第七章概率与概率分布

#随机变量是对随机现象、随机事件的量化描述，根据随机现象、随机事件的特点，量化过程可以分为两类（：1）一类是可以直接用数量描述或比较容易用数量描述，如电池的使用寿命、灯泡的使用寿命、某一零件的直径、长度等，随机变量可直接等于这个变量。（2）随机事件的结果本身与数量无关或不易直接用数量描述，例如用户对某一新产品的态度，有非常欢迎、比较欢迎、一般、比较不欢迎、不欢迎等几种，可规定'2非常欢迎1比较欢迎g=<0一般-1比较不欢迎-2不欢迎设一个箱子内有红、黄、兰、黑、白五种球，随便摸一个，可规定：2黄4黑•八、、3．4．2密度函数在前面我们讨论次数分布的直方图、折线图、曲线图，这些在概率论中叫密度函数。例：某公司聘用50名营业员，x例：某公司聘用50名营业员，xi012345678910xii的频数124368107531下表是过去一年营业员所获得的新顾客数目xii的频率1/502/504/503/506/508/5010/507/505/503/501/50可画出概率分布图:（P88）概率10/50I

9/50|8/50|7/50|6/50|5/50|4/50|3/50|2/50|1/50||||||||||||IIIIIIIIIII012345678910新顾客数推广次数分布，我们提出密度函数的概念。密度函数是描述随机变量取哪些值、和以多大的可能性取这些值，如离散型随机变量，指出它取离散可能值的可能性P（g=xi）=Pj,i=l,2,...,k,...取其它值的可能性为0。称fp在可能点X=if（X）=[6其它⑶⑵把（3.12）式称为离散型随机变量＜的密度函数、概率函数，当只有有限多个可能值时称分布列。例3.9十件同一类型的产品中,有2件次品,任取2件,取2件中的次品数为随机变量用g表示贝屹可取0,1,2三个值容易计算2845164528451645P(g=0)=8-C210P(g=1)=C1P(g=1)=28C210P(g=2)=P(g=2)=C22C214510于是,写成分布列形式:g=01

