第5节 基本不等式

第5节基本不等式考试要求1.了解基本不等式的证明过程.2.能用基本不等式解决简单的最值问题.3.掌握基本不等式在实际生活中的应用．知识诊断·基础夯实【知识梳理】1.基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.[常用结论]1.ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)≤eq\f(a2＋b2,2).要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式.2.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.【诊断自测】1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)不等式a2＋b2≥2ab与eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(3)函数y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值是4.()(4)“x＞0且y＞0”是“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥2”的充要条件.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的条件是a≥0，b≥0.(2)由于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y＝x＋eq\f(1,x)无最小值.(3)由于sinx＝eq\f(4,sinx)时sinx＝2无解，故sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值不为4.(4)“eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥2”的充要条件是“xy＞0”.2.(必修一P48T5改编)已知x＞0，则2－3x－eq\f(4,x)的最大值是________.答案2－4eq\r(3)解析2－3x－eq\f(4,x)＝2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4,x)))≤2－2eq\r(3x×\f(4,x))＝2－4eq\r(3)，当且仅当3x＝eq\f(4,x)，即x＝eq\f(2\r(3),3)时等号成立.3.(必修一P58T5改编)若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为________.答案9解析由ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，得ab－2eq\r(ab)－3≥0，解得eq\r(ab)≥3(eq\r(ab)≤－1舍去)，即ab≥9.当且仅当a＝b＝3时取等号.4.若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.答案25解析设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为eq\f(1,2)×(20－2x)＝(10－x)(m)，其中0＜x＜10，所以y＝x(10－x)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋（10－x）,2)))eq\s\up12(2)＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，所以ymax＝25，即矩形场地的最大面积是25m2.考点突破·题型剖析考点一利用基本不等式求最值角度1配凑法例1(1)若x＜eq\f(2,3)，则f(x)＝3x＋1＋eq\f(9,3x－2)有()A.最大值0 B.最小值9C.最大值－3 D.最小值－3答案C解析∵x＜eq\f(2,3)，∴3x－2＜0，f(x)＝3x－2＋eq\f(9,3x－2)＋3＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（2－3x）＋\f(9,2－3x)))＋3≤－2eq\r(（2－3x）·\f(9,2－3x))＋3＝－3.当且仅当2－3x＝eq\f(9,2－3x)，即x＝－eq\f(1,3)时取“＝”.(2)已知0＜x＜eq\f(\r(2),2)，则xeq\r(1－2x2)的最大值为________.答案eq\f(\r(2),4)解析∵0＜x＜eq\f(\r(2),2)，∴1－2x2＞0，xeq\r(1－2x2)＝eq\f(\r(2),2)·eq\r(2x2)eq\r(1－2x2)≤eq\f(\r(2),2)·eq\f(2x2＋1－2x2,2)＝eq\f(\r(2),4).当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝eq\f(1,2)时等号成立.(3)(2023·天津模拟)函数y＝eq\f(（x＋5）（x＋2）,x＋1)(x＞－1)的最小值为________.答案9解析因为x＞－1，则x＋1＞0，所以y＝eq\f([（x＋1）＋4][（x＋1）＋1],x＋1)＝eq\f(（x＋1）2＋5（x＋1）＋4,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(4,x＋1)＋5≥2eq\r(（x＋1）·\f(4,x＋1))＋5＝9，当且仅当x＋1＝eq\f(4,x＋1)，即x＝1时等号成立，所以函数的最小值为9.角度2常数代换法例2(1)(2023·石家庄模拟)已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则2x＋4y的最小值为________，eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值为________.答案4eq\f(9,2)解析2x＋4y≥2eq\r(2x＋2y)＝4，当且仅当x＝2y＝1时取等号，所以2x＋4y的最小值是4；因为x＞0，y＞0，所以eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))(x＋2y)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(x,y)))))≥eq\f(9,2)，当且仅当x＝y＝eq\f(2,3)时取等号，所以eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值是eq\f(9,2).(2)(2022·深圳二模)已知0＜x＜1，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,1－x)的最小值是________.