二十一　两条平行直线间的距离

4二十一两条平行直线间的距离1.两直线l1:x-2y-10=0,l2:2x-4y+310=0之间的距离为()A.522 B.3 C.5 D.【解析】选A.因为直线l1:x-2y-10=0,l2:2x-4y+310=0,所以k1=12,k2=24=12,两直线为平行直线,直线l1:x-2y-10=0⇔l1:2x-4y-210=0,两平行直线之间的距离为d=|2.两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0间的距离为d,则a,d分别为 ()A.a=6,d=63 B.a=-6,d=C.a=-6,d=53 D.a=6,d=【解析】选D.根据两条平行直线2x-y+3=0和ax-3y+4=0,可得a2=-3-1≠43,解得a=6,所以两条平行直线变为6x-3y+9=0和6x-3y+4=0,所以它们之间的距离d3.若两平行直线分别经过点A(5,0),B(0,12),则这两条直线之间的距离d满足的条件是 ()A.0<d≤5 B.0<d≤13C.0<d<12 D.5≤d≤12【解析】选B.当两平行直线与直线AB垂直时,两平行直线间的距离最大,且|AB|=13,所以0<d≤13.4.若两平行直线x+2y+m=0(m>0)与x-ny-3=0之间的距离是5,则m+n= ()A.0 B.1 C.-1 D.-2【解析】选A.由直线x+2y+m=0(m>0)与x-ny-3=0平行可得-n=2即n=-2,又因为直线x+2y+m=0(m>0)与x+2y-3=0的距离为5,所以|m+3|12+22=5,解得m5.(多选题)两平行直线l1:ax+4y=0,l2:3x+4y+m=0,若两直线之间的距离为1,则m的值可以为 ()A.-25 B.-5 C.5 D.25【解析】选BC.根据两平行直线之间的距离公式,得到|m|25=1,解得6.(多选题)与直线2x+y-1=0平行,且距离等于55的直线方程有 (A.2x+y=0 B.2x+y-2=0C.2x-y=0 D.2x+y+2=0【解析】选AB.设所求直线方程为2x+y+c=0(c≠-1).由题意,知两平行直线间的距离为d=|c+1|5=55,解得c=0或c=-2,所以所求直线的方程为2x+y=0或27.分别过点A(-2,1)和点B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是__________.

【解析】两条直线方程为x=-2和x=3,从而两条平行线间的距离为|3-(-2)|=5.答案:58.已知直线l1:ax-y-1=0,直线l2:x+y-3=0.若直线l1的倾斜角为π4,则a=__________;若l1∥l2,则l1,l2之间的距离为__________【解析】因为直线l1的倾斜角为π4,所以它的斜率为1,即a=1.若l1∥l2,则a=-1,即直线l1的方程为-x-y-1=0,它可化为x+y+1=0,所以l1,l2之间的距离d=|1-(-3)|答案:1229.已知直线l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.(1)若点P在直线l1上,且到直线l2的距离为35,求点P的坐标;(2)若l2∥l3,求l2与l3的距离.【解析】(1)依题意可设P(t,t),由|2t+t-3|5=35,得|t(2)由l2∥l3得a=-4,所以l2:2x+y-3=0,l3:-4x-2y+4=0,即2x+y-2=0.所以l2与l3的距离d=|-3-(-210.已知直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2,且l1与l2之间的距离为5,求l1,l2的方程.【解析】当直线l1,l2斜率存在时,设直线l1,l2的斜率为k,由斜截式得l1的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,由点斜式得l2的方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0,在直线l1上取一点A(0,1),则点A到直线l2的距离d=|1+5k|1+k2=5,所以25k2+10k+1=25k所以l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0.若直线l1,l2的斜率不存在,则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,它们之间的距离为5,同样满足条件.综上可知,满足条件的直线方程有两组,即l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0或l1:x=0,l2:x=5.11.P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为()A.95 B.185 C.2910 【解析】选C.因为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0平行,所以|PQ|的最小值即为两平行直线间的距离,即|PQ|min=|52+12|12.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为 ()A.32 B.23C.33 D.42【解析】选A.由题意知,直线l1与l2平行,所以点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上,设该直线的方程为x+y+c=0(c≠-7且c≠-5),则|c+7|2=|c+5|2,即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上,所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线13.已知直线l与两直线l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0的距离相等,则l的方程是__________.

【解析】设l的方程为2x-y+m=0(m≠3且m≠-1),由题意知|m-3|5=|m+1|5,解得答案:2x-y+1=014.已知直线l1:2x-y+a=0,l2:4x-2y-1=0,若直线l1,l2的距离等于7510,且直线l1不经过第四象限,则a=【解析】由直线l1,l2的方程可知,直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0,a),依题意得,l1与l2之间的距离为|-2a-1|42+(-2)2=7510,整理得|2a+1答案:315.已知正方形的中心为直线x-y+1=0和2x+y+2=0的交点,正方形一边所在直线方程为x+3y-2=0,求其他三边所在直线的方程.【解析】由x-y所以中心坐标为(-1,0).所以中心到已知边的距离为|-1-2设正方形相邻两边方程为x+3y+m=0和3x-y+n=0.因为正方形中心到各边距离相等,所以|-1+m|10=310所以m=4或m=-2(舍去),n=6或n=0.所以其他三边所在直线的方程为x+3y+4=0,3x-y=0,3x-y+6=0.16.设两条平行直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0.已知a,b是方程x2+x+c=