利用三维向量混合积定义构造va-bcd

利用三维向量混合积定义构造va-bcd

1用n+1阶行列式构造如果设置1，设置xi1和xi2。。。当xin是一个真理时，它被记录为n维列向量i=（xi1，xi2，…，xin）t（i.1，2，…，n.1）。定义2用n+1阶行列式构造如下函数:θn+1(α1,α2,⋯,αn+1)=1n!|11⋯1x11x21⋯xn+1,1x12x22⋯xn+1,2⋯⋯⋯⋯x1nx2n⋯xn+1,n|简记=1n!|11⋯1α1α2⋯αn+1|(其中记号||表示行列式).1sabcd1,2,3,3,3,3,3定理1设x轴上有二个不同的点A(x11),B(x21),记一维向量α1=(x11),α2=(x21),则函数的绝对值等于A、B两点间的距离,即|θ2(α1,α2)|=dAB.证明略定理2设xy坐标面内有不在同一直线上的三点A(x11,x12)、B(x21,x22)、C(x31,x32),记二维列向量αi=(xi1,xi2)T,(i=1,2,3),则|θ3(α1,α2,α3)|=SΔABC(△ABC的面积).证明由三角形面积公式知SΔABC=12|→AB×→AC|=12|x21-x11x22-x12x31-x11x32-x12|=|12|111x11x21x31x12x22x32||=|θ3(α1,α2,α3)|.定理3设有不在同一平面内的四点A(x11,x12,x13)、B(x21,x22,x23)、C(x31,x32,x33)、D(x41,x42,x43),记三维列向量αi=(xi1,xi2,xi3)T(i=1,2,3,4),则|θ4(α1,α2,α3,α4)|=VA-BCD(三棱锥A-BCD的体积).证明利用三维向量混合积定义及立体几何知识可得VA-BCD=|16[→AB×→AC×→AD]|=|13!|x21-x11x31-x11x41-x11x22-x12x32-x12x42-x12x23-x13x33-x13x43-x13||=|13!|1111x11x21x31x41x12x22x32x42x13x23x33x43||=|θ4(α1,α2,α3,α4)|.2极大线性无关组12,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,性质1θn+1(α1,α2,…,αn+1)≠0的充分必要条件是:向量组α1,α2,…,αn+1的秩为n,且用极大线性无关组线性表示另一向量时所有系数之和不等于1.定理4设α1,α2,…,αn+1为n维向量,记αi=(xi1,xi2,…,xin)T,(i=1,2,…,n+1),则θn+1(α1,α2,…,αn+1)≠0的充分必要条件是:向量组α1,α2,…,αn+1的秩为n,且用极大线性无关组线性表示另一向量时所有系数之和不等于1.证明充分性:不妨设α1,α2,…,αn是向量组α1,α2,…,αn+1的极大线性无关组,且αn+1=k1α1+k2α2+…+knαn,其中nΣi=1ki≠1,则θn+1(α1,α2,…,αn+1)简记=1n!|11⋯1α1α2⋯αn+1|=1n!|11⋯1-nΣi=1kiα1α2⋯0|=1n!(-1)n+2(1-nΣi=1ki)|α1,α2,⋯,αn|≠0.必要性(反证法):设(1)向量组α1,α2,…,αn+1的秩不等于n;(2)向量组α1,α2,…,αn+1的秩等于n,但用极大线性无关组线性表示另一向量时所有系数之和等于1,即nΣi=1ki=1.下证(1)情形,设向量组的秩为r≤n-1,不妨设α1,α2,…,αr是向量组α1,α2,…,αn+1的极大线性无关组,则存在一系列系数,使αi=ki1α1+ki2α2+…+kirαr(i=r+1,r+2,…,n+1),故θn+1(α1,α2,…,αn+1)简记=1n!|11⋯1α1α2⋯αn+1|=1n!|1⋯11-nΣj=1kr+1,jα1⋯αr0|=0(行列式按最后一列展开后至少有一列元素全为零).对于(2)情形,类同充分性的证明可得θn+1(α1,α2,…,αn+1)=0.