2023届高考数学重难点专题训练专题16数列求和-倒序相加

专题16数列求和—倒序相加已知函数，当、，且时，总有．

求的值．

设，求．2.一般地，如果函数的图象关于点对称，那么对定义域内的任意，则恒成立已知函数的定义域为，其图象关于点对称．Ⅰ求常数的值；Ⅱ解方程：；Ⅲ求证：3.已知函数在上的最大值与最小值之和为，记．求的值；求证：为定值；求的值．4.已知函数．若，求的值；求的值．5.设，是函数的图象上的任意两点．当时，求的值；设，其中，求；6.已知函数满足，．求实数和的值；若，其中，求的值．7.已知且是上的奇函数，且．

求的解析式；若关于的方程在区间内只有一个解，求取值集合；设，记，是否存在正整数，使不等式对一切均成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由．8.设，且为奇函数．

Ⅰ求实数的值；

Ⅱ设函数，令，求；

Ⅲ是否存在实数，使得不等式对任意的及任意锐角都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案和解析1.【答案】解

取，则，所以．

因为当、，且时，总有，

所以，，

因为，

故

两式相加得：

，

所以．

【解析】本题考查函数的求值，考查数列的求和方法：倒序相加求和，考查运算能力，属于较易题．

由题意，可令，代入函数，计算即可得到；

由当、，且时，总有，运用倒序相加求和方法，即可得到．

2.【答案】解：函数的图象关于点对称，

，

；

解：由知，

或

；

证明：设可写成

两式相加，由于，

，

所以．

【解析】本题考查了函数的对称性，考查倒序相加法求和及求解对数方程，属于中档题．

利用函数的图象关于点对称，可得，代入化简，可得结论；

由知，，代入化简方程，可求方程的解；

利用，倒序相加，可得结论．

3.【答案】解：函数在上的最大值与最小值之和为，

而函数在上单调递增或单调递减，

，

解得，或舍去，

；

证明：由知，，

，

由知，．

，，，，

令

则

得

．

【解析】本题考查了指数函数的单调性及其应用，利用指数运算性质化简求值，倒序相加的求和思想，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．

因为函数在上单调递增或单调递减，所以最大值和最小值一定取到端点处，列方程即可解得值；利用指数运算性质，代入函数解析式即可化简证明；注意到和式中的自变量的特点，利用的结论，运用倒序相加即可得到

4.【答案】解：函数，

，

．

【解析】本题主要考查与指数函数有关的基本运算，考查了函数值的求法以及倒序相加法求和，属于中档题．

由函数，将和代入，结合指数的运算性质，可得当时，，

由的结论，两两结合，即可得到答案．

5.【答案】解：，是函数的图象上的任意两点，，，且时，即，

；由可得，，，，得，，，

．

【解析】本题考查函数值的求法，数列的前项和的求法，考查运算能力，解题时要注意倒序求和法的合理运用．由，推导出；由可得，利用倒序相加求和法得到，由此能求出．

6.【答案】解：满足，，

解得

，；

由可知，

，

，

而，

，

，

．

【解析】本题考查了函数的解析式、倒序相加求和，考查了学生的观察分析能力．

待定系数法联立方程组可解得，的值，

由，先求出的值，由此发现规律即可求得．

7.【答案】解：由奇函数的性质可得：，解方程可得：．

此时，满足，即函数是奇函数．

，或负值舍去，的解析式为：；

函数的解析式为，

结合指数函数的性质可得，是定义域内的增函数，

由，

即，

由是定义域内的增函数，可得在区间内只有一个解．

转化为在区间内只有一个解．

当时，，符合题意；

当时，，

当时，，解得，

此时对称轴为直线，满足题意；

当时，若，解得且，显然满足题意；

若，解得，此时对称轴为直线，

可得在内有两解，，不满足题意．

综上，取值集合或．

函数是奇函数．

关于对称，

，

，

，

得．

，

，即，

当时，等号成立，

当时，，

时，，

，解得且，

当时，，

时，，

，解得且，

综上，不存在满足条件的，

所以不存在正整数，使不等式对一切均成立．

【解析】本题考查了函数的奇偶性，单调性的应用，不等式恒成立问题，考查转化思想，属于较难题．

利用奇函数得到关于实数的方程，解方程求得，再代入的值求出；

结合函数的单调性和函数的奇偶性转化求解即可；

由函数的对称性及图象平移规律可得，，代入，分类讨论即可求解．

8.【答案】解：Ⅰ依题意，，解得，经检验符合题意；

Ⅱ，

又，

，

，

；

Ⅲ易知在上为增函数，则原不等式等价于，

即，

由于，故，两边同时除以得，，

令，

又令，

则，

，

令，

由于，故

，

而当时，单调递减，

其有最小值，

存在符合要求的实数，且．

【解析】本题考查函数性质的综合运用，考查换元