高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练二十八平面向量的数量积及应用举例

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练二十八平面向量的数量积及应用举例……25分钟50分一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知a与b的夹角为π3,a=(1,1),|b|=1,则b在a方向上的投影为A.22 B.62 C.12【解析】选C.根据题意,a与b的夹角为π3,且|b则b在a方向上的投影|b|cosπ3=12.(2019·昆明模拟)已知平面向量a=(1,x),b=(2,1),若a⊥b,则|a+b|=()A.5 C.10 【解析】选C.a⊥b,所以a·b=2+x=0,所以x=2,所以a=(1,2),所以a+b=(1,3),所以|a+b|=10.3.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2=+,且||=||,则向量在向量方向上的投影为 ()A.12 32 12【解析】选D.依题意知,圆心O为BC的中点,即BC是△ABC的外接圆的直径,AC⊥AB.又AO=OB=AB=1,因此∠ABC=60°,∠ACB=30°,||=3,在方向上的投影为||cos30°=3×32=32.4.在如图所示的矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为线段BC上的点,则·的最小值为 ()【解析】选B.以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,4),D(2,4),设E(x,0)(0≤x≤2),所以·=(x,4)·(x2,4)=x22x+16=(x1)2+15,于是当x=1,即E为BC的中点时,·取得最小值15.5.已知平面向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,若(a+mb)⊥a,则实数m的值为 () B.32【解析】选D.因为|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120°,所以a·b=|a||b|cos120°=3×2×-1因为(a+mb)⊥a,所以(a+mb)·a=a2+ma·b=323m=0,解得m=3.6.已知向量与的夹角为120°,||=5,||=2,若=λ+,且·=6,则实数λ的值为 ()12 B.12 110【解析】选B.因为<,>=120°,||=5,||=2,=λ+,所以·=(λ+)·()=λ+(λ1)||||cos120°+=25λ5(λ1)+4=6,解得λ=127.已知向量||=3,||=2,=m+n,若与的夹角为60°,且⊥,则实数mn的值为 ()A.16 B.1【解析】选A.因为向量||=3,||=2,=m+n,与的夹角为60°,所以·=3×2×cos60°=3,所以·=()·(m+n)=(mn)·m||2+n||2=3(mn)9m+4n=6m+n=0,所以mn=1二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2019·北京高考)已知向量a=(4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=________.

【解析】因为a⊥b,所以a·b=4×6+3m=0,所以m=8.答案:89.向量a=(3,4)在向量b=(1,1)方向上的投影为________.

【解析】因为a=(3,4),b=(1,1),所以向量a在向量b方向上的投影为|a|cosθ=|a|×=3×1+4×(-答案:210.如图,在等腰三角形ABC中,已知|AB|=|AC|=1,∠A=23π,E,F分别是边AB,AC上的点,且=λ,=μ,其中λ,μ∈(0,1),且λ+4μ=1.若线段EF,BC的中点分别为M,N,则||的最小值为__________..

【解析】连接AM,AN,·=||||cos2π3=12,=12(+)=12(λ+μ),=12(+),==12(1λ)+12(1μ),||2=14[(1λ)2(1λ)(1μ)+(1μ)2]=14(1λ)214(1λ)(1μ)+14(1μ由λ+4μ=1⇒1λ=4μ,可得||2=214μ232μ+14,因为λ,所以当μ=17时,||2取最小值17所以||的最小值为77.答案:7……15分钟30分1.(5分)已知|a|=2|b|≠0,且关于x的函数f(x)=13x3+12|a|x2+a·bx在R上有极值,则向量a与bA.0,π6C.π3,π【解析】选C.设a与b的夹角为θ.因为f(x)=13x3+12|a|x2+a·所以f′(x)=x2+|a|x+a·b.因为函数f(x)在R上有极值,所以方程x2+|a|x+a·b=0有两个不同的实数根,即Δ=|a|24a·b>0,所以a·b<又因为|a|=2|b|≠0,所以cosθ==12,即cosθ<12又因为θ∈[0,π],所以θ∈π32.(5分)(2019·天津高考)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=________.

【解题指南】可利用向量的线性运算,也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解即可.【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形,因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.因为∠BAD=30°,AB=23,所以AF=2,即=25.因为===25,所以·=()·=75·25=75×23×5×321210=1.答案:1【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决:建立如图所示的平面直角坐标系,则B(23,0),D53因为AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,因为AE=BE,所以∠BAE=30°,所以直线BE的斜率为33,其方程为y=33(x2直线AE的斜率为33,其方程为y=3由y=33(所以E(3,1).所以·=32,52·(答案:13.(5分)(2019·全国卷Ⅲ)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a5b,则cos<a,c>=________.

【解析】因为c2=(2a5b)2=4a2+5b245a·b=9,所以|c|=3,因为a·c=a·(2a5b)=2a25a·b=2,所以cos<a,c>=QUOTEa·c|a|·|c|=2答案:24.(5分)(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·=0,则点A的横坐标为________.

【解析】因为AB为直径,所以AD⊥BD,所以BD即B到直线l的距离,BD=|0-2因为CD=AC=BC=r,又CD⊥AB,所以AB=2BC=210,设A(a,2a),AB=(a-5)答案:35.(10分)已知向量m=3sinx4,1,n=cosx4(1)若f(x)=1,求cosx+π(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2ac)cosB=bcosC,求f(2A)的取值范围.【解析】(1)因为m=3sinx4,1所以f(x)=32sinx2+1+cosx22因为f(x)=1,所以sinx2+π所以cosx+π3=12sin2x(2)由题意知2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC,所以