第01讲 因式分解(含解答)

--#-九年级数学竞赛专题第一讲因式分解一、选择题1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是()A．(2a+3)()2a-3)=4a2-9;B．4m2-9=(2m+3)(2m-3)C.m2-16+3m=(m+4)(m-4)+3m;D.2x(y+z)-3(y+z)=2xy+2xz一3y一3z2．下面各式的因式分解中，正确的是()A.-7ab—14+49aby=7ab(1-2x+7y);B.—3xmyn+xm+1yn-1=—3xmyn-1(y+3x)C.6(a—b)2—2(b—a)=2(a—b)(3a—3b+1)；D.xy(x—y)—x(y—x)=x(x—y)(y—1)下面各式的因式分解中，正确的是()1—8(a+b)3=(1—2a+2b)(1+2a+2b+4a2+4ab+4b2)(x2+y2)2—4x2y2=(x2+y2+2xy)(x2+y2—2xy)8a—4a2—4=4(a—1)2a2(x—y)+b2(y—x)=(x—y)(a+b)(a—b)下面各式的因式分解中，正确的是()ab一a+b+1=(a一1)(b+1)4xy+1—4x2—y2=(1+2x—y)(1—2x—y)3a一3b+3x一bx=(a一b)(3一x)D．—4xy+1—4x2—y2=(1+2x+y)(1—2x—y)．下列因式分解的变形中，正确的是()A．x2—(a+1)x+a2=(x—1)(x—a)B．5B．+—m+—=(2m+1)(3m+1)66C.y2+(a2+b2)-y+a2b2=(y+a2)(y+b2)D．(x2—3x)2—2(x2—3x)—8=(x—1)(x—2)(x+4)(x—1)二、填空题1．在代数式(1)4x2—4x+1,(2)m2+mn+n2,(3)64n2+1中是完全平方式的是o2•若：2x2+ax-9被2x—3除后余3,则商式是，且a=

3．在一个边长12.75平厘米的正方形内挖去一个边长为7.25厘米的正方形，则剩下的面积就是。4•乘积(1-)(1-)(1-)(1-)=。2232921025．已知一个正六位数，前三位数字与后三位数字完全相同，那么这个六位数一定能被质数整除。三、解答题1．分解因式x4+2x2—3；(2)x4+2x2+9；(3)(1-a2)(1-b2)-4ab(4)x2-xy+2x+y-3；(5)a2+(a(4)x2-xy+2x+y-3；(6)(m(6)(m+n)3+2mn(1-m-n)-1；(7)(a2+a+1)(a2+a+2)—12；(8)12x4-56x3+89x2-56x+122．已知三角形的三条边2．已知三角形的三条边a,b,c适合等式：a3+b3+c3=3abc'请确定二角形的形状。3．已知：三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个奇数。4.已知：2x-3和3x+1是f(x)=ax3+bx2+32x+15的因式，求a,b的值。5．证明：若n为整数，则(2n+1)2—(2n-1)2一定是8的倍数;若n为正整数时，n3-n的值必是6的倍数；四个连续自然数的积加1必为一完全平方数。答案一、选择题1．B2．C3．D4．D5．C提示：1．依据因式分解的定义：将一个多项式分解成几个整式乘积的形式称为分解因式。只有选项B正确，其中选项A、D均为整式乘法。2．按照提取公因式的方式分解因式，同时注意分解因式后的结果，一般而言每个因式中第一项的系数为正、只有选项C正确。利用公式法进行因式分解，同时注意分解因式后的最后结果必须分解彻底，只有选项D正确，选项B因式分解的结果并不彻底。利用分组分解法同时结合公式法进行因式分解，只有选项D正确。利用十字相乘法进行因式分解，同时注意因式分解是恒等变形，只有选项C正确，选项B非恒等变形。二、填空题：1.1；X+4.5；110平方厘米；4.4.11205.7、11、13提示：若代数式是完全平方式，则必可利用公式法进行因式分解。而只有C1)式=(2x-1)2是完全平方式。根据题意，利用大除法：(a+3)x—93(a+3)(a+3)x—233(a+3)9—[—]=3a=52...x+(“+3)=x+4，即：商式为x+4，且a=5.2依题意，原正方形面积为12.752厘米，挖去的正方形面积为7.25平方厘米，利用平方差公式：乘下的面积就是12.752-7.252=(12.75+7.25)(12.75-7.25)=110平方厘米4.原式=22-132-142-192-1102-1223242921021x12x43x58x109x112232429210211205．依题意，设所求的站位数为：abcabc，a,b,c均为自然数，则abcabc=ax105+bx104+cx103+ax102+bx10+c=103(ax102+bx10+c)+(ax102+bx10+c)=(ax102+bx10+c)(103+1)=1001(100a+10b+c)71001=7X11X13,•?a,b,c为自然数，100a+10b+c为自然数••7|abcabc,11Iabcabc,13Iabcabc三、解答题1．分解因式：十字相乘法：原式=(x2+3)(x+1)(x-1)配方法：原式=(x2-2x+3)(x2+2x+3)(3)配方法：原式=1-a2-b2+a2b2-4ab=(1+a2b2-2ab)-(a2+b2+2ab)=(1-ab)2-(a+b)2=(1—ab+a+b)(1—ab—a—b)原式=x2+2x-3-xy+y=(x+3)(x-1)-y(x-1)=(x-1)(x-y+3)(5)法1：原式=a2+a2+2a+1+a4+2a3+a2

