机械设计说明书-水平直线轨道倒立摆控制算法设计

本科毕业设计（论文）题目：水平直线轨道倒立摆控制算法设计水平直线轨道倒立摆控制算法设计摘要本文利用牛顿力学分析的方法建立了直线一级倒立摆系统的线性状态方程，并在此基础上分析了该系统是不稳定的，同时又是能控的。基于此文中设计了一级直线单级倒立摆系统稳摆PID控制算法,极点配置算法和LQR控制算法和起摆的能量反馈控制策略和时间最优控制策略，利用MATLAB/Simulink仿真分别分析了稳摆和起摆算法的优缺点。关键词:倒立摆；非线性系统；PID；LQR；极点配置算法；能量反馈；时间最优TheControlAlgorithmDesignLevelLinearRailInvertedPendulumAbstractInthispaper,Newtonianmechanicsanalysismethodtoestablishaninvertedpendulumsystemoflinearlinearequationofstate.Inthemeantime,thesystemisunstablebyanalyzingthelinearstateequation,butitisalsocontrollable.ThispaperinvertedpendulumsystemaboutPIDcontrolalgorithm,LQRcontrolalgorithmandPoleplacementalgorithm,andanalyzedtheadvantagesanddisadvantagesofthethreealgorithmwithMATLAB/Simulink.Thesimulationandrealtimecontroltheresultoftheexperimentsuggested:Besimilarytoinvertedpendulumisforthenon-linearmodel,throughitsmathematicalmodel,theappropriatedesignofcontroller,andinitsimplementationcontrolisfeasibly.AnddesignedpendulumautomaticswingingupandSimulation.KeyWords:InvertedPendulumNonlinearSystemPID;LQR;PolePlacementAlgorithm;主要符号表u列向量g重力加速度θ角度α导轨倾斜角度M小车质量m摆杆质量L摆杆的长度B小车摩擦系数l摆杆惯量F带轮对小车作用力X小车位移G小车重力N1小车与摆杆竖直方向作用力F1小车与摆杆水平方向作用力目录TOC\o"1-3"\h\u1绪论 从式(4.1)可以看出，摆杆在自然下垂时，θ=л或者θ=-л，系统具有的能量为-2mgl,处于稳定竖直向上的状态时θ=0，倒立摆系统具有的能量为0。所以当摆杆从自然下垂状态开始起摆时，u的起始值始终为正才能保证能量不断增加。4.3时间最优控制策略所谓时间最优控制就是在限定的控制量范围的基础上，设计控制器使得倒立摆从自由位置摆到平衡位置|θ|=0所花的时间最短，又称最速控制。由最优控制可知，可以选择Bang-Bang控制对倒立摆系统进行控制。Bang-Bang控制是应用极小值原理求取最优解的一种控制方法。假设能控的线性定常系统的状态方程为:(t)=Ax(t)+B(t),x(0)=xo,x(tf)=0(4.9)为了避免控制量太大，仿真不易实现，可以对控制量进行约束，取控制约束为:|u(t)|≤1(4.10)因此，这个问题变成了带约束条件的最优化问题，即寻求最优控制u·(t)使系统在最短时间内从初始状态x0转移到终端状态x(t)=0。对以上问题建立哈密尔顿函数:H[x,u,λ]=1+λτ[Ax+Bu]=1+xTAτλT+uTBTλ(4.11)为使H全局最小，应用极小值原理可得最优控制为u·(t)=-sign[BTλ(t)]（4.12）由此可见，Bang-Bang控制要求控制矢量各个分量都取控制量的边界值，而且从一个边界值切换得到另一个边界值，称为开关控制，也是一种时间最优控制。Bang-Bang控制就是在控制过程中控制作用u要么选最大正值，要么选最小负值，因此，可以采用式(４.5)作为本文控制器设计的主要公式。