答案9解析由0＜x＜1，得1－x＞0.eq\f(1,x)＋eq\f(4,1－x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,1－x)))[x＋(1－x)]＝5＋eq\f(1－x,x)＋eq\f(4x,1－x)≥5＋2eq\r(\f(1－x,x)·\f(4x,1－x))＝9，当且仅当eq\f(1－x,x)＝eq\f(4x,1－x)时取等号，所以eq\f(1,x)＋eq\f(4,1－x)的最小值是9.角度3消元法例3(2023·湖南省级示范校检测)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为________.答案1解析由x2－3xy＋4y2－z＝0得z＝x2－3xy＋4y2，故eq\f(xy,z)＝eq\f(xy,x2－3xy＋4y2)＝eq\f(1,\f(x,y)＋\f(4y,x)－3)≤eq\f(1,2\r(\f(x,y)·\f(4y,x))－3)＝1，当且仅当eq\f(x,y)＝eq\f(4y,x)，即x＝2y时，eq\f(xy,z)取得最大值，此时z＝2y2，则eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)＝eq\f(2,y)－eq\f(1,y2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))eq\s\up12(2)＋1≤1，当y＝1时，等号成立，故当eq\f(xy,z)取得最大值时，eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)－eq\f(2,z)的最大值为1.角度4构建不等式法例4已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.答案6解析由已知得xy＝9－(x＋3y)，因为x>0，y>0，所以x＋3y≥2eq\r(3xy)，所以3xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2)))eq\s\up12(2)，所以eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2)))eq\s\up12(2)≥9－(x＋3y)，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，则x＋3y≤－18(舍去)或x＋3y≥6(当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号)，故x＋3y的最小值为6.感悟提升1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)的最值”的问题，先将eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))·eq\f(x＋y,t)，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.训练1(1)(2023·重庆巴蜀中学模拟)已知正实数a，b满足ab＋2a－2＝0，则4a＋b的最小值是()A.2 B.4eq\r(2)－2C.4eq\r(3)－2 D.6答案B解析由ab＋2a－2＝0知a＝eq\f(2,b＋2)，又a，b为正实数，所以4a＋b＝eq\f(8,b＋2)＋b＝eq\f(8,b＋2)＋(b＋2)－2≥2eq\r(\f(8,b＋2)·（b＋2）)－2＝4eq\r(2)－2，当且仅当a＝eq\f(2,b＋2)，eq\f(8,b＋2)＝b＋2，即a＝eq\f(\r(2),2)，b＝2eq\r(2)－2时取等号，则4a＋b的最小值为4eq\r(2)－2.(2)(多选)(2023·广东六校联考)已知x，y∈(0，＋∞)，设M＝2x＋y，N＝xy，则以下四个命题中正确的是()A.若N＝1，则M有最小值2eq\r(2)B.若M＋N＝6，则N有最大值2C.若M＝1，则0＜N≤eq\f(1,8)D.若M2＝3N＋1，则M有最小值eq\f(8,5)答案ABC解析由题意知，x，y∈(0，＋∞)，M＝2x＋y，N＝xy.对于A，当N＝xy＝1时，M＝2x＋y≥2eq\r(2xy)＝2eq\r(2)，当且仅当2x＝y，即x＝eq\f(\r(2),2)，y＝eq\r(2)时等号成立，所以M的最小值为2eq\r(2)，故A正确；对于B，当M＋N＝2x＋y＋xy＝6时，6＝2x＋y＋xy≥2eq\r(2xy)＋xy，当且仅当2x＝y时等号成立，令t＝eq\r(xy)，则t＞0，且t2＋2eq\r(2)t－6≤0，解得0＜t≤eq\r(2)，即0＜eq\r(xy)≤eq\r(2)，解得0＜xy≤2，所以0＜N≤2，故B正确；对于C，当M＝2x＋y＝1时，1＝2x＋y≥2eq\r(2xy)，当且仅当2x＝y时等号成立，所以0＜eq\r(xy)≤eq\f(\r(2),4)，得0＜xy≤eq\f(1,8)，所以0＜N≤eq\f(1,8)，故C正确；对于D，当(2x＋y)2＝3xy＋1时，得(2x＋y)2＝eq\f(3,2)·2xy＋1≤eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋y,2)))eq\s\up12(2)＋1，当且仅当2x＝y时等号成立，即M2≤eq\f(3,2)×eq\f(M2,4)＋1，整理得M2≤eq\f(8,5)，解得0＜M≤eq\f(2\r(10),5)，故D错误.(3)(2023·江西九校联考)若正实数a，b满足a＋b＝1，则eq\f(b,3a)＋eq\f(3,b)的最小值为________.答案5解析因为a＋b＝1，所以eq\f(b,3a)＋eq\f(3,b)＝eq\f(b,3a)＋eq\f(3（a＋b）,b)＝eq\f(b,3a)＋eq\f(3a,b)＋3，因为a＞0，b＞0，所以eq\f(b,3a)＋eq\f(3a,b)＋3≥2eq\r(\f(b,3a)·\f(3a,b))＋3＝5，当且仅当eq\f(b,3a)＝eq\f(3a,b)，即a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)时等号成立，即eq\f(b,3a)＋eq\f(3,b)的最小值为5.考点二利用基本不等式求参数或范围例5(1)(2022·威海期末)关于x的不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，则实数a的取值范围为________.答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，＋∞))解析不等式ax2－|x|＋2a≥0的解集是R，即对于∀x∈R，ax2－|x|＋2a≥0恒成立，即a≥eq\f(|x|,x2＋2).