—a4+2a3+3a2+2a+1—a4+a3+a2+a3+a2+a+a2+a+1+a+1)+(a2—a2(a2+a+a+1)+(a2—(a2+a+1)2法2：原式=a2+a2+2a+1+(a2+a)2—1+2a(a2+a)+(a2+a)2(a2+a+1)2(6)法1：TOC\o"1-5"\h\z原式=(m3+3m2n+2mn2++n3)+2mn-2m2n-2mn2-1—m3+m2n+mn2+n3+2mn-1—m3+m2n-m2+n3+n2m-n2+m2+nm-m-nm+n2-n+m+n-1m2(m+n-1)+n2(n+m-1)+m(m+n-1)+n(m+n-1)+(m+n-1)原式=（m(m+n-1)(m2+n2+m+n+1)法原式=（m+n)3-13+2mn(1-m-n)(m+n-1)[(m+n)2+(m+n)+1]-2mn(m+n-1)(m+n-1)(m2+n2+m+n+1)(7)原式=(a2+a)2+3(a2+a)+2-12—(a2+a+5)(a2+a-2)—(a2+a+5)(a+2)(a-1)（8）反数法：原式=12(x4+1)+89x2-56(x3+x)11—12x2(x2+)+892-56x2(x+)x2x11—x2[12(x+)2-24+89-56(x+)]xx11—x2[12(x+)2-56(x+)+65]xx11—x2[2(x+)-5][6(x+一)-13]xx(2x2-5x+2)(6x2-13x+6)(x-2)(2x-1)(2x-3)(3x-2)2•解，依题意：a3+b3+c3=3abc而a3+b3+c3—3abca3+b3+c3—3abc(a+b)(a2—ab+b2)+c3一3abc(a+b)[(a+b)2—3ab]+c3一3abc(a+b)3—3ab(a+b)+c3一3abc(a+b+c)[(a+b)2—(a+b)-c+c2]—3ab(a+b+c)(a+b+c)(a2+b2+c2—ab一ac一bc)0•・•a,b,c为三角形的三边长.•・a+b+c>0a2+b2+c2一ab一ac一bc=0.2a2+2b2+2c2一2ab一2ac一2bc=0••a2一2ab+b2+a2一2ac+c2+b2一2bc+c2=0(a一b)2+(a一c)2+(b一c)2=0•(a—b)2>0,(a—c)2>0,(b—c)2>0.只有(a一b)2=0,(a一c)2=0,(b一c)2=0.a=b=c,即三角形为等边三角形注：a3+b3+c3—3abc也可如下分解：原式=a3+3a2b+3ab2+b3+c3—3a2b—3ab2—3abc=(a+b)3+c3一3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2一ac一bc一ab)解：设这三个奇数依次为n-2,n,n+2,其中n为自然数，则n>2,则依题意:(n-2)2+n2+(n+2)2=2513n2=243n2=81.n=9或-9当n=9时，n—2=7,n+2=11;当n=-9时,n—2=-11,n+2=-7.所以，这三个连续奇数为7、9、11；或7、-9、-11解：若(2x-3)和(3x+“都是f(x)=ax2+bx2+32x+15的因式，贝l」(2x—3)(3x+1)=6x2-7x—3能整除f(x)。解法1：利用多项式与多项式的大除法：ax-56Xx2-7x-3-ax3+bx2+32x+5TOC\o"1-5"\h\zaaax3-x2-—xb27aa(b+)x2+(32+)x+15b2—30x2+35x+1507aa--b+=-30且32+=35,b2Aa=6且b=-37即：f(x)=bx3-37x2+32x+15=(2x-3)(3x+1)(x-5)解法2：f(x)=(2x一3)(3x+1)(mx+n)=(6x2-7x-3)(mx+n)=6mx3+(6n一7m)x2一(3m+7n)x一3n=ax3+bx2+32x+15fa=bmb=6n一7mJ32=一(3m+7n)[15=-3nn=-5,m=1,b=-37,a=6即f(x)=(2x-3)(3x+1)(x-5)=6x3-37x2+32x+155．证明：(1)：°(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8nVn为整数，A8I8n.即8|(2n+1)2-(2n-1)2命题得证；n3-n=n(n2-1)=(n-1)n(n+1)Vn为正整数,(n+1)和n是连续2个自然数,必定一奇一偶，所以,2ln(n+1)；而