u=umsign(cosθ)(4.13)在整个对倒立摆控制的过程中，起摆只是其中的一个环节。考虑到在平衡位置时的最优控制倒立摆，则应该保证当倒立摆起摆到|θ|≤θ0内即可，所以应该保证当倒立摆摆到|θ|=0时摆杆得到期望能量，起摆结束。4.4直线一级倒立摆系统起摆仿真实现前面我们详细分析了直线一级倒立摆系统，提出了能量反馈起摆和时间最优起摆的控制策略。下面将前面所涉及的起摆控制方法，用MATLAB／Simulink实现仿真设计。4.4.1直线一级倒立摆能量反馈摆仿真的Simulink实现如图4.1所示为直线一级倒立摆的能量反馈起摆的siumlink模块图。下面将描述倒立摆起摆是如何实现的，主要包括两个部分：倒立摆系统力学模型、平衡位置的最优控制和能量反馈起摆的控制器的设计。图4.1直线一级倒立摆的能量控制起摆的siumlink模块图1）倒立摆的力学模型倒立摆的力学模型主要是在模块in-pend中实现的，该模块的输入为小车倒立摆系统所受的外力，输出为小车的位移x、小车的速度dx、摆杆角度theta、摆杆角度theta。由第二章的倒立摆的受力分析可得(I+ml2)-mglφ=ml(4.14)(M+m)+b-ml=u根据方程可以编写直线一级倒立摆数学模型的M文件，编写文件在附录中。2）最优控制器的设计倒立摆的起摆控制包括了两个控制器：起摆控制器[24]和到达平衡位置附近的稳定控制器。本文所研究的倒立摆在初始位置时，出于自有下垂的状态，这也是倒立摆的起始初始状态。为了连接倒立摆的两个控制器，加入了选择开关Switch，图5-1如果反馈的角度的绝对值|θ|>=θ0,则进行起摆控制器，如果|θ|<=θ0,则认为已达到平衡位置附近，此时应该切换到最优控制器进行控制。其中，θ0过小，则起摆难度加大，而且很容易使摆杆甩过平很位置，θ0过大则起摆切换后控制器无法控制倒立摆。通过上章的对比选用LQR控制器，倒立摆在平衡位置附近控制时，可以用LQR对倒立摆进行稳摆控制,选取通过K=lqr（A，B，Q，R），命令就可以求得最优控制反馈矩阵K=[-38.7298-22.603972.051010.2698]将反馈矩阵K写入LQRcontroller模块中即可得到倒立摆在平衡位置的控制器：u=k1x+k2+k3θ+k4,其中平[k，θ，]为状态变量，分别为小车的位移，小车的速度，摆杆的角度，摆杆的角速度。3）起摆控制器设计能量反馈控制器其内部结构如图5.2所示。图4.2控制器的能量控制器模块的simulink图然后对该框图进行封装，并设置k的值为2（多次试验获得）。直线一级倒立摆能量反馈起摆控制仿真曲线如图5.3所示。mNNRad/sradm/smNNRad/sradm/s图4.3能量起摆的仿真曲线图4.4.2直线一级倒立摆时间最优策略仿真的Simulink实现如图所示为直线一级倒立摆的时间最优控制起摆的simulink模块图。下面将描述倒立摆起摆是如何实现的，主要介绍时间最优控制起摆的控制器的设计，最优控制器的设计同能量反馈起摆控制器。图4.4直线一级倒立摆的时间最优控制起摆的simulink模块图3）起摆控制器设计时间最优控制器为图4.5中的bang-bang控制器，其内部结构如图4.5所示。图4.5控制器的Bang_Bang模块的框图然后对该框图进行封装。并设置kk的值为2.5（多次试验获得）。直线一级倒立摆时间最优起摆控制仿真曲线如图所示。NRad/sradm/smNRad/sradm/sm图4.6直线一级倒立摆时间最优控制起摆控制仿真曲线为了便于形象的演示倒立摆的控制过程，同时方便操作仿真系统的启动、暂停与终止，利用MATLAB的GUI建立了人机交互界面，实时采集小车的位置、角度、控制量等数据，并以动画的形式演示出来。从上面的这些图中我们可以看到能量控制能起到对摆杆的起摆但是必须配合相应的稳摆控制才能达到整个系统的平衡状态。得到的，虚线是将能量反馈起摆应用于直线一级倒立摆得到的。从仿真结果看，这两种方法均可以实现直线一级倒立摆的起摆控制，时间最优控制可以在较短的时间内实现起摆，但是小车的位移和速度的变化幅度较大。4.5本章小结本章主要研究了倒立摆系统的起摆控制问题，首先分析了倒立摆系统的起摆过程，接下来又介绍了时间最优控制策略和能量反馈控制策略。