类循环矩阵n阶y-z-u类循环矩阵行列式的计算方法

类循环矩阵n阶y-z-u类循环矩阵行列式的计算方法

1可逆矩阵及相关定理循环矩阵是一个重要的特殊矩阵，在许多领域都得到了广泛应用。在文献的基础上，本文讨论了更广泛的类似于循环矩阵的类循环矩阵行列式的计算公式。定义1设a1,a2,…,an为n个复数,如果矩阵A=(aij)n×n满足aij={aj+1-i(j≥i)an+j+1-i(j<i)(i,j=1,2,⋯,n),则称矩阵A为n阶循环矩阵.引理1设A是以a1,a2,…,an为元素的n阶循环矩阵,则矩阵A的行列式|A|=f(ω1)f(ω2)…f(ωn),其中f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,ωni=1(i=1,2,…,n).定义2设a1,a2,…,an为n个复数,如果矩阵A=(aij)n×n满足aij={aj+1-i(j≥i)Yan+j+1-i(j<i)(i,j=1,2,⋯,n),其中Y为确定的非零复数,那么称矩阵A为n阶Y-类循环矩阵,简记为[a1,a2,…,an]Y.注当Y=1时,就是n阶循环矩阵A;当y=-1,就是通常的反循环矩阵.定理1设A=[a1,a2,…,an]Y为n阶Y-类循环矩阵,则矩阵A的行列式|A|=f(ω1)f(ω2)…f(ωn),其中f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1,ωni=Y(i=1,2,…,n).推论1设n阶Y-类循环矩阵A=[a1,a2,…,an]Y,则A可逆的充分与必要条件是f(x)=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1与xn-Y互素,即(f(x),xn-Y)=1.定义3设a1,a2,…,an为n个复数,如果矩阵A=(aij)n×n满足aij={aj+1-i(j>i)Ya1(j=1)Yan+j+1-i(j<i)(i,j=1,2,⋯,n),其中Y是任意确定的非零复数,称矩阵A为n阶Y-Y-类循环矩阵,简记为[a1,a2,…,an]Y-Y(注:当Y=1时就是n阶循环矩阵A).定理2设n阶Y-Y-类循环矩阵A=[a1,a2,…,an]Y-Y,则矩阵A的行列式|A|=n∏i=1f(ωi),其中f(x)=Ya1+a2x+…+anxn-1,ωni=Y(i=1,2,…,n).推论2设n阶Y-Y-类循环矩阵A=[a1,a2,…,an]Y-Y,则A可逆的充要条件是f(x)=Ya1+a2x+…+anxn-1与xn-Y互素,即(f(x),xn-Y)=1.定义4设a1,a2,…,an为n个复数,如果矩阵A=(aij)n×n满足aij={aj+1-i(j>i)Ya1(j=1)Ζan+j+1-i(j<i)(i,j=1,2,⋯,n),其中Y,Z是两个确定的复数且Z≠0,则称矩阵A为n阶Y-Z-类循环矩阵,简记为[a1,a2,…,an]Y-Z(注:当Y=Z时矩阵A为n阶Y-Y-类循环矩阵;Y=Z=1就是n阶循环矩阵A).定理3设n阶Y-Z-类循环矩阵A=[a1,a2,…,an]Y-Z,则矩阵A的行列式|A|=n∏i=1f(ωi),其中f(x)=Ya1+a2x+…+anxn-1,ωni=Z(i=1,2,…,n).推论3设n阶Y-Z-类循环矩阵A=[a1,a2,…,an]Y-Z,则A可逆的充要条件是f(x)=Ya1+a2x+…+anxn-1与xn-Z互素,即(f(x),xn-Z)=1.2an-1xn-2a3an定义5设a1,a2,…,an为n个复数,如果矩阵A=(aij)n×n满足aij={aj+1-iYa1ΖanUan+j+1-i(j>i)(j=1)(j+1=i)(i-j>1)(i=1,2,⋯,n),其中Y,Z,U是3个确定的复数且U≠0,则称矩阵A为n阶Y-Z-U-类循环矩阵,简记为A=[a1,a2,…,an]Y-Z-U(注:当Z=U时,矩阵A为n阶Y-Z-类循环矩阵;Y=Z=U矩阵A为n阶Y-Y-类循环矩阵;特别当Y=Z=U=1时就是n阶循环矩阵).定理4设n阶Y-Z-U-类循环矩阵A=[a1,a2,…,an]Y-Z-U,则矩阵A行列式|A|=n∏i=1f(ωi){1+(U-Ζ)ann∏i=1ω-1in∑t=1[(-1)t+1f(ωt)(∏1≤s(≠t)≤nω2s)(∏1≤e<t≤n1ωt-ωe)(∏1≤t<f≤n1ωf-ωt)]},其中f(x)=Ya1+a2x+a3x2+…+an-1xn-2+(Z/U)anxn-1,ωni=U(i=1,2,…,n).