+-+23=-12(+)+23=-12-12+23.3.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且+=+,则四边形ABCD是 ()A.空间四边形 B.平行四边形C.等腰梯形 D.矩形【解析】选B.由已知得=,即,是相等向量,因此,的模相等,方向相同,即四边形ABCD是平行四边形.4.设M是△ABC的重心,记=a,=b,=c,则= ()A.b−c2 BC.b−c3 【解析】选D.设D是BC边的中点(图略).因为M是△ABC的重心,所以=23.又因为=12(+)=12(c-b),所以=13(c-b).5.(多选题)下列命题不正确的是 ()A.长度相等、方向相同的两个向量是相等向量B.平行且模相等的两个向量是相等向量C.若a≠b,则|a|≠|b|D.两个向量相等,则它们的起点与终点相同【解析】选BCD.根据向量的定义,知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量,A正确;平行且模相等的两个向量可能是相等向量,也可能是相反向量,B不正确;当a=-b时,也有|a|=|b|,C不正确;只要模相等、方向相同,两个向量就是相等向量,与向量的起点与终点无关,D不正确.6.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,则下列结论中正确的有 ()A.+与+是一对相反向量B.-与-是一对相反向量C.+++与+++是一对相反向量D.-与-是一对相反向量【解析】选ACD.因为O为正方体的中心,所以=-,=-,故+=-(+),同理可得+=-(+),故+++=-(+++),所以A,C正确;因为-=,-=,所以-与-是两个相等的向量,所以B不正确;因为-=,-==-,所以-=-(-),所以D正确.7.如图所示,在三棱柱ABC-A'B'C'中,与是________向量,与是______向量.(用“相等”“相反”填空)

【解析】由相等向量与相反向量的定义知与是相等向量,与是相反向量.答案:相等相反8.已知A,B,C,D为空间中任意四点,化简(-)-(-)=________.

【解析】方法一(利用相反向量的关系转化为加法运算):(-)-(-)=--+=+++=+++=0.方法二(利用向量的减法运算法则求解):(-)-(-)=(-)+-=+-=-=0.答案:09.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,请化简:++,++,并标出化简结果的向量.【解析】++=+=.因为E,F,G分别为BC,CD,DB的中点,所以=,=.所以++=++=.故所求向量,如图所示.10.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的延长线上一点,且=2,若=x+y+z,求x,y,z的值.【解析】取BC的中点F,连接A1F,则A1D1∥FE,易知A1D1=FE,所以四边形A1D1EF是平行四边形,所以A1FD1E,所以=.又=++=-++12,所以=+12-,所以x=1,y=12,z=-1.11.下列命题中为真命题的是 ()A.向量与的长度相等B.若将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等【解析】选A.对于选项B,它们的终点构成一个球面;对于选项C,零向量不能用有向线段表示;对于选项D,正方体ABCD-A1B1C1D1中,≠,但||=||.12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点.若=a,=c,=b,则下列向量与相等的是 ()A.-12a+12b+c B.12a+1C.-12a-12b+c D.12a-1【解析】选A.因为M是A1C1的中点,所以=-=+-=-+12=-+12=-+12(+)=-12+12=-12a+12b+c.13.在矩形ABCD中,P为平面ABCD外一点,M,N分别为PC,PD上的点,且=2,=,用,和表示出,则=________.

【解析】因为=2,=,所以=23,=12,所以=-=23-12=23(-)-12(-)=23(+-)-12+12=23+16-16.答案:23+16-1614.如图,设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若=12+x+y,则x+y=________.

【解析】=-=12-=12(+)-=12(+-)-=-32+12+12=12+12-32,所以x=12,y=-32,x+y答案:-1【加固训练】如图,在正四面体PABC中,M,N分别为PA,BC的中点,D是线段MN上一点,且ND=2DM,若=x++z,则x+y+z的值为________.

【解析】=+=12+13=12+13=13+16+16,所以x=13,y=z=16,所以x+y+z=23.答案:215.如图,O是△ABC所在平面外一点,M为BC的中点,若=λ与=12+14+14同时成立,求实数λ的值.【解析】连接OM.因为=12+14+14=12+14×2=12+12,所以G为AM的中点,所以=12.又=λ,所以λ=12.16.如图,正