第21讲 抛物线的焦点弦中点弦问题（原卷版）

第21讲抛物线的焦点弦中点弦问题【知识点梳理】图1-3-1图1-3-2重要结论1．． 2．．3．． 4．设，则．5．设交准线于点，则；．证明1．，同理．2．．3．设到的距离为，则，故．4．，．5．，，，．关于抛物线的焦长公式及定理（为直线与抛物线右交点，为左交点，为倾斜角）1．；． 2．．3．． 4．设，则；．5．设交准线于点，．[总结：抛物线焦点在x轴的时候的，焦长为，，焦长为，记忆方法参考椭圆模块；当焦点在y轴上的时候cos换成sin]【题型目录】题型一：抛物线焦点弦焦半径题型二：抛物线焦点弦面积问题题型三：抛物线中点弦问题【典型例题】题型一：抛物线焦点弦焦半径【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（

）A．6 B．8 C．2 D．4【例2】（2022·新疆·新和县实验中学高二期末（文））过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于点A，B，若若直线l的斜率为k，则k=（

）A． B． C．或 D．或【例3】（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（理））已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例4】（2022·陕西省安康中学高三阶段练习（文））过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则的值为（

）A． B．2 C． D．【例5】（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点，分别为在上的射影，则下列结论正确的是（

）A．若直线的倾斜角为，则B．若，则直线的斜率为C．若为坐标原点，则三点共线D．【例6】（2022·全国·高二课时练习）已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则______．【例7】（2022·福建·福州三中高二期末）已知抛物线的焦点F，过F分别作直线与C交于A，B两点，作直线与C交于D，E两点，若直线与的斜率的平方和为1，则的最小值为_________【例8】（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知抛物线上一点到焦点的距离为4.(1)求实数的值；(2)若直线过的焦点，与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.【题型专练】1.（2022·全国·高考真题（文））设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（

）A．2 B． C．3 D．2.（2022·河南·模拟预测（文））设抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，若轴，且，则（

）A．或 B．或 C．或 D．3.（2022·云南玉溪·高二期末）直线与抛物线交于，两点，则（

）A． B． C． D．4.（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若，则以下结论不正确的是（

）A． B．F为的中点C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．8 C．12 D．6．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（

）A．C的准线为 B．直线AB与C相切C． D．题型二：有关三角形面积问题【例1】（2023·全国·高三专题练习）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（

）A． B． C． D．【例2】（2022·广东揭阳·高二期末）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为___．【例3】（2022·江西宜春·模拟预测（文））已知斜率为的直线过抛物线：的焦点且与抛物线相交于两点，过分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为2，则的值为（

）A． B． C． D．【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为（

）A．32 B．16 C．24 D．8【例5】（2022·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中（理））已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.(1)求该抛物线的方程；(2)为坐标原点，求的面积.【题型专练】1.（2022·四川省成都市新都一中高二期末（文））经过抛物线C：的焦点F的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若（其中O为坐标原点），则直线l的斜率为______．2.（2022·全国·高二专题练习）设为拋物线：的焦点，其准线与轴的交点为过点且倾斜角为的直线交拋物线于两点，则的面积为______.3.（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（文））已知点为抛物线：的焦点，过且倾斜角为的直线与交于点，，则（为坐标原点）的面积为___________.4．（2022·四川甘孜·高二期末（文））抛物线​的焦点为​，直线​与抛物线分别交于​两点（点​在第一象限），则​的值等于________.5．（2022四川·高三学业考试）已知抛物线过点.(1)求抛物线的标准方程；(2)设抛物线的焦点为，坐标原点为.过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，求的面积.题型三：抛物线中点弦问题【例1】（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若点是线段AB的中点，则直线的斜率为（

）A．4 B．2 C．1 D．【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为，则点F到直线l的距离为（

）A． B． C． D．【例3】（2022·山西吕梁·二模（文））已知点F为抛物线的焦点，过F的直线l与C交于A、B两点．若中点的纵坐标为2，则(

)A．6 B．7 C．9 D．10【例4】（2022·浙江·慈溪中学高三开学考试多选题）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点，的准线与轴交于点，为坐标原点，则（

）A．线段长度的最小值为4B．若线段中点的横坐标为，则直线的斜率为C．D．【例5】（2021·安徽·高二阶段练习）已知抛物线上有3点A，B，C，且直线AB，BC，AC的斜率分别为，2，3，则的重心的纵坐标为______．【题型专练】1.（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．3 C． D．－32.（2022·全国·三模）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（

）A． B．C． D．3．（2022·陕西陕西·二模（理））已知抛物线的焦点为F，过点F作直线l与抛物线分别交于A，B两点，若第一象限内的点为线段的中点，则的长度为（

）A．12 B．18 C．16 D．84．（2022·福建·三模）已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于A，两点，线段中点的纵坐标为，则（

）A． B．4 C．8 D．245．（2022·全国·高二课时练习）过点作抛物线的弦，若弦恰好被点平分，则弦所在直线的方程为______．6．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB的中点为，则线段AB的长度为_______．7．（2