证明设f(x)=Ya1+a2x+a3x2+…+an-1xn-2+(Z/U)anxn-1,令Vn=(111⋯11ω1ω2ω3⋯ωn-1ωnω21ω22ω23⋯ω2n-1ω2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮ωn-11ωn-12ωn-13⋯ωn-1n-1ωn-1n),且ωni=U(i=1,2,…,n),所以|AVn|=|(Ya1a2a3⋯an-2an-1anΖa1Ya1a2⋯an-3an-2an-1Uan-1ΖanYa1⋯an-4an-3an-2⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮Ua2Ua3Ua4⋯Uan-1ΖanYa1)⋅(111⋯111ω1ω2ω3⋯ωn-2ωn-1ωnω21ω22ω23⋯ω2n-2ω2n-1ω2n⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮ωn-11ωn-12ωn-13⋯ωn-1n-2ωn-1n-1ωn-1n)|=|f(ω1)+(1-Ζ/U)anωn-11f(ω2)+(1-Ζ/U)anωn-12⋯f(ωn)+(1-Ζ/U)anωn-1nω1f(ω1)ω2f(ω2)⋯ωnf(ωn)⋮⋮⋮⋮ωn-11f(ω1)ωn-12f(ω2)⋯ωn-1nf(ωn)|=|f(ω1)f(ω2)⋯f(ωn)ω1f(ω1)ω2f(ω2)⋯ωnf(ωn)⋮⋮⋮⋮ωn-11f(ω1)ωn-12f(ω2)⋯ωn-1nf(ωn)|+(1-ΖU)an|ωn-11ωn-12⋯ωn-1nω1f(ω1)ω2f(ω2)⋯ωnf(ωn)⋮⋮⋮⋮ωn-11f(ω1)ωn-12f(ω2)⋯ωn-1nf(ωn)|=n∏i=1f(ωi)∏1≤i<j≤n(ωj-ωi)+(1-ΖU)an⋅U⋅n∏i=11ωi|11⋯1ω21f(ω1)ω22f(ω2)⋯ω2nf(ωn)⋮⋮⋮⋮ωn1f(ω1)ωn2f(ω2)⋯ωnnf(ωn)|=n∏i=1f(ωi)∏1≤i<j≤n(ωj-ωi)+(U-Ζ)an⋅n∏i=1f(ωi)ωi|1/f(ω1)1/f(ω2)⋯1/f(ωn)ω21ω22⋯ω2n⋮⋮⋮⋮ωn1ωn2⋯ωnn|=n∏i=1f(ωi)∏1≤i<j≤n(ωj-ωi)+(U-Ζ)ann∏i=1f(ωi)ωin∑t=1[(-1)t+1f(ωt)(∏1≤s(≠t)≤nω2s)(∏1≤e<f≤n(e,f≠t)(ωf-ωe))].又由于|Vn|=∏1≤i<j≤n(ωj-ωi)≠0,所以|A|=n∏i=1f(ωi)+(U-Ζ)ann∏i=1f(ωi)ωin∑t=1[(-1)t+1f(ωt)(∏1≤s(≠t)≤nω2s)×(∏1≤e<t≤n1ωt-ωe)⋅(∑1≤t<f≤n1ωf-ωt)]=n∏i=1f(ωi){1+(U-Ζ)ann∏i=1ω-1in∑t=1[(-1)t+1f(ωt)(∏1≤s(≠t)≤nω2s)(∏1≤e<t≤n1ωt-ωe)⋅(∏1≤t<f≤n1ωf-ωt)]}.3矩阵a+2a2en,3a/4-3a/3a的n-in,n-1en,n-in,n-in,n-1en,n-in,n-2en,n-1en,n-2e,n,n-2en,n-2,n-2,n-2,n-2,n-2,n-2,n-3,2,n-2,n-3,2,n-2,3en,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n,n例1已知矩阵A=[0,a,a,a,…,a]Y=b/a,求矩阵A的行列式值|A|=|0aa⋯ab0a⋯abb0⋯a⋮⋮⋮⋮⋮bbb⋯0|.解设f(x)=a(x+x2+…+xn-1),经过变形化简得f(x)=a(xn-x)/(x-1),且ωin=b/a(i=1,2,…,n),所以f(ωi)=a(ωin-ωi)ωi-1=a(b/a-ωi)ωi-1.由定理2知|A|=∏i=1nf(ωi)=∏i=1na(b/a-ωi)ωi-1=[(-1)nan∏i=1n(ωi-ba)]/∏i=1n(ωi-1)=(-1)nan[ω1ω2⋯ωn+(-b/a)n](-1)n×(-b/a)+(-1)n=(-1)nan[(-1)n×(-b/a)+(-b/a)n](-1)n(1-b/a)=(-1)n-1ab(an-1-bn-1)/(a-b).例2已知矩阵A=[1,2,…,n]2-3-3,求矩阵A的行列式|A|=|2234⋯n-1n3n223⋯n-2n-13(n-1)3n22⋯n-3n-2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9121518⋯22691215⋯3n2|.解设f(x)=2+2x+3x2+…+nxn-1,经过变形化简得f(x)-1=[(n+1)(x-1)xn-xn+1+1]/(x-1)2,所以f(ωi)-1=[3(n+1)(ωi-1)-3ωi+1]/(ωi-1)2.令ωin=3(i=1,2,…,n),即f(ωi)=(ωi+3n/2-1+2+9n2/4)(ωi+3n/2-1-2+9n2/4)/(ωi-1)2(i=1,2,⋯,n).由定理4知|A|=∏i=1nf(ωi)=∏i=1n(ωi+32n-1+2+94n2)∏i=1n(ωi+32n-1-2+94n2)/∏i=1n(ωi-1)2=[(-1)n×(-3)+(3n/2-1+1+9n2/4)n][(-1)n×(-3)+(3n/2-1-1+9n2/4)