一类具有杨辉三角分布性质的矩阵行列式计算

一类具有杨辉三角分布性质的矩阵行列式计算

1范德蒙矩阵行列式计算方法如范德蒙矩阵行列式计算方法如范德蒙矩阵在线性代数中，我们接触到了不同类别的矩阵，并总结了计算典型矩阵行列的方法（如矩阵范德蒙矩阵）。本文主要分析一类具有杨辉三角分布性质与范德蒙矩阵排列规律的特殊矩阵,通过计算矩阵行列式,我们可以更加深刻地了解线性变换及空间的意义。2杨辉矩阵及行列式变换我们将对诸如下列形式的矩阵进行分析:((1λ11λ212λ1⋯1⋮⋮⋮λn-11(n-1)λn-21⋯Cm1-1n-1λn-m1+11m1)⋯(1λk1λ2k2λk⋯1⋮⋮⋮λn-1k(n-1)λn-2k⋯Cnk-1n-1λn-mk+1kmk))λ1,λ2,⋯,λk⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1λ1λ21⋮λn−1112λ1⋮(n−1)λn−21⋯⋯1⋮Cm1−1n−1λn−m1+11m1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⋯⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1λkλ2k⋮λn−1k12λk⋮(n−1)λn−2k⋯⋯1⋮Cnk−1n−1λn−mk+1kmk⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟λ1,λ2,⋯,λk互不相等,且n=k∑i=1mi.n=∑i=1kmi.注意通过观察可知,该类矩阵由k个矩阵块组合而成,每个矩阵块至上而下遵从范德蒙矩阵排列规律;并且矩阵元素的系数满足杨辉三角分布性质。因此,我们先对矩阵块的性质进行分析。定义1定义n行m列(n>m)矩阵(1λ1λ22λ⋯λ33λ21⋮⋮⋮λn-1C1n-1λn-2⋯Cm-1n-1λn-m)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1λλ2λ3⋮λn−112λ3λ2⋮C1n−1λn−2⋯⋯1⋮Cm−1n−1λn−m⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟为参数为λ的杨辉矩阵,记为B(λ,n,m)。观察知,杨辉矩阵元素排列与杨辉三角分布类似,具有以下特点:(1)第1列由上至下依次为1,λ,…,λn-1;i行i列元素都为1,k行s列(k>s,k=1,2,…,n)元素均为0;(2)第i行j列(i,j=1,2,…,n)元素系数为第i-1行j列元素系数与第i-1行j-1列元素系数之和;(3)λ次数随所在矩阵行数从上到下依次递增。定义2定义经历如下步骤的初等行列式变换为参数为λ的范德蒙行列式变换。对于一个n×m的矩阵(n≥m)(1)将第n-1行的-λ倍加至第n行(记为ln→-λln-1+ln),依次进行ln-1→-λln-2+ln-1…,l1→-λl2+l1共n-1次初等变换;(2)将第n-1行的-λ倍加至第n行(记为ln→-λln-1+ln),依次进行ln-1→-λln-2+ln-1…,l2→-λl3+l2共n-2次初等变换;…(n-1)将等n-1行的-λ倍加至第n行,共1次初等变换。显然范德蒙行列式变换由n-1轮,共n(n-1)2n(n−1)2次初等变换构成。结合定义1、定义2,我们对杨辉矩阵块进行行列式初等变换,从而可以找到其具体的行列式特征。引理1对∀非负整数k,n,m(n>m)矩阵C=(λkC1kλk-1⋯Cmkλk-mλk+1C1k+1λk⋯Cmk+1λk+1-m⋮⋮⋮λk+nC1k+nλk+n-1⋯Ckk+nλk+n-m)(n+1)×(m+1)C=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜λkλk+1⋮λk+nC1kλk−1C1k+1λk⋮C1k+nλk+n−1⋯⋯⋯Cmkλk−mCmk+1λk+1−m⋮Ckk+nλk+n−m⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟(n+1)×(m+1)经过行列式列初等变换可以化简为:(1λ1λ22λ⋯λ33λ21⋮⋮⋮λnC1nλn-1⋯Cmnλn-m)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1λλ2λ3⋮λn12λ3λ2⋮C1nλn−1⋯⋯1⋮Cmnλn−m⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟的形式,且提出因子为λk×(m+1).证明按照行列式变换办法,从矩阵每一列提出λr的因子,使其第1行全化为整数;做初等变换r2-C1kr1,r3-C2kr1,…,rm+1Cmkr1,ri为矩阵列标号,使矩阵第1行除首元为1外均为零;则矩阵变换为(1λλ⋯Cm-1kλ⋮⋮⋮λnC1nλn⋯(Cmk+n-Cmk)λn)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜1λ⋮λnλ⋮C1nλn⋯⋯Cm−1kλ⋮(Cmk+n−Cmk)λn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟.同理,不断重复上述操作至矩阵c变换为m行×前m列部分为对角线为1的下三角形,即C⇒(1λ22λ⋯λ33λ21⋮⋮⋮λnC1nλn-1⋯Cmnλn-m)C⇒⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜1λ2λ3⋮λn2λ3λ2⋮C1nλn−1⋯⋯1⋮Cmnλn−m⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,故此得证。注意杨辉矩阵B(λ,n,m)非方阵不存在行列式,但可类似引理1的办法对其进行变换。引理2对杨辉矩阵B(λ,n,m)进行参数为λ′的范德蒙行列式变换,最终可以得到杨辉矩阵B(λ-λ′,n,m);特别地,当λ′=λ时,可以得到杨辉矩阵B(0,n,m)。证明由范德蒙行列式变换的定义可知。显然,讨论特殊矩阵是由k个n行mi(i=1,2,…,k)列(k∑i=1mi=n)(∑i=1kmi=n)参数分别为λi的杨辉矩阵横向组成的方阵,不妨将其定义为杨辉方阵。那么B=(B(λ1,n,m1),B(λ2,n,m2),…,B(λk,n,mk))。证明首先对杨辉方阵进行参数为λ1的范德蒙行列式变换,得到如下矩阵B1:((Em1×m10)(1(λ2-λ1)1(λ2-λ1)22(λ2-λ1)⋯1⋮⋮⋮(λ2-λ1)n-1(n-1)(λ2-λ1)n-2⋯Cm2-1n-1(λ2-λ1)n-m2+1Μ2)⋯(1(λk-λ1)1(λk-λ1)22(λk