第19讲 双曲线中的最值问题题型总结（解析版）

第19讲双曲线中的最值问题题型总结【题型目录】题型一：利用焦半径范围求最值题型二：利用渐近线与双曲线位置关系求范围题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值【典型例题】题型一：利用焦半径范围求最值【例1】（2022·全国·高二）若P是双曲线C：上一点，C的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（

）A． B．渐近线方程为C．的最小值是2 D．焦点到渐近线的距离是【答案】BCD【分析】由焦点坐标可求得值，由双曲线方程可得渐近线方程，根据双曲线的性质可得双曲线上的点到焦点距离的最小值，由点到直线距离公式求得焦点到渐近线的距离判断各选项．【详解】依题意可知，所以A答案错误；双曲线的方程为，所以渐近线的方程为，，渐近线方程为，焦点到渐近线的距离是，故选：BCD．【例2】（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意得，所以，再根据双曲线性质得的范围，则，再利用二次函数求值域即可.【详解】因为动点在双曲线的右支上，由双曲线定义可得：，所以，因为，，所以，，所以，将代入得：.故选：B．【例3】（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（

）A．6 B．9 C．12 D．14【答案】B【分析】根据双曲线方程及其定义，求得的范围，再求得最大值即可.【详解】因为双曲线方程为，故，则其焦点为，根据题意，作图如下：则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；则，故可得，故的最大值为：.故选：B.【题型专练】1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知点P是双曲线（a>0，b>0）的渐近线上一点，F是双曲线的右焦点，若|PF|的最小值为2a，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】结合双曲线的概念和性质求双曲线的离心率.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，|PF|的最小值即为焦点到渐近线的距离，故，即，∴，.故选：D2．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）双曲线的一条渐近线方程为，，分别为该双曲线的左右焦点，为双曲线上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求最小值，则要尽可能小，要尽可能大,所以在双曲线的右支上,则，所以，消元转化为对勾函数求最值【详解】若求最小值，则要尽可能小，要尽可能大所以在双曲线的右支上渐近线又因为

所以由双曲线定义，当在双曲线的右支上，当且仅当，即时取等号因为右支上的顶点到最小，最小为所以不到等号，当时，取最小值最小值为：故选：B3．（2022·重庆·三模）已知双曲线：的左右焦点为，，左右顶点为，，过的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，设，，当直线绕着转动时，下列量保持不变的是（

）A．的周长 B．的周长与之差C． D．【答案】BD【解析】【分析】如图所示：当直线的倾斜角越小时，点的周长越大，可判断A，根据双曲线定义求解可判断B，设，则根据商与积的值可判断CD．【详解】如图所示：当直线的倾斜角越小时，点的周长越大，故A不正确；的周长为所以的周长与之差为，故B正确；设，则，由不是常量，故C不正确；由为常量，故D正确；故选：BD题型二：渐近线与双曲线位置关系求范围【例1】（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是___________.【答案】【分析】曲线上存在点满足，等价于与以A、B为焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解．【详解】若，，且，则点在以A、B为焦点的双曲线的右支上，且，，∴，，∴双曲线方程为，其渐近线方程为，则曲线上存在点满足，等价于与双曲线相交，∴．故答案为：．【题型专练】1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知，点满足方程，且有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义，得到点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，进而求得双曲线的渐近线方程，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，点且满足，根据双曲线的定义，可得点的轨迹表示以为焦点的双曲线的右支，其中，可得，则，可得双曲线的渐近线方程为，又因为点满足方程，即，结合双曲线的几何性质，可得，即的取值范围是.故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）已知点，，若曲线上存在点P满足，则下列正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知可判断点P在双曲线上，将已知转化为曲线与双曲线相交，利用直线与渐近线的位置关系可得解.【详解】点，，且，故点P在双曲线的下支上.所以双曲线的方程为，其渐近线方程为，又点P在曲线上，即点P在曲线上，即曲线与双曲线相交，，即故选：D题型三：利用双曲线线定义转化为三点共线问题求最值【例1】（2022·天津·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的最小值为9，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由题意可知，根据双曲线的对称性画出图形，由双曲线的定义可知，当且仅当点，，三点共线时，等号成立，从而得到的最小值为，求出的值，得到双曲线的离心率．【详解】解：根据双曲线的对称性，仅作一条渐近线，因为双曲线，，由双曲线的定义可知，，，当且仅当点，，三点共线时，等号成立，渐近线方程为，即，且，此时，的最小值为，，，所以离心率，故选：A．【例2】（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线的左、有焦点分别为，，实轴长为4，离心率，点Q为双曲线右支上的一点，点．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意求得a,b,c,即可得双曲线的方程，结合双曲线的定义确定当取最小值时Q点的位置，利用方程组求得Q点坐标，再利用两点间的距离公式求得答案.【详解】由题意可得，又，故，所以，则双曲线方程为，结合双曲线定义可得，如图示，连接,交双曲线右支于点M，即当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，此时直线方程为，联立，解得点Q的坐标为,(Q为双曲线右支上的一点)，故，故选：B【例3】（2022·全国·高二专题练习）已知，分别是双曲线：的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为______．【答案】【分析】求出双曲线的焦点坐标，应用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线时取得最值，即可得到的最小值.【详解】双曲线中，，，，，圆半径为，，，(当且仅当共线且在之间时取等号)，，当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号．的最小值是7．故答案为：7.【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知点在双曲线的右支上，，动点满足，是双曲线的右焦点，则的最大值为___________.【答案】##【分析】由题意可知的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，利用双曲线定义将转化为，结合图形，利用几何性质可求得答案.【详解】动点满足，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆,设双曲线的左焦点为，由题知，则，当且仅当，，三点共线时，等号成立，所以的最大值为，故答案为：【例5】（2022·全国·高二课时练习）设P是双曲线上一点，M､N分别是两圆和上的点，则的最大值为（

