吉林省长春五中、田家炳实验中学联考高一下学期期末数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年吉林省长春五中、田家炳实验中学联考高一（下）期末数学试卷（文科）一．选择题：(本大题共计12小题，每小题4分,共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．△ABC中,若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（)A． B． C．1 D．2．在数列{an｝中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（）A．99 B．49 C．102 D．1013．已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．64．在△ABC中，若b2=a2+c2+ac，则∠B等于(）A．60° B．60°或120° C．120° D．135°5．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为(）A．5 B．3 C．7 D．﹣86．对于任意实数a、b、c、d，命题：①若a＞b，c＜0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＜bc2，则a＜b；④;⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．在R上定义运算，若成立，则x的取值范围是（)A．（﹣4，1） B．（﹣1，4) C．（﹣∞，﹣4）∪（1,+∞) D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞)8．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A． B． C． D．9．一个等比数列｛an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为(）A．63 B．108 C．75 D．8310．已知x，y是正数,且，则x+y的最小值是（）A．6 B．12 C．16 D．2411．若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是()A．（﹣2，2） B．(﹣2，2］ C．（﹣∞,﹣2）∪12．已知方程(x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则｜m﹣n｜等于（)A．1 B． C． D．二。填空题（本大题共4小题，每小题4分,共16分）13．不等式＞1的解集是．14．比较大小:（x﹣2)（x+3）x2+x﹣7(填入“＞”,“＜",“="之一）15．已知数列{an｝的前n项和Sn=n2+1(n∈N*)，则它的通项公式是．16．若在△ABC中，∠A=60°，b=1,S△ABC=,则=．三、解答题(共56分，需要写出必要的解答和计算步骤）17．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，（1）求实数a的值；（2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．18．已知等比数列{an}中，，求其第4项及前5项和．19．在△ABC中,BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根,且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数;（2）边AB的长．20．已知在△ABC中，角A,B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA+acosB=0．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求△ABC面积的最大值．21．若{an}的前n项和为Sn,点（n，Sn）均在函数y=x2﹣x的图象上．（1)求数列｛an}的通项公式．（2)设bn=，Tn是数列{bn｝的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N+都成立的最小整数m．

2016—2017学年吉林省长春五中、田家炳实验中学联考高一(下）期末数学试卷（文科)参考答案与试题解析一．选择题:(本大题共计12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)1．△ABC中，若a=1，c=2,B=60°,则△ABC的面积为（）A． B． C．1 D．【考点】%H：三角形的面积公式．【分析】利用三角形面积公式S△ABC=即可得出．【解答】解：S△ABC===．故选B．2．在数列｛an｝中，a1=1，an+1﹣an=2，则a51的值为（）A．99 B．49 C．102 D．101【考点】8H:数列递推式．【分析】由已知得数列{an}是首项为a1=1，公差为an+1﹣an=2的等差数列,由此能求出a51．【解答】解:∵在数列{an｝中，a1=1，an+1﹣an=2,∴数列｛an｝是首项为a1=1,公差为an+1﹣an=2的等差数列，∴an=1+2(n﹣1）=2n﹣1,∴a51=2×51﹣1=101．故选:D．3．已知x＞0，函数y=+x的最小值是(）A．5 B．4 C．8 D．6【考点】7F:基本不等式．【分析】由于x＞0，利用基本不等式求得函数的最小值．【解答】解:∵x＞0，函数≥2=4，当且仅当x=，x=2时,等号成立，故函数的最小值是4，故选：B．4．在△ABC中,若b2=a2+c2+ac，则∠B等于（）A．60° B．60°或120° C．120° D．135°【考点】HR:余弦定理．【分析】由三角形的三边a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，把已知的等式变形后代入即可求出cosB的值,根据B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数．【解答】解：由b2=a2+c2+ac，得到a2+c2﹣b2=﹣ac,所以根据余弦定理得：cosB==﹣，∵B∈(0,180°)，则∠B=120°．故选C5．设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（)A．5 B．3 C．7 D．﹣8【考点】7C：简单线性规划．【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=﹣3x,将l0平移与可行域有公共点，直线y=﹣3x+z在y轴上的截距最大时，z有最大值，求出此时直线y=﹣3x+z经过的可行域内的点A的坐标，代入z=3x+y中即可．【解答】解:如图，作出可行域，作出直线l0：y=﹣3x，将l0平移至过点A（3,﹣2）处时，函数z=3x+y有最大值7．故选C．6．对于任意实数a、b、c、d，命题：①若a＞b,c＜0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2;③若ac2＜bc2，则a＜b；④；⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可．【解答】解：①根据不等式的性质可知若a＞b,c＜0,则ac＞bc，∴①正确．②当c=0时,ac2=bc2=0，∴②错误．③若ac2＞bc2,则c≠0，∴a＜b成立，∴③正确．④当a=1，b=﹣1时,满足a＞b,但不成立，∴④错误．⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd＞0成立,∴⑤错误．故正确的是①③．故选：B．7．在R上定义运算,若成立,则x的取值范围是（）A．（﹣4，1) B．(﹣1，4） C．（﹣∞，﹣4)∪(1,+∞） D．(﹣∞，﹣1）∪(4，+∞)【考点】O1：二阶矩阵．【分析】根据定义运算，把化简得x2+3x＜4，求出其解集即可．【解答】解：因为，所以，化简得；x2+3x＜4即x2+3x﹣4＜0即（x﹣1)（x+4)＜0,解得：﹣4＜x＜1，故选A．8．在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3:4,那么cosC等于（）A． B． C． D．【考点】HR：余弦定理．【分析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c，可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0），由余弦定理可求得答案．