上面二种情形得出的结论均与θn+1(α1,α2,…,αn+1)≠0矛盾,故假设错误,说明向量组α1,α2,…,αn+1的秩为n,且用极大线性无关组线性表示另一向量时所有系数之和不等于1.证毕.性质2一系列函数值之间的连锁关系式.引理交换任意两个向量的位置,则函数值变号,即θn+1(α1,…,αi,…,αj,…,αn+1)=-θn+1(α1,…,αj,…,αi,…,αn+1).定理5设α1,α2,…,αn+1,β都是n维向量,则(1)当n为偶数时,θn+1(α1,α2,…,αn,β)+θn+1(α2,…,αn,αn+1,β)+θn+1(α3,…,αn+1,α1,β)+…+θn+1(αn+1,α1,…,αn-1,β)=θn+1(α1,α2,…,αn,αn+1);(2)当n为奇数时,θn+1(α1,α2,…,αn,β)-θn+1(α2,…,αn,αn+1,β)+θn+1(α3,…,αn+1,α1,β)-θn+1(α4,…,αn+1,α1,α2,β)+…-θn+1(αn+1,α1,…,αn-1,β)=θn+1(α1,α2,…,αn,αn+1).证明(1)当n为偶数时,只要证明θn+1(α2,…,αn,αn+1,β)+θn+1(α3,…,αn+1,α1,β)+…+θn+1(αn+1,α1,…,αn-1,β)=θn+1(α1,α2,…,αn,αn+1)-θn+1(α1,α2,…,αn,β)(*)(*)式右边=1n!|11⋯11α1α2⋯αnαn+1|-1n!|11⋯11α1α2⋯αnβ|=1n!|11⋯10α1α2⋯αnαn+1-β|=1n!|100⋯00α1α2-α1α3-α2⋯αn-αn-1αn+1β|=1n!|α2-α1α3-α2⋯αn-αn-1αn+1-β|(按第一行展开后所得n阶行列式的简记).(*)式的左边用数学归纳法化简:1)前二项之和S2=θn+1(α2,…,αn,αn+1,β)+θn+1(α3,…,αn+1,α1,β)引理=θn+1(α2,α3,⋯,αn+1,β)+(-1)n-1θn+1(α1,α3,⋯,αn+1,β)=θn+1(α2,α3,⋯,αn+1,β)-θn+1(α1,α3,⋯,αn+1,β)=1n!|11⋯111α2α3⋯αnαn+1β|-1n!|11⋯111α1α3⋯αnαn+1β|=1n!|01⋯111α2-α1α3⋯αnαn+1β|;2)设(*)式的左边前2k项之和S2k=1n!|00⋯01⋯11α2-α1α3-α2⋯α2k-α2k-1α2k+1⋯αn+1β|成立,下证前2(k+1)项之和为S2(k+1)=1n!|00⋯01⋯11α2-α1α3-α2⋯α2(k+1)-α2k+1α2k+3⋯αn+1β|.事实上S2k+2=S2k+θn+1(α2k+2,…,αn+1,α1,…,α2k,β)+θn+1(α2k+3,…,αn+1,α1,…,α2k+1,β)引理=S2k+(-1)(n-2k)2kθn+1(α1,⋯,α2k,α2k+2,⋯,αn+1,β)+(-1)(n-2k-1)(2k+1)θn+1(α1,⋯,α2k+1,α2k+3,⋯,αn+1,β)=S2k+θn+1(α1,⋯,α2k,α2k+2,⋯,αn+1,β)-θn+1(α1,⋯,α2k+1,α2k+3,⋯,αn+1,β)=S2k+1n!|1⋯11⋯11α1⋯α2kα2k+2⋯αn+1β|-1n!|1⋯11⋯11α1⋯α2k+1α2k+3⋯αn+1β|=S2k+1n!|1⋯101⋯11α1⋯α2kα2k+2-α2k+1α2k+3⋯αn+1β|=1n!|00⋯011⋯11α2-α1α3-α2⋯α2k-α2k-1α2k+1α2k+2⋯αn+1β|+1n!|00⋯0101⋯11α1-α2α2-α3⋯α2k-1-α2kα2kα2k+2-α2k+1α2k+3⋯αn+1β|=1n!|00⋯010⋯11α2-α1α3-α2⋯α2k-α2k-1α2k+1α2k+2-α2k+1⋯αn+1β|-1n!|00⋯010⋯11α2-α1α3-α2⋯α2k-α2k-1α2kα2k+2-α2k+1⋯αn+1β|=1n!|00⋯000⋯11α2-α1α3-α2⋯α2k-α2k