能量反馈控制策略是基于李雅普诺夫函数提出的，其实就是控制摆杆的能量而不是控制摆杆的角度或者速度;时间最优控制策略是基于汉密尔顿函数提出的，实质为Bang-Bang控制，即控制过程中的控制力u，要么取最大正值，要么取最小负值，该方法在状态变量较少时可以实现最优控制率的计算。5倒立摆部分硬件的选型及设计5.1倒立摆系统部分硬件选型5.1.1电机的选型由于前面我们已经选取伺服交流电机所以对电机的选择满足一下要求:(1)能满足控制精度的要求(2)能满足负载转矩的要求(3)满足惯量的匹配原则(4)应考虑到这些中间因素应该使得所选电机的额定输出功率=估算值的2~3倍。预选电机为倒立摆系统采用日本Panasonic公司生产的MINASA系列的MSMA022A1G型交流伺服电动机。交流伺服电动机具有结构简单、运行可靠的优点，在工业自动化中，越来越多的作为机械装置精密控制的驱动执行部件，它的控制单元较为复杂。系统采用的MSMA022A1G型交流伺服电动机是一款小惯量、额定输出200W、驱动电压200V、带有增量式旋转编码器、有键槽、无制动器、有油封的交流伺服电动机。倒立摆系统使用与电机配套的MSDA023A1G型交流伺服电机驱动器。驱动器控制方式为IGBTPWM正弦波控制。脉宽调制型驱动器通过控制输出电压的占空比来达到输出电压平均值与控制信号成正比，具有很高的效率，但是电磁干扰比较大，一般应用于几百瓦到几十千瓦的控制系统中。驱动器可通过参数选择利用位置控制、模拟量速度控制、转矩控制、位置—速度控制、位置—转矩控制、速度-转矩控制等6种控制方式进行控制。此驱动器的特点有：1)速度频率响应达到500Hz；定位超调整定时间缩短。2)具有共振抑制和控制功能：可涵概机械的刚性不足，从而实现高速定位。3)电机防护等级达IP65，环境适应性强。其参数如下：驱动电压：U=0~100V额定功率：Pn=200W额定转速：n=3000r/min转动惯量：J=3×10-6kg·m²额定转矩：Tn=0.64N·m最大转矩：Tm=1.91N电磁时间常数：T=0.001s电机时间常数：Tm=0.003选择主轴电机进行校核估算1）电机负载分析与计算[29]从电动机角度考虑，电动机受到的主要负载为摩擦负载和惯性负载，摩擦负载主要来源于作直线运动的倒立摆小车被控对象与运行轨道的摩擦力、传动装置同步带和齿轮之间的摩擦力，惯性负载除了电动机转子的惯性力外，还有摆和小车以及齿轮的惯性力，忽略齿轮的惯性力，现分别计算其它负载力(全部折算到电机轴上)。1.电机启动加速力矩Ma=（Jm+Jt)×n/T×1.02×10（6.1）式中Ma电机启动加速力矩（N·m)Jm、Jt电机自身惯量与负载惯量(Kg·m·s²)n电机所需达到的转速（r/min）T电机升速时间（s）Ma=(3×10+1.17×10)×3000/0.02×1.02×10=22.49N·m2.摩擦负载力矩Mf导轨摩擦折算至电机的转矩（N·m)u摩擦系数η传递效率r—与同步带相啮合的齿轮半径.Mf=m(M+m)g·r/(i·η)（6.1）Mf=0.1×(1.09+0.0737)×9.8×0.02/0.8=0.02N·m3.切削力矩MtMt=0估算电机输出的总力矩M=Ma+Mf+0（6.2）所以M=0.0763+0.03=0.1063N·m.P=p×M×n/30=3.14×0.022249×3000/30=6.986w（6.3）显然,选择的电机完全满足设计需要.5.1.2位置传感器选型光电编码器可输出天然的数字量，可以非常容易的和数字电路相适配，既可以作到很高的分辨率，还可作到大量程的工作范围，具有较高的精度。光电编码器非常方便的适应多种接口，如：光电耦合器、TTL门、三态门、各种电压比较器等放大整形电路，信号处理电路简便容易，具有较强的抗干扰能力。但是对环境敏感，价格较高。光电编码器可分为增量式和绝对式两种。由于增量式编码器结构更简单，价格也较便宜，一般都是使用增量式编码器，输出串行信号。而输出并行信号的绝对式编码器，位数很难达到很高，制约了测位精度，而且信号读取电路复杂，速度难以提高。因而在同样分辨率条件下，增量式编码器比绝对式编码器更具有优越性,由于倒立摆控制器对反馈信号有较高的要求，所以本设计中选用欧姆龙E6A2-CW3E500P/R0.5M型光电编码器来获取摆杆的角度,精度达到0.71。