【解答】解:由正弦定理可得；sinA：sinB:sinC=a：b：c=2：3：4可设a=2k,b=3k,c=4k（k＞0）由余弦定理可得，=故选：D9．一个等比数列{an｝的前n项和为48，前2n项和为60,则前3n项和为（)A．63 B．108 C．75 D．83【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列，进而根据等比等比数列的第一个n项的和和第二个n项的和，求得第三个n项的和，进而把前2n项的和加上第三个n项的和,即可求得答案．【解答】解:由等比数列的性质可知等比数列中每k项的和也成等比数列．则等比数列的第一个n项的和为48，第二个n项的和为60﹣48=12，∴第三个n项的和为：=3，∴前3n项的和为60+3=63．故选：A．10．已知x，y是正数，且，则x+y的最小值是（）A．6 B．12 C．16 D．24【考点】7F：基本不等式．【分析】x+y=（x+y）（+）=1+9++，再根据基本不等式即可求出答案．【解答】解：x+y=（x+y）（+）=1+9++≥10+2=10+6=16，当且仅当x=4，y=12时取等号，故x+y的最小值是16,故选：C11．若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2,2) B．（﹣2,2］ C．(﹣∞,﹣2）∪【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】将原不等式整理成关于x的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论【解答】解:不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x，可化为（a﹣2）x2+2(a﹣2）x﹣4＜0，当a﹣2=0，即a=2时，恒成立，合题意．当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需，解得﹣2＜a＜2．所以a的取值范围为（﹣2，2]．故选B．12．已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则｜m﹣n｜等于(）A．1 B． C． D．【考点】8F：等差数列的性质；74:一元二次不等式的解法．【分析】设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时,am+an=ap+aq．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n,则答案可得．【解答】解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2,由等差数列的性质，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq．设x1为第一项,x2必为第4项,可得数列为,，,，∴m=，n=．∴｜m﹣n|=．故选C二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．不等式＞1的解集是｛x|﹣2＜x＜﹣}．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】把不等式右边的“1”移项到不等式左边，通分后根据分母不变只把分子相减计算后，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，然后根据两数相除，异号得负，根据商为负数得到x+2与3x+1异号,可化为两个不等式组,分别求出两不等式组的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集．【解答】解:不等式，移项得：＞0,即＜0，可化为：或，解得：﹣2＜x＜﹣或无解,则原不等式的解集是｛x|﹣2＜x＜﹣｝．故答案为：｛x|﹣2＜x＜﹣}14．比较大小:（x﹣2）（x+3）＞x2+x﹣7(填入“＞”,“＜”，“=”之一)【考点】72:不等式比较大小．【分析】利用作差法即可比较出两个数的大小．【解答】解：∵（x﹣2）（x+3)﹣（x2+x﹣7）=x2+x﹣6﹣x2﹣x+7=1＞0，∴（x﹣2）(x+3）＞x2+x﹣7．故答案为＞．15．已知数列｛an}的前n项和Sn=n2+1（n∈N＊），则它的通项公式是．【考点】82：数列的函数特性．【分析】先求出sn﹣1，由an=sn﹣sn﹣1得到数列的通项公式即可．【解答】解：由题意知:当n=1时，a1=s1=2，当n≥2时,Sn=n2+1①sn﹣1=(n﹣1)2+1②，所以利用①﹣②得：an=sn﹣sn﹣1=2n﹣1．故答案为：16．若在△ABC中，∠A=60°，b=1，S△ABC=,则=．【考点】HP:正弦定理；GH:同角三角函数基本关系的运用．【分析】又A的度数求出sinA和cosA的值，根据sinA的值，三角形的面积及b的值，利用三角形面积公式求出c的值,再由cosA,b及c的值,利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．【解答】解：由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，又b=1，S△ABC=，∴bcsinA=×1×c×=，解得c=4，根据余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，解得a=，根据正弦定理====，则=．故答案为:三、解答题（共56分,需要写出必要的解答和计算步骤)17．若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，（1）求实数a的值;(2）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．【考点】77：一元二次不等式与一元二次方程;74:一元二次不等式的解法．【分析】(1）由二次不等式的解集形式,判断出，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出a的值．(2)由（1）我们易得a的值，代入不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0易解出其解集．【解答】解:（1）∵ax2+5x﹣2＞0的解集是,∴a＜0，，2是ax2+5x﹣2=0的两根解得a=﹣2;(2）则不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为﹣2x2﹣5x+3＞0解得故不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集．18．已知等比数列{an｝中，，求其第4项及前5项和．【考点】89:等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【分析】设公比为q,由已知得,解得,a1=8，由此利用等比数列的通项公式和前n项和公式能求出其第4项及前5项和．【解答】解:设公比为q,…由已知得…②即…②÷①得，…将代入①得a1=8,…∴，……19．在△ABC中,BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根,且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数；（2）边AB的长．【考点】HR：余弦定理；7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】（1)根据三角形内角和可知cosC=cos进而根据题设条件求得cosC，则C可求．（2)根据韦达定理可知a+b和ab的值，进而利用余弦定理求得AB．【解答】解：（1）∴C=120°（2）由题设：∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcosC=a2+b2﹣2abcos120°=∴20．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且bsinA+acosB=0．（1）求角B的大小；（2)若b=2，求△ABC面积的最大值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由bsinA+acosB=0及其正弦定理可得：sinBsinA+sinAcosB=0，sinA≠0,