当x＝0时，a≥0；当x≠0时，a≥eq\f(|x|,x2＋2)＝eq\f(1,|x|＋\f(2,|x|))，因为eq\f(1,|x|＋\f(2,|x|))≤eq\f(1,2\r(|x|·\f(2,|x|)))＝eq\f(\r(2),4)，当且仅当|x|＝eq\r(2)时取“＝”，所以a≥eq\f(\r(2),4).综上所述a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，＋∞)).(2)已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________.答案4解析已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，只需求(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))的最小值大于或等于9，∵(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq\f(y,x)＋eq\f(ax,y)≥a＋2eq\r(a)＋1＝(eq\r(a)＋1)2，当且仅当y＝eq\r(a)x时，等号成立，∴(eq\r(a)＋1)2≥9，∴a≥4，即正实数a的最小值为4.感悟提升1.对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值；2.利用基本不等式确定等号成立的条件，也可得到参数的值或范围.训练2(1)当x＞a时，2x＋eq\f(8,x－a)的最小值为10，则a＝()A.1 B.eq\r(2)C.2eq\r(2) D.4答案A解析2x＋eq\f(8,x－a)＝2(x－a)＋eq\f(8,x－a)＋2a≥2eq\r(2（x－a）×\f(8,x－a))＋2a＝8＋2a，即8＋2a＝10，故a＝1.(2)(2023·南通质检)若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式eq\f(4,x＋1)＋eq\f(1,y)＜m2＋eq\f(3,2)m有解，则实数m的取值范围是________.答案(－∞，－3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析因为正实数x，y满足x＋y＝1，则(x＋1)＋y＝2，所以eq\f(4,x＋1)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,2)[(x＋1)＋y]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x＋1)＋\f(1,y)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(4y,x＋1)＋\f(x＋1,y)))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4y,x＋1)·\f(x＋1,y))))＝eq\f(9,2)，当且仅当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝2y，,x＋y＝1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝\f(2,3)))时，等号成立，所以eq\f(4,x＋1)＋eq\f(1,y)的最小值为eq\f(9,2).因为不等式eq\f(4,x＋1)＋eq\f(1,y)＜m2＋eq\f(3,2)m有解，则m2＋eq\f(3,2)m＞eq\f(9,2)，即2m2＋3m－9＞0，即(2m－3)(m＋3)＞0，解得m＜－3或m＞eq\f(3,2).考点三利用基本不等式解决实际问题例6为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为▱AMBN一组相对的顶点，当▱AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6 B.12C.18 D.24答案D解析设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cosA＝eq\f(x2＋y2－62,2xy)＝eq\f(（x＋y）2－36,2xy)－1＝eq\f(32,xy)－1≥eq\f(32,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))\s\up12(2))－1＝eq\f(32,25)－1＝eq\f(7,25)，当且仅当x＝y＝5时等号成立，此时(cosA)min＝eq\f(7,25)，所以(sinA)max＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,25)))\s\up12(2))＝eq\f(24,25)，所以四边形AMBN的最大面积为2×eq\f(1,2)×5×5×eq\f(24,25)＝24(平方米)，此时四边形AMBN是边长为5米的菱形.感悟提升利用基本不等式解决实际应用问题的思路(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.答案20解析该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买eq\f(400,x)次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(400,x)·4＋4x))万元，eq\f(400,x)·4＋4x≥160，当且仅当eq\f(1600,x)＝4x，即x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.若a＞0，b＞0，则eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2)).其中eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))和eq\r(\f(a2＋b2,2))分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数.要根据题目需要选择合适的形式.