/p，考虑到系统对输入量的要求交高，不然会增加系统响应误差，所以选用分辨率高的编码器。5.1.3同步带和带轮的计算与选型[26]同步带是利用齿工作面与带齿槽啮合进行传动，因此带与带轮之间在传动过程中没有滑差，而呈现同步传动具有以下特点：（1）传动比准确，不打滑（2）带体轻而薄，强度好，传动效率高（3）传动功率范围大，速比大（4）传动过程中冲击小，平稳，不需润滑，噪音低。（5）结构紧凑所以选用同步带轮传动，符合倒立摆的实际工作要求。1.设计步骤和方法（1）确定计算功率Nj计算功率是根据传动功率N，并考虑载荷性质及每天运行时间确定的，即Nj=Kg·N（kW）(6.5)式中Nj传递的额定功率，单位kW；Kg工作情况系数Nj=Kg·N=1.4×0.006986kW=0.00977kW（2）确定模数m根据带轮转速n，由查表[28]选取模数mm=1.5（3）确定带轮齿数Z和带轮直径D。Z=22D=m·Z=1.5×22=33mm（6.6）（4）验算带的速度VV=Dn/(60×1000)=3.14×33×3000/60000=5.181m/s<Vmax查表模数m=1.5~3，允许带速Vmax=40~50m/s（5）确定中心距a，带长Lp根据设计要求a=919mmLp=2·a+D=919×2+3.14×33=1941.62（6.7）因同步带是固定在小车上，带长需留有余量适当放宽带长至2000mm（6）验算带轮与齿形带的齿合齿数Zn如果齿合齿数太少，每个啮合齿承受的载荷过大，会引起齿根的剪切破坏，或齿面过快磨损增加。所以要求Zn≥4当m≤2时根据求小带轮包角的原理，可得Zn的计算公式为Zn=Z/2=11(7)确定齿形带的宽度b根据强度准则计算齿形带宽度的公式为：b=1000Nj/[([P]-Pc’)v]（mm）(6.8)式中[P]齿形带单位宽度上的许用拉力，单位N/mm；Pc齿形带单位宽度上的离心拉力，单位N/mm，Pc为：Pc=qv²/g(6.8)式中q’单位宽度、单位长度的带重，单位N/mm；v带速，单位m/s；g重力加速度。式中有关数据查[29]阅[P]=3.9N/mmq(×10N/mm·m)=18Pc=qv²/g=18×5.181×5.181/9.8=49.303×10N/mmb=1000Nj/[([P]-Pc)v]=1000×0.04676/[5.181×(3.9-49.303×10)]=2.375mm这里确定的是最窄带宽通过查表选取选带型为XXL，带宽为9mm。5.1.4轴承的选型校核[26]由于在这里对于传动精度的要求不是很高，传动过程中不受轴向力的作用，径向力也不是很大，所以在此根据配合尺寸选择6201型号的深沟球轴承如图3.1示：根据受力分析，可以得到:轴承只收到径向力的作用Fr，轴向力Ft=0Fr=115.758NFt/C0=0查《机械设计手册》[26]得Ft/C0=0<e查《机械设计手册》[26]得x=1y=0将已知参数代入公式:p=fp(xFr+yFa)(6.9)所以p=1.2×(1×115.758+0)=138.91N将已知参数带入式Lh=106·Cε/(60n·P)（6.10）Lh为额定寿命再有倒立摆工作时，轴承转速较低，满足轴承正常工作要求，所以所选轴承符合要求。5.2本章小结本章主要介绍了倒立摆硬件系统的一些选型和计算，让我对倒立摆整个的系统有了更深入的了解，并且也充分证明了，我还有许多要选的要了解的，如电路部分的设计、计算等。6总结与展望在此次设计过程中首先介绍了现代倒立摆的发展过程，并做了单级直线倒立摆机械本体部分的设计，通过计算合理选择了动力元件，驱动元件，并对传动部分和执行部分做了设计；针对倒立摆这种典型的非线性，多变量，强耦合和高阶次的不稳定系统，对其稳定控制需要很高的控制精度和实时性，因此，倒立摆出现以来一直是研究控制理论和控制工程的理想实验平台。本文分别进行了单级倒立摆的三种稳摆控制算法和两种起摆控制算法的仿真实现，在仿真的过程中对影响响应曲线特性的各个参数做了不同程度的变动，并作出了曲线的仿真图形，每次针对参数单变量数据进行分析和实验，得出了这些参数在仿真过程中对曲线动态特性的性能指标，并且在调试过程中不断完善，找到一组或者几组对应算法的控制参数，将其应用在对应的控制器中，并利用MATLAB对上述方法进行仿真，得到了较为理想的仿真效果。