）A．6 B．9 C．12 D．14【答案】B【分析】根据双曲线方程及其定义，求得的范围，再求得最大值即可.【详解】因为双曲线方程为，故，则其焦点为，根据题意，作图如下：则，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；，当且仅当三点共线，且在之间时取得等号；则，故可得，故的最大值为：.故选：B.【例6】（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理））已知双曲线的离心率为，其左，右焦点分别为，过且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，P为双曲线右支上一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由离心率及的长先求出双曲线方程，把转化为，然后求出可得结论．【详解】把代入得，所以，又，，所以，，，，所以，当且仅当三点共线时等号成立，，所以的最小值为．故选：C．【例7】（2021·广东·佛山一中高二阶段练习）设是双曲线的右支上的点，则的最小值为（

）A． B． C． D．5【答案】C【分析】代数式可化为，表示点到点的距离与点到点的距离之差，根据双曲线定义可得，即可求解．【详解】代数式可化为，表示点到点的距离与点到点的距离之差，又双曲线的左右焦点分别为，，，根据双曲线定义可得，，是双曲线的右支上的点，则,当且仅当共线时取等号，，故选：．【题型专练】1．（2022·安徽蚌埠·三模（理））双曲线：的离心率为，点是的下焦点，若点为上支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】由离心率可得，即知渐近线为，若上焦点为，结合双曲线定义，将问题转化为求最小，若应用数形结合思想判断的位置关系求最值.【详解】由题设，，可得，则双曲线渐近线方程为，若上焦点为，则，故，所以，如下图示：，所以，要使最小，只需共线，即一条渐近线，而到渐近线的距离为，故.故选：B2．（2022·全国·高二专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为______．【答案】22【分析】由双曲线的定义可得，，据此，再由两点的位置特征可得是双曲线的通径时，最小，从而可得答案.【详解】根据双曲线，得，，由双曲线的定义可得：①，②，①+②可得：，由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点，可得，即有．则，当是双曲线的通径时最小，故.故答案为：223．（2022·河南·南阳中学三模（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为___________.【答案】8【分析】根据双曲线的渐近线方程及双曲线的定义，再利用三点共线取得最小值，结合圆外一点到圆上的最小距离及两点间的距离公式即可求解.【详解】由双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得.所以，双曲线的左焦点坐标，右焦点坐标为，由双曲线的定义，知，即，由圆可得圆心，半径为，，问题转化为求点到圆上的最小值，即，所以.所以的最小值为.故答案为：.4．（2022·陕西宝鸡·二模（理））已知F是双曲线的右焦点，P是C的左支上一点，.当周长最小时，该三角形的面积为___________.【答案】##1.5【分析】为左焦点，利用双曲线定义得到周长为，判断其最小时的位置关系及△的形状，进而求出△的面积.【详解】若为左焦点，则，而，，则，由周长为，当且仅当三点共线时周长最小，此时，所以，此时△为腰长为2的等腰直角三角形，令，则，故，而，在△中，可得，故三角形的面积为.故答案为：5．（2022·湖北·高三阶段练习）已知双曲线：，F是双曲线C的右焦点，点A是双曲线C的左支上的一点，点B为圆D：上一点，则的最小值为_____.【答案】##【分析】结合双曲线的定义、点和圆的位置关系求得的最小值.【详解】双曲线：，，设是双曲线的左焦点，圆的圆心为，半径为.根据双曲线的定义有，由于是圆的一点，为定点，所以当共线时，最小，即最小值为，所以的最小值为.故答案为：6．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为､，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为___________.【答案】##【分析】利用双曲线定义可将转化为，结合三角形三边关系可确定最小值为三点共线时的取值，由此可计算得到结果.【详解】由双曲线方程知：，，，则，，由双曲线定义知：，（当且仅当在线段上时取等号），又，.故答案为：.7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值10时，面积的最大值为___________【答案】##12.5【分析】利用双曲线定义可得到，将的最小值变为的最小值问题，再结合基本不等式，利用三角形面积之间的关系即，可求得答案.【详解】由题意得，故，如图示：到渐近线的距离,则，当且仅当，，三点共线时取等号，∴的最小值为，∴，即，当且仅当时，等号成立，又，故，∴，即面积的最大值为,故答案为：8．（2022·全国·高二专题练习）已知双曲线：，，是其左右焦点.圆：，点为双曲线右支上的动点，点为圆上的动点，则的最小值是________.【答案】##【分析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.【详解】由题设知，，，，圆的半径由点为双曲线右支上的动点知∴∴.故答案为：9．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（

）A． B．8 C． D．9【答案】B【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，结合两点间线段最短进行