一、利用不等式链求最值例1(多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则()A.eq\r(ab)有最大值eq\f(1,2) B.eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(1,2a＋b)有最小值3C.a2＋b2有最小值eq\f(1,2) D.eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)答案ACD解析对于A，由基本不等式可得eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立，A正确；对于B，由eq\f(2,\f(1,a＋2b)＋\f(1,2a＋b))≤eq\f(（a＋2b）＋（2a＋b）,2)＝eq\f(3（a＋b）,2)＝eq\f(3,2)，得eq\f(1,a＋2b)＋eq\f(1,2a＋b)≥eq\f(4,3)，当且仅当a＋2b＝2a＋b，即a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立，B错误；对于C，由eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)＝eq\f(1,2)，得a2＋b2≥eq\f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立，C正确；对于D，由eq\f(\r(a)＋\r(b),2)≤eq\r(\f(a＋b,2))＝eq\r(\f(1,2))，得eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立，D正确.二、利用基本不等式链证明不等式例2已知a，b，c都是非负实数，求证：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c).证明∵eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2).即eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，同理，eq\r(b2＋c2)≥eq\f(\r(2),2)(b＋c)，eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)(c＋a)，相加可得eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)＋eq\f(\r(2),2)(b＋c)＋eq\f(\r(2),2)(c＋a)＝eq\r(2)(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时等号成立.训练当－eq\f(1,2)＜x＜eq\f(5,2)时，函数y＝eq\r(2x－1)＋eq\r(5－2x)的最大值为________.答案2eq\r(2)解析由eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，得a＋b≤2eq\r(\f(a2＋b2,2))，则y＝eq\r(2x－1)＋eq\r(5－2x)≤2eq\r(\f(2x－1＋5－2x,2))＝2eq\r(2)，当且仅当eq\r(2x－1)＝eq\r(5－2x)，即x＝eq\f(3,2)时等号成立.分层精练·巩固提升【A级基础巩固】1.下列函数中最小值为2的是()A.y＝x＋eq\f(2,x) B.y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))C.y＝ex＋e－x D.y＝log3x＋logx3(0＜x＜1)答案C解析当x＜0时，y＝x＋eq\f(2,x)＜0，故A错误；y＝eq\f(x2＋3,\r(x2＋2))＝eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))≥2，当且仅当eq\r(x2＋2)＝eq\f(1,\r(x2＋2))，即x2＝－1时取等号，∵x2≠－1，故B错误；y＝ex＋e－x≥2eq\r(ex·e－x)＝2，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0，1)时，y1＝log3x＜0，y2＝logx3＜0，故D错误.2.已知正数a，b满足a2＋b2＝13，则aeq\r(b2＋3)的最大值为()A.6 B.8C.4 D.16答案B解析∵a2＋b2＝13，∴aeq\r(b2＋3)≤eq\f(a2＋b2＋3,2)＝eq\f(13＋3,2)＝8，当且仅当a＝eq\r(b2＋3)时等号成立，∴aeq\r(b2＋3)的最大值为8.3.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为()A.eq\f(1,4) B.4C.eq\f(1,2) D.2答案D解析由题意得4＝2a＋b≥2eq\r(2ab)，即2≥eq\r(2ab)，两边平方得4≥2ab，∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，∴ab的最大值为2.4.(2023·苏州模拟)若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(（a＋b）2,x＋y)，当且仅当eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)时取等号.利用以上结论，函数f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))取得最小值时x的值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(1,3)答案A解析f(x)＝eq\f(2,x)＋eq\f(9,1－2x)＝eq\f(4,2x)＋eq\f(9,1－2x)≥eq\f(（2＋3）2,2x＋1－2x)＝25，当且仅当eq\f(2,2x)＝eq\f(3,1－2x)，即x＝eq\f(1,5)时等号成立.5.(2023·绍兴质检)已知x＞0，y＞0，满足x2＋2xy－2＝0，则2x＋y的最小值是()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\r(6)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\r(3)答案B解析由x2＋2xy－2＝0，可得y＝eq\f(2－x2,2x)，因为x＞0，y＞0，可得eq\f(2－x2,2x)＞0，解得0＜x＜eq\r(2)，则2x＋y＝2x＋eq\f(2－x2,2x)＝eq\f(3x2＋2,2x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(2,x)))≥eq\f(1,2)×2eq\r(3x·\f(2,x))＝eq\r(6)，当且仅当3x＝eq\f(2,x)，即x＝eq\f(\r(6),3)时，等号成立，所以2x＋y的最小值为eq\r(6).6.(2023·河南百校大联考)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则下列不等式正确的是()A.