pi281645pi28164545453．4．3离散型随机变量的分布密度1.两点分布随机试验的结果多种多样，单有一种随机现象只有两个结果。如置硬币，正面或反面；打比赛，失败或赢得；打一只鸟，打中或打不中；进行试验的结果，成功或失败；抽查一件产品，结果是正品或废品；有些试验的结果不止一个，例如电子管的寿命，当寿命大于500小时时是合格品，当寿命小于500小时时是废品；股票的价格变化有多种，但有上升和下跌两种情况。只有两种可能结果的随机试验叫贝努里试验，这种随机事件叫贝努里概型。贝努里概型可以用具有两点分布的随机变量来描述。分别用1“”和“0”表示两种可能性，如：J1成功x=[o失败则分布密度为：「px=1P(X=x)=.0[1-px=02．二项分布当贝努里试验重复进行时，形成二项分布。如抽查件产品，每一件可能合格或不合格，总共有k件不合格。在人寿保险中，某一人群的死亡率n个射手同时射击，有k人射中的概率。9台车床有7台运行2台停机的概率。n个两点分布的随机变量之和称为二项分布。例：某连锁总店每天向1=4家商店供应货物，每家商店订货与否是相互独立的，且每家商店订货的概率皆为)=0.4,求n=4家商店中订货商店家数的概率分布。解：q=1-0.4=0.6,为每家商店不订货的概率4家分店都不订货qqqq=(0.64仅有1家分店订货的概率:)qqq=0.4(0.6)3,q)qq=0.4(0.63),qqpq=0.4(0.63qqqp=0.4(0.6)共4种情况概率为C]pq4-1恰有2家分店订货的概率:))qq=(0.4)2(0.6)2)q)q=(0.4)2(0.6)2pqqp=(0.4)2(0.6)2,qppq=(0.4)2(0.6)2,qpqp=(0.4)2(0.6)2,qqpp=(0.4)2(0.6)2共6种情况概率为C2p2q4-24恰有3家分店订货的概率:pppq=(0.4)3(0.6),ppqp=(0.4)3(0.6),pqpp=(0.4》(0.6),qppp=(0.4)(0.6)共4种情况概率为C3p4-1q(5)4家分店订货的概率pppp仅1种情况概率为C：p4q4-4综合以上5种情况用X表示订货分店数贝y：p(X=0)=C40p0q4-0,p(X=1)=C41p1q4-1,p(X=2)=C42p2q4-2,p(X=3)=C43p3q4-3,p(X=4)=C44p4q4-4,分布律为：p(X=x)=C4xpxq4-x,x01234PC40p0q4-0,C41p1q4-1,C42p2q4C43p3q4-3,C44p4q4-4,3．4．4.连续型随机变量的分布密度若存在非负的可积函数(x),使得对于任何xe(—8,8),有P(gvx)Jxf(x)dx—8则称f(x)为随机变蜃的密度函数可以用密度函数的积分表示出随机变量落入任何一个区间的概率：P(X］V=g<x2)=F(x2)-F(x1)=Ix2f(x)dxx1由于分布函数的值域仅位于［0，1］之间，太窄小。密度函数用来刻画随机变量的特征比较方便，并且易于用数学表达式表达，计算起来也更加方便。3.4.2分布函数在研究次数分布时，我们引入了以下累计(向下累计)的概念，在概率论中以下累计对应于分布函数的概念。在前例中，例：某公司聘用50名营业员，下表是过去一年营业员所获得的新顾客数目xixi的频数P(X=xi)iP(XWx.)i011/501/50122/503/50244/507/50333/5010/50466/5016/50588/5024/5061010/5034/50777/5041/50855/5046/50TOC\o"1-5"\h\z933/5049/501011/5050/50概率I45/50Ii—40/50Ii——135/50Ii——130/50Ii——125/50Ii——120/50Ii——115/50Ii——110/50Ii——15/50Ii——11/50II012345678910新顾客数累积概率分布随机变量的概念定量地刻画了随机事件,为了更方便地表达、计算随机事件发生的概率，我们定义分布函数的概念：P(g<x)=F(x)利用分布函数我们可以方便地计算随机变量落入任何区间的概率：P(a<g<b)=P(g<b)—P(g<a)=F(b)—F(a)当分布函数用密度函数的积分来计算后，利用微积分的优良性质，计算更加方便正态分布例某手表厂曾对其生产的某个零件的重量收集了大量资料对，测量得的3085个数据，按不同重量加以分组，并统计了不同范围内零件的个数(频数)，结果如下表所示：区间频数g,41.5)125[41.5,43.5)72[43.5,45.5)124[45.5,47.5)145[47.5,49.5)193[49.5,51.5)268[51.5,53.5)310

