2023-2024学年海南省海口市嘉勋高级中学高三（上）开学数学试卷（9月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年海南省海口市嘉勋高级中学高三（上）开学数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合A={x|(2a−x)(x−a)<0}，若2∉A，则实数a的取值范围为(

)A.(−∞,1)∪(2,+∞) B.[1,2)

C.(1,2) D.[1,2]2.已知集合A={x|x2−2x−3≤0}，集合B={x||x−1|≤3}，集合C={x|x−4x+5≤0}，则集合A，BA.B⊆A B.A=B C.C⊆B D.A⊆C3.设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2}，B={x|x2−4x+3=0}，则∁A.{1,3} B.{0,3} C.{−2,1} D.{−2,0}4.设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.设a，b∈[0,+∞)，A=a+b，B=a+b，则A.A≤B B.A≥B C.A<B D.A>B6.已知f(x)为二次函数，且f(x)=x2+f′(x)−1，则f(x)=A.x2−2x+1 B.x2+2x+1 C.7.当−2≤x≤2时，不等式x2−mx+1>0恒成立，则实数m的取值范围为(

)A.(−2,2) B.(−∞,−2) C.[−2,2] D.(2,+∞)8.已知正实数a，b满足ab+2a−2=0，则4a+b的最小值是(

)A.2 B.42−2 C.49.下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是(

)A.xc2>yc2 B.1x10.已知x>y>z，且x+y+z=0，下列不等式中成立的是(

)A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|11.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(−3,0)，对称轴为x=−1.给出下面四个结论正确的为(

)A.b2>4ac

B.2a−b=1

C.a−b+c=0

12.已知关于x的不等式(x+2)(x−4)+a<0(a<0)的解集是(x1,xA.x1+x2=2 B.x1二、非选择题（共90分）13.设命题p：x>4；命题q：x2−5x+4≥0，那么p是q的______条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．14.已知−1<x<4，2<y<3，则3x+2y的取值范围是______．15.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2−x)=f(2+x)，则f(x)=______．16.如果非空数集A满足：①0∉A；②若∀x∈A，有1x∈A，那么称A是“互倒集”.给出以下数集：①{x∈R|x2+ax+1=0}；②{x|x2−6x+1≤0}；17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S3=17，a4−2b2=5．

18.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=7，bsinB+C2=asinB．

(1)求A；

(2)若M为边AC上一点，且∠ABM=∠BAC，S19.如图所示，四棱锥S−ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2正方形，SA=22,SC=4，AC与BD交于点O，点E在线段SD上．

(1)求证：SA⊥平面ABCD；

(2)若OE//平面SAB，求平面SAC与平面EAC20.某学校为了了解高一学生安全知识水平，对高一年级学生进行“消防安全知识测试”，并且规定“体能达标”预测成绩小于60分的为“不合格”，否则为“合格”.若该校“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级知识达标为“合格”；否则该年级知识达标为“不合格”，需要重新对该年级学生进行消防安全培训.现从全体高一学生中随机抽取10名，并将这10名学生随机分为甲、乙两个组，其中甲组有6名学生，乙组有4名学生.甲组的平均成绩为70，标准差为4；乙组的平均成绩为80，标准差为6(题中所有数据的最后结果都精确到整数)．

(1)求这10名学生测试成绩的平均分x−和标准差s；

(2)假设高一学生的知识测试成绩服从正态分布N(μ,σ2).将上述10名学生的成绩作为样品，用样本平均数x−作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值.利用估计值估计：高一学生知识达标是否“合格”？

(3)已知知识测试中的多项选择题中，有4个选项.小明知道每道多项选择题均有两个或三个正确选项.但根据得分规则：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.这样，小明在做多项选择题时，可能选择一个选项，也可能选择两个或三个选项，但不会选择四个选项.假设小明在做该道多项选择题时，基于已有的解题经验，他选择一个选项的概率为12，选择两个选项的概率为13，选择三个选项的概率为16.已知该道多项选择题只有两个正确选项，小明完全不知道四个选项的正误，只好根据自己的经验随机选择.记X表示小明做完该道多项选择题后所得的分数.求X的分布列及数学期望．

附：①n个数的方差s2=1ni=1n(21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，椭圆C过点(1,32)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知x轴上存在一点E(点E在椭圆左顶点的左侧)，过E的直线l与椭圆22.已知f(x)=lnx−x，g(x)=mx+m．

(1)记F(x)=f(x)+g(x)，讨论F(x)的单调区间；

(2)记G(x)=f(x)+m，若G(x)有两个零点a，b，且a<b．

请在①②中选择一个完成．

①求证：2em−1>1b+b；

②答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因为集合A={x|(2a−x)(x−a)<0}，

若2∉A，则(2a−2)(2−a)≥0，

即(a−1)(a−2)≤0，解得1≤a≤2，

所以实数a的取值范围是[1,2]．

故选：D．

根据题意得出不等式(2a−2)(2−a)≥0，解不等式即可．

本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是基础题．2.【答案】D

【解析】【分析】解出不等式，从而得出集合A，B，C，再根据子集的定义判断A，B，C的关系．

本题主要考查集合间的基本关系的判断，考查一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式的解法，属于中档题．【解答】

