《回归分析的基本思想及其初步应用》

回归分析的基本思想

及其初步应用主讲：胡波回归分析的定义

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。对两个具有线性相关关系的变量的研究方法1画散点图2求回归直线方程3用回归直线方程解决应用问题求回归直线方程的步骤:例题1从某大学中随机选出8名女大学生，其身高和体重数据如下表：求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量1散点图；

2回归方程：探究？

吗？如果不是，其原因是什么答：，。

即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的值。2如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱？

在《数学必修3》中，我们学习了用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的方法。相关系数r>0正相关；r<0负相关．通常，r>075，认为两个变量有很强的相关性

本例中，由上面公式r=0798>075-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关无线性相关完全正相关负相关程度增加r正相关程度增加相关关系的测度

（相关系数取值及其意义）3线性回归模型：

y=bae，

其中a和b为模型的未知参数，e是y与b为随机变量，称为随机误差，它的均值Ee=0，方差De=2>0线性回归模型完整表达式：线性回归模型y=bae增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量和随机误差项e共同确定，即自变量只能解析部分y的变化。在统计中，我们也把自变量称为解析变量，因变量y称为预报变量。思考:产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的忽略了其它因素的影响：影响体重y的因素不只是身高，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；的观测误差。

以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。 在线性回归模型中，e是用ba预报真实值y的随机误差，它是一个不可观测的量，那么应该怎样研究随机误差呢？探究例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应残差为：

61－0849×165－85712=6627思考 如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率。R2越接近1，表示回归的效果越好因为R2越接近1，表示解释变量和预报变量的线性相关性越强。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。例1中，R2≈064，表明“女大学生的身高解释了64%的体重变化”，或者说“女大学生的体重差异有64%是由身高引起的”。用身高预报体重时，需要注意下列问题：1回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2我们所建立的回归方程一般都有时间性；3样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。小结用身高预报体重时，需要注意下列问题：1回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2我们所建立的回归方程一般都有时间性；3样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。小结——这些问题也适用于其他问题。一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：1确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。一般地，建立回归模型的基本步骤为：1确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。2画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系如是否存在线性关系等。一般地，建立回归模型的基本步骤为：1确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。2画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系如是否存在线性关系等。3由经验确定回归方程的类型如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=ba一般地，建立回归模型的基本步骤为：1确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。2画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系如是否存在线性关系等。3由经验确定回归方程的类型如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=ba4按一定规则估计回归方程中的参数如最小二乘法。一般地，建立回归模型的基本步骤为：1确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。2画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系如是否存在线性关系等。3由经验确定回归方程的类型如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y=ba5得出结果后分析残差图是否有异常个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等，过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。4按一定规则估计回归方程中的参数如最小二乘法。1线性回归模型；2变量间新的关系；3刻画回归效果的方式；4残差图知识归纳探究（五）：非线性回归方程【背景资料】一只红铃虫的产卵数y和温度有关，现收集了7组观测数据如下表：325115662421117产卵数y/个35322927252321温度x/ºC思考1：作这组样本数据的散点图，变量,y是否呈线性相关关系？呈非线性相关关系思考2：从散点图来看，可认为这些样本点大致分布在一条指数函数曲线的周围，那么这个指数函数的解析式可设为哪种形式？思考2：从散点图来看，可认为这些样本点大致分布在一条指数函数曲线的周围，那么这个指数函数的解析式可设为哪种形式？思考3：如何将函数转化为一次线性函数？两边取自然对数，可将函数变换为=b＋a的形式思考4：变换后的样本数据如下表：5.7844.7454.1903.1783.0452.3981.946z35322927252321x作这组样本数据的散点图，变量，是否呈线性相关关系？=-3849思考5：由计算可得这组样本数据的线性回归方程为＝－3849，退回原变量，红铃虫的产卵数y对温度非线

性回归方程是什么？=-3849思考6：对原样本数据的散点图，也可认为这些样本点大致分布在一条二次函数曲线的周围，那么这个二次函数的解析式可设为哪种形式？思考6：对原样本数据的散点图，也可认为这些样本点大致分布在一条二次函数曲线的周围，那么这个二次函数的解析式可设为哪种形式？思考6：对原样本数据的散点图，也可认为这些样本点大致分布在一条二次函数曲线的周围，那么这个二次函数的解析式可设为哪种形式？思考7：如何将函数y=c32c4转化为一次线性函数？令t＝2，可将函数变换为y＝c3t＋c4思考8：变换后的样本数据如下表：325115662421117y12251024841729625529441t作这组样本数据的散点图，变量，y是否呈线性相关关系？这组样本数据不具有线性相关关系，即不宜用二次曲线y=c32c4来拟合y和之间的关系思考9：由上述样本数据也可以得到y关于t的线性回归方程＝－202543，退回原变量，红铃虫的产卵数

y对温度非线性回归方程是什么？＝－20254377.968-58.265-40.101-41-5.83219.447.69634.675-13.3819.23-8.951.875-0.1010.557325115662421117y35322927252321x思考10：我们可以通过残差来比较指数回归方程和二次回归方程的拟合程度，计算得两个模型的残差如下表：指数模型残差的绝对值小，其拟合效果比二次模型好比较这些残差的大小可以说明什么问题？思考11：计算得，指数模型的残差平方和为＝1550538，相关指数R2＝098，二次模型的残差平方和为

＝15448431，相关指数R2＝08，这些数据说明什么问题？指数模型的拟合效果比二次模型好思考12：一般地，对于给定的样本点1,y1,2,y2，

…，n,yn，两个含有未知参数的模型和

,如何比较它们的拟合效果？思考12：一般地，对于给定的样本点1,y1,2,y2，

…，n,yn，两个含有未知参数的模型和

,如何比较它们的拟合效果？建立对应于两个模型的回归方程→计算两个回归方程的残差平方和→比较残差平方和的大小残差平方和小所对应的回归方程的拟合效果好理论迁移【例】1993年到2002年中国的国内生产总值GDP的数据单位：亿元如下：104790.6200274462.6199797314.8200167884.6199689468.1200058478.1199582067.5199946759.4199478345.2199834634.41993GDP年份GDP年份1作GDP和年份的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么？2建立年份为解释变量GDP为预报变量的回归模型，并计算残差3根据你得到的模型，预报2003年的GDP，看看你的预报与实际的GDP1172519亿元的误差是多少？4你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗？请说明理由GDP与年份近似地呈线性关系GDP与年份近似地呈线性关系－993.79120024638.0551997－1277.62220015252.0241996－1932.35320003037.4931995－2140.9841999－1489.23819941328.6851998－6422.2691993残差年份残差年份－993.79120024638.0551997－1277.62220015252.0241996－1932.35320003037.4931995－2140.9841999－1489.23819941328.6851998－6422.2691993残差年份残差年份2003年GDP预报值为1129764，预报与实际相差

－42755－993.791200