[53.5,55.5)360[55.5,57.5)397[57.5,59.5)378[59.5,61.5)329[61.5,63.5)291[63.5,65.5)249[65.5,67.5)204[67.5,69.5)127[69.5,71.5)81[71.5,-)152通过计算易知，它们与a=56.94,。=8.2的正态分布符合得相当好，正态分布用N(a,。2)表示。密度函数：f(x)=1■密度函数：f(x)=1■v;2kq(x—a)226,1x2标准正态分布：f(x)=e—2(P119图)2兀分布函数定义为随机变量小iX的累积概率：F(x)=P(E<x)F(X)=F(X)=—g—(y-a)2e—26dy，1f—必标准正态分布:F(x)=Jxe—2dy(P120图)2兀—g例从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走第，一条路线穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位为分)服从正态分布50,1⑵，第二条路线沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分60建),(1)假如有70分钟可用，问应走哪一条路线？(2)(1)假如有65分钟可用，问应走哪一条路线？解：设E为到达目的地的时间，有0分钟可用时走第一条路线及时赶到的概率为:P{^<70}=P{^：-0P{^<70}=P{^：-050<70—5010}9(70—5010)=0(2)=0.9772走第二条路线及时赶到的概率为：g—6070—6070—60P{E〈70}=P{<}=0()=0(2.5)=0.9938444因此在这种场合，应走第二条路线。(2)只有65分钟可用时走第一条路线及时赶到的概率为：g—5065—5065—50P{E〈65}=P{〒<10}=O(^0)=0(1.5)=0.9332走第二条路线及时赶到的概率为：g—6065-6065-60P{E〈65}=P{<}=O()=0(1.25)=0.8944444因此在这种场合，应走第一条路线。书P65例3.12某企业对生产中某关键工序进行调查发现工人们完成该工序的时间服从正态分布。3．6随机变量的联合分布在实际情况中，有时需了解多个随机变量之间的关系设g，耳为两个随机变量，称：F(x,y)=P(g<x,vy)为g,n的联合分布函数，笛,n独立时，有：F(x,y)=P(gvx,耳vy)=P(gvx)P(Hvy)3.7随机变量的数字特征分布函数、密度函数从整体上刻画了随机变量的规律和特征，但有时我们还需要更加简洁的特征。期望值、方差、原点矩、中心矩等是随机变量用一个数字或一个参数来刻画的特征。3．7．1期望值随机变量的取值不确定，可能取得多个值。为了比较两个随机的取值特征，在比较多个取值的特征的时候，人们往往都采用“平均值”的方法。自然也想到研究随机变量的“平均值”。我们引入随机变量的“期望值”的概念：定义3.9设g是离散型随机变量，g取值为x’Xy...%,,相应的概率为P］,p2,...,pk，...,则称E(g)=x1p1+x2p2+.+xnpn+.为期望值或均值。对于连续型随机变量,X〜f(x),称E(X)J®xf(x)dx—g为随机变量X的期望值或均值。性质(数学期望的加法定理对任意常数Ci,i=l,2,...,n,及b,有：E(c,+c2E+...+cE+b)=cEg+cEg+...+cEg+b1122nn1122NN性质两个独立随机变量之积的数学期望等于各个随机变量的数学期望之积，即：E(Eh)=E(E)E(H)例：假设国际市场上每年对我国某种商品的需求量(吨)，它服从［2000,4000］上的均匀分布。每售出一吨这种商品，可为国家挣得外3汇万元，但假如销售不出囤

积于仓库，则每吨浪费保管费1万元，问应组织多少吨货源，才能使国家的收益最大？解：设预备(计划)某年出口的商品量为吨(显然有2000WsW4000)•用Y表示这年国家的收益(万元，)则TOC\o"1-5"\h\z(3s,X>sY=f(X)=’|3X-(s-X),X〈s即当存货s小于需求X时，最多只能出口存货吨，当存货s大于需求X时，出口X吨，库存s-X吨。在组织s吨货源时，国家所获得的期望收益为：12000J40003sdx=sEY=Ef(X)=1卜(412000J40003sdx=s20002000=(-sz+7000s-4X10-6)/1000是s的函数，利用微分法易得当s=3500吨时，期望收益EY达到最大值。解：例：k=8个人在一楼进入电梯，楼上有n=24层。设每个人在任何一层楼出电梯是等可能的，若用X表示电梯的停梯次数，试求ZX。解：设随机变量Xi(i=l,2,...,n=24表示电梯在第i层停的次数，即:X=1在第X=1在第i层楼有人下梯0在第i层楼无人下梯i=l,2,.,n=241因每个人在任何一层下梯的概率均为，若k=8个人都不在第i层下梯，则电梯在n该层不停，而此事件的概率为：1P{X=0}=(1-—)k=(1-1/24》=0.71，人越少，不停的概率越大，人越多不停的概率in越小。1于是：P{Xi=1}=1-(1--)k=1-(1-1/248=1-(23/24)=0.289,人越多，停的概率越大，人越少，停的概率越小。电梯停梯次数x=x1+x2+.+x24,故有：ex=e(x1+x2+.+x24)=ex1+ex2+.+ex2411而EX.=1-(1-—)k,EX=n{1-(1-—)k}=24{1-(23/248}=24*(1-0.71)=24*0.289=6.9,i--3．7．2方差随机变量的期望值描述了随机变量的“平均”取值水平，但是，除了需要了解它的离散程度。如A与B打靶，A打了10次8环，B虽平均8环，但最高10环，最低4环，虽然它们的均值相同