解：∵x2−2x−3≤0，即(x−3)(x+1)≤0，

∴−1≤x≤3，则A=[−1,3]，

又|x−1|≤3，即−3≤x−1≤3，

∴−2≤x≤4，则B=[−2,4]，

∵x−4x+5≤0⇔(x−4)(x+5)≤0x+5≠0，

∴−5<x≤4，则C=(−5,4]，

∴A⊆C，3.【答案】D

【解析】解：∵B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，A={−1,2}，

∴A∪B={−1,1,2,3}，

又U={−2,−1,0,1,2,3}，

∴∁U(A∪B)={−2,0}．

故选：D．4.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．

利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．【解答】

解：∵sin2x+cos2x=1，

①当sinx=1时，则cosx=0，∴充分性成立，

②当cosx=0时，则sinx=±1，∴必要性不成立，

∴sinx=1是5.【答案】B

【解析】解：由题意得，a，b∈[0,+∞)，A=a+b，B=a+b，

所以A2−B2=a+b+2ab−(a+b)=2ab≥0，

则A26.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了二次函数的一般形式，基本初等函数的求导公式，属于基础题．

根据题意可设f(x)=x2+bx+c，然后根据f(x)=x2+f′(x)−1可得出x2【解答】

解：由题意设f(x)=x2+bx+c，f′(x)=2x+b，

∴x2+bx+c=x2+2x+b−1，

∴b=2，7.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了函数恒成立问题，二次函数图象与性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、最值法等，属于中档题．

令f(x)=x2−mx+1【解答】解：令f(x)=x2−mx+1，

因为当−2≤x≤2时，不等式x2−mx+1>0恒成立，

所以f(x)min>0，

①当m2<−2，即m<−4时，f(x)min=f(−2)=2m+5>0，所以m无解；

②当−2≤m2≤2，即−4≤m≤4时，f(x)min=f(m2)=−m28.【答案】B

【解析】解：因为正实数a，b满足ab+2a−2=0，

所以ab=2−2a，所以b=2a−2，

所以4a+b=4a+2a−2≥24a⋅2a−2=42−2，

当且仅当4a=2a，即a=22时取“=”，

9.【答案】ABD

【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的判断方法，对选项进行逐一判定即可．

本题考查了充分条件与必要条件的判断，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．【解答】

解：选项A：若xc2>yc2，则c2≠0，则x>y，

反之x>y，当c=0时得不出xc2>yc2，

xc2>yc2是x>y的充分不必要条件，故选项A正确；

选项B：由1x<1y<0可得y<x<0，即能推出x>y，

但x>y不能推出1x<1y<0(因为x，y的正负不确定)，

所以1x<1y<0是x>y的充分不必要条件，故选项B正确；

选项C：由|x|>|y|可得x2>y2，则(x+y)(x−y)>0，不能推出x>y，

由x>y也不能推出|x|>|y|(如10.【答案】C

【解析】解：∵x>y>z

∴3x>x+y+z=0，3z<x+y+z=0，

∴x>0，z<0．

由x>0y>z

得：xy>xz．

故选：C．

根据x>y>z和x+y+z=0，有3x>x+y+z=0，3z<x+y+z=0，从而得到x>0，z<0.再不等式的基本性质，可得到结论．

11.【答案】AD

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，因为图象与x轴交于两点，所以Δ=b2−4ac>0，即b2>4ac，A正确．

对于B，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=−1，即−b2a=−1，变形可得2a−b=0，B错误．

对于C，结合图象，当x=−1时，y>0，即a−b+c>0，C错误．

对于D，由对称轴为x=−1知，b=2a.根据抛物线开口向下，则有a<0，

所以5a<2a=b12.【答案】ABD

【解析】解：设f(x)=(x+2)(x−4)，

g(x)=(x+2)(x−4)+a，(a<0)，

在同一坐标系内画出f(x)、g(x)的图象，如图所示：

则g(x)的图象与f(x)的图象形状相同，是f(x)的图象向下平移|a|个单位，

若不等式(x+2)(x−4)+a<0的解集是(x1,x2)(x1<x2)，

则x1+x2=4−2=2，选项A正确，

x1⋅x2<−2×4=−8，选项B正确，

x2−x1>4−(−2)=6，选项13.【答案】充分不必要

【解析】【分析】

本题考查的知识点是充分必要条件的判定，不等式的解法，难度中档．

求解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案．

【解答】解：命题q：x2−5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，

x>4成立，则x≤1，或x≥4，一定成立，

反过来x≤1，或x≥4成立，则x>4不一定成立，

故p是q的充分不必要条件，14.【答案】(1,18)

