初三数学年旋转相似讲义

专题：旋转相似模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。条件：CD∥AB（本质即为△OCD∽△OAB），将△OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。结论：=1\*GB2⑴、△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。=2\*GB2⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B四点共圆）模型特例：共直角顶点的直角三角形相似当∠AOB=∠COD=90°时，除=1\*GB2⑴、△OCD∽△OAB△OAC∽△OBD=2\*GB2⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形图证明）外，还有结论=3\*GB2⑶、=4\*GB2⑷、因为AC⊥BD于点E，那么，若连AD、BC，则四边形ABCD对角线互相垂直，则例2.如图１，已知在正方形ABCD和正方形BEFG中，求证：AG＝CE；求的值分析：如图2，证，∴AG=CE如图2，连接BD，BF，DF，易证，，∴∴∴变式：如图3，正方形ABCD和EFGH中，O为BC，EF中点(1)求证：AH=DG;(2)求的值。分析：(1)连接易证：AEDBC例3.如图，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AEAEDBC分析：连接BE，由基本图形易得可证△ACD∽△BCE，AD＝EQ\F(eq\r(,3),3)BE，∠BAE＝90°在Rt△ABE作，由勾股定理求得BE＝10AEDBC则AD＝EQ\F(10eq\r(,3),3)AEDBC练习1.如图，点A是△DBC内一点，求BD得长。分析：构造旋转相似，由基本图形可得出以下几种方法，求出BD=10.练习2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，F、G分别为AC、BC的中点，将△CFG绕点C顺时针旋转，直线AF与直线BG交于点I.(1)求证：AF⊥BG；(2)当旋转角小于90°时，求的值；(3)若AC＝4，直接写出△ACI面积的最大值___________.分析：（3）需分析出I点轨迹，由A、C、I、B四点共圆可得∠AIC=∠ABC，又AC=4，定边定角得I轨迹为圆弧。练习3．将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置，∠A＝90°，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4．将△ADE绕点A逆时针旋转（旋转角不超过180°），BD的延长线交直线CE于点P．（1）如图2，BD与CE的数量关系是___________，位置关系是___________；（2）在旋转的过程中，当AD⊥BD时，求CP的长；（3）当点D落在BA的延长线上时，求点P所经过的路径的长．AAEDBCAEBC图1图2DADADBCEP（1）BD＝CEBD⊥CE（2）∵BD⊥CE，AD⊥BD，∴∠ADP＝∠DPE＝90°又∠DAE＝90°，AD＝AE，∴四边形ADPE为正方形∵AB＝2AD＝4，∴PE＝AD＝2∴CE＝BD＝eq\r(,AB2－AD2)＝2eq\r(,3)∴CP＝2eq\r(,3)－2（3）取BC中点O，连接OA、OP∵在旋转过程中，BD⊥CE，∴∠BPC＝90°AEBCDOP∴OP＝EQ\F(1,2)BC＝2eq\r(,2)AEBCDOP∴点P的运动路径是以O为圆心、半径为2eq\r(,2)的一段圆弧即△ABC外接圆的一部分则∠AOP＝2∠ABP易知点D在以A为圆心、半径为2的半圆上运动当BP与半圆A相切于点D时，∠ABP最大，从而∠AOP最大∵AD＝EQ\F(1,2)AB，∴∠ABP＝30°，∴∠AOP＝60°即当△ADE从初始位置旋转60°时，点P沿圆弧从A点运