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤4 B.eq\f(1,\r(a))＋eq\f(1,\r(b))≥2eq\r(2)C.a2＋b2≥1 D.ab2＋a2b≥eq\f(1,4)答案B解析由题意，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥4，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立，A错误；eq\f(1,\r(a))＋eq\f(1,\r(b))≥2eq\r(\f(1,\r(ab)))≥2·eq\r(\f(1,\f(a＋b,2)))＝2eq\r(2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立，B正确；eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立，则a2＋b2≥eq\f(1,2)，C错误；ab2＋a2b＝ab(a＋b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)·(a＋b)＝eq\f(1,4)，D错误.7.已知正实数m，n满足eq\f(1,m＋2n)＋eq\f(1,2m＋n)＝1，则m＋n的最小值为()A.eq\f(4,3) B.eq\f(1,2)C.1 D.2答案A解析正实数m，n满足eq\f(1,m＋2n)＋eq\f(1,2m＋n)＝1，故eq\f(3（m＋n）,（m＋2n）（2m＋n）)＝1，即3(m＋n)＝(m＋2n)(2m＋n)＝[(m＋n)＋n]·[(m＋n)＋m]，所以3(m＋n)＝2(m＋n)2＋mn≤2(m＋n)2＋eq\f(（m＋n）2,4)，即3(m＋n)≤eq\f(9（m＋n）2,4)，故m＋n≥eq\f(4,3)，当且仅当m＝n时取等号.8.(2023·辽宁名校联盟联考)若a＞0，b＞0且2ab＝2a＋b＋3，则2a＋b的最小值为________.答案6解析∵2ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋b,2)))eq\s\up12(2)(当且仅当2a＝b时取等号)，∴2a＋b＋3≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a＋b,2)))eq\s\up12(2)，设x＝2a＋b，x＞0，则x＋3≤eq\f(x2,4)，解得x≤－2(舍)或x≥6，即2a＋b≥6，∴(2a＋b)min＝6.9.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元.答案8解析每台机器运转x年的年平均利润为eq\f(y,x)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(18－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))))万元，由于x＞0，故eq\f(y,x)≤18－2eq\r(25)＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元.10.(2023·扬州调研)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则eq\f(x＋2y＋3,xy)的最小值为________.答案9＋4eq\r(5)解析由题意可知，eq\f(x＋2y＋3,xy)＝eq\f(x＋2y＋3x＋3y,xy)＝eq\f(4x＋5y,xy)＝eq\f(4,y)＋eq\f(5,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,y)＋\f(5,x)))(x＋y)＝4＋5＋eq\f(4x,y)＋eq\f(5y,x)≥9＋2eq\r(\f(4x,y)·\f(5y,x))＝9＋4eq\r(5)，当且仅当eq\f(4x,y)＝eq\f(5y,x)，即x＝5－2eq\r(5)，y＝2eq\r(5)－4时取等号，故eq\f(x＋2y＋3,xy)的最小值为9＋4eq\r(5).11.(1)当x＞1时，求2x＋eq\f(8,x－1)的最小值；(2)当x＞1时，求eq\f(x2＋8,x－1)的最小值.解(1)2x＋eq\f(8,x－1)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－1）＋\f(4,x－1)))＋2，∵x＞1，∴x－1＞0，∴2x＋eq\f(8,x－1)≥2×2eq\r(4)＋2＝10，当且仅当x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3时，2x＋eq\f(8,x－1)取得最小值10.(2)令y＝eq\f(x2＋8,x－1)＝eq\f(（x－1）2＋2（x－1）＋9,x－1)＝(x－1)＋eq\f(9,x－1)＋2.因为x－1＞0，所以y≥2eq\r(（x－1）·\f(9,x－1))＋2＝8，当且仅当x－1＝eq\f(9,x－1)，即x＝4时，y取最小值为8.12.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值.解(1)∵xy＝2x＋8y≥2eq\r(2x·8y)，即xy≥8eq\r(xy)，即xy≥64，当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立，∴xy的最小值为64.(2)由2x＋8y＝xy，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，则x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.当且仅当eq\f(2x,y)＝eq\f(8y,x)，即x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.【B级能力提升】13.(2023·重庆调研)已知正实数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意的实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.[3，＋∞) B.(－∞，3]C.(－∞，6] D.[6，＋∞)答案D解析因为a＞0，b＞0，eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝10＋eq\f(b,a)＋eq\f(9a,b)≥10＋2eq\r(\f(b,a)·\f(9a,b))＝16，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(9a,b)，即a＝4，b＝12时取等号.由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意的x恒成立，又x2－4x－2＝(x－2)2－6≥－6，所以－6≥－m，即m≥6.14.(多选)(2022·肇庆二模)已知x2＋y2＝1，且xy≠0，则()A.|x＋y|≤eq