【解析】解：依题意，−3<3x<12，4<2y<6，

则1<3x+2y<18．

故答案为：(1,18)．

根据已知条件可得，−3<3x<12，4<2y<6，再利用不等式的性质可得答案．

本题考查不等式的性质，属于基础题．15.【答案】x2【解析】解：因为f(2−x)=f(2+x)对x∈R恒成立，

所以y=f(x)的图象关于x=2对称．

又y=f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，

所以f(x)=0的两根为2−1=1或2+1=3，

所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0)，

因此设f(x)=a(x−1)(x−3)．

又点(4,3)在y=f(x)的图象上，

所以3a=3，则a=1，故f(x)=(x−1)(x−3)=x2−4x+3．

故答案为：x2−4x+3．

根据f(2−x)=f(2+x)得到以函数图象关于x=2对称，结合在x轴上截得的线段长为2，得到f(x)与x轴的两交点坐标为(1,0)和(3,0)16.【答案】②③

【解析】解：对于①{x∈R|x2+ax+1=0}，

当a=3时，{x∈R|x2+ax+1=0}=⌀，

故不是互倒集；

对于②{x|x2−6x+1≤0}；

∵△=36−4=32>0，

∴{x|x2−6x+1≤0}是非空数集，

且0∉{x|x2−6x+1≤0}，

若x1∈{x|x2−6x+1≤0}，即x12−6x1+1≤0，

则(1x1)217.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

由a1=3，b1=1，b2+S3=17，a4−2b2=5，可得q+9+3d=17，3+3d−2q=5，

解得d=q=2，【解析】(1)运用等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求；

(2)求得Sn，cn，由数列的分组求和、裂项相消求和，计算可得所求和．18.【答案】解：(1)因为A+B+C=π，所以sinB+C2=sinπ−A2=cosA2，

因为bsinB+C2=asinB，所以bcosA2=asinB，

由正弦定理知，sinBcosA2=sinAsinB，

因为sinB≠0，所以cosA2=sinA=2sinA2cosA2，

因为A∈(0,π)，所以cosA2≠0，所以sinA2=12，所以A=π3．

(2)【解析】(1)结合诱导公式与正弦定理化简可得cosA2=sinA，再利用二倍角公式，即可得解；

(2)易知△ABM为等边三角形，再由面积公式求得AB=1=c，然后在△ABC中，由余弦定理求得b的值，根据S=19.【答案】证明：(1)因为平面SAD⊥平面ABCD且交线为AD，

又AB⊂平面ABCD且AB⊥AD，所以AB⊥平面SAD，

又SA⊂平面SAD，所以SA⊥AB，

因为ABCD是边长为2正方形，所以AC=22，又SA=22,SC=4，

所以SA2+AC2=SC2，即SA⊥AC，

又因为AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABCD，

所以SA⊥平面ABCD；

解：(2)因为OE//平面SAB，OE⊂平面SBD，平面SBD∩平面SAB=SB，

所以OE//SB，

因为O为BD的中点，所以E为SD的中点，

以AB，AD，AS分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则有A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,22)，E(0,1,2)，

易得平面SAC的一个法向量为n=DB=(2,−2,0)，

设平面EAC的一个法向量为m=(x,y,z)，

则m⋅AE=0m⋅【解析】(1)根据面面垂直的性质可得AB⊥平面SAD，进而得到SA⊥AB，结合勾股定理证明SA⊥AC即可证明SA⊥平面ABCD；

(2)以AB，AD，AS分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求平面SAC与平面EAC的一个法向量，进而求得二面角夹角的余弦值即可．

本题考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：(1)x−=70×6+80×410=74，

s12=16×[(x12+x22+...+x62)−6×702]=16，解得x12+x22+...+x62=6×(16+702)，

s22=14×[(x72+x82+...+x102)−4×802]=36，解得x72+xX025P

2511E(X)=0×2536【解析】(1)根据平均数、方差、标准差的计算公式进行求解即可；

(2)根据题中所给的公式进行求解即可；

(3)求得X的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式进行求解即可．

本题考查平均数、方差的计算，考查正态分布，考查离散型随机变量的分布列及期望，是中档题．21.【答案】解：(1)由已知得a=2，

将点(1,32)代入椭圆方程，得b=3，

∴椭圆C方程为x24+y23=1．

(2)设直线l为x=my+n(m≠0)，则E为(n,0)(n<−2)，

由x=my+nx24+y23=1，得(3m2+4)y2+6mny+3n2−12=0，

∴Δ=b2−4ac=36m2n2−4(3m2+4)(3n2−12)>0，可得n2<3m2+4①，

设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则y1+y2=−6mn3m2+4，y1⋅y【解析】(1)由条件可得a=