（1）本文通过MATLAB/Sumlink软件验证了PID控制算法，极点配置算法和LQR控制算法在直线一级倒立摆的仿真过程，还针对了稳摆的控制进行了设计仿真实验，同时还应用两种起摆策略对整个摆形成了自起摆与稳摆控制。（2）本文所提到的三种稳摆控制器由于在系统建模是在平衡位置进行了线性化处理，所以都只在平衡点附近才能稳定控制倒立摆系统，超出一定的范围，所得方程与实际系统差别就会增大，从而使系统不稳定。同时本文所给出的三种控制算法均是建立在倒立摆系统的精确数学模型之上的，然而对于直线多极倒立摆、平面倒立摆和环形倒立摆这样复杂的系统是很难建立精确的数学模型的，所以以后要利用更优化的控制算法来摆脱对系统精确数学模型的依赖，这样才能将研究的范围扩大化。（3）本文所有的仿真均是建立在MATLAB/Simulink软件下的，虽然几种控制算法均取得了一定控制效果，但是由于条件的限制和时间的紧张，没有进行倒立摆实物实验，因此所得出的结论还是显得不是很有说服力，所以今后要在有条件的时候进行实物实验，这样才能真正将理论和实践结合起来。参考文献[[1]粟梅,贺伟平,伍侠云,唐文英.倒立摆的简易现代控制[J].控制工程.2004,11(2):180-183.[2]杨亚炜,张明廉.倒立摆系统的运动模态分析[J].北京航空航天大学学报.2002,28(2):165-168[3]王孝莉.倒立摆智能控制系统的研究[D].济南：山东大学.2007[4]张水立,程会锋,李洪兴.三级倒立摆的自动摆起与稳定控制[J].控制理论与应用.2011,28(1):37-45.[5]任祖华.倒立摆系统的智能控制研究[D].武汉:华中科技大学.2006[6]丛爽,张冬军,魏衡华.单级倒立摆三种控制方法的对比研究[J].系统工程与电子技术.2001,23(11):47-50.[7]王俊.基于倒立摆的三种控制策略的研究[D].武汉:湖北工业大学.2008.[8]杨世勇,刘殿通,谭翚.倒立摆与控制理论研究[J].控制理论与应用.2011,30(5):164-167.[9]冯冰.二级倒立摆的模糊控制[D].上海:上海交通大学.2006.[10]蒋国飞，吴沧浦.基于Q学习算法和BP神经网络的倒立摆控制[J].自动化学报.1998,24(5):662-666.[11]杨振强，朴营国，程树康.二级倒立摆的状态变量合成模糊神经网络控制[J].控制与决策.2002,17(1):123-126.[12]汪雪琴，朱群雄.基于改进的表格查询法的二级倒立摆模糊控制[J].北京化工大学学报.2006,33(1):102-104.[13]刘金琨.先进PID控制及其MATLAB仿真[M].北京:电子工业出版社,2003.[14]周瑞.倒立摆系统控制方法研究[D].华中科技大学.2007.[15]付莹.基于教学机器人的倒立摆的控制系统的研究[D].上海:上海交通大学.2003.[16][17][18][19]刘豹，唐万生主编.现代控制理论.第三版[M].北京：机械工业出社,2011.[20]濮良贵，纪名刚.机械设计.第八版[M].北京：高等教育出版社，2006.[21]孙桓，陈作模.机械原理.第七版[M].北京：高等教育出版社，2006.[22]钱云峰，殷锐主编.互换性与技术测量[M].北京：电子工业出版社，2011.致谢在本次论文设计直至完成的整个过程中，首先要感谢的就是我的导师张国锋。张老师不遗余力地给予了系统、有效的理论指导，促进了同学们在学习和工作中的分析及解决问题能力的进一步提高，在论文的各个环节中提出了许多宝贵的修改意见，使我的论文得以顺利完成。值得一提的是，张老师渊博的学识，对学生负责，严谨求实和精益求精的治学态度，平易近人的处世原则，博大的胸襟，以及在科研上不断努力的精神使我终生受益。借此论文完成之际，衷心感谢张老师在这大四的第二学期以来对我的毕业论文的指导和在学习生活的关怀，在此，谨对导师半年以来对我毕业设计论文的指导和平时生活中的关心致以最为衷心的感谢!同时，我要感谢同学和其他老师对我提出意见和建议，以及在论文中疑难问题的指导，还有同学们在此过程中对于相关部分给予的帮助和支持，在此向他们表示由衷的感谢。感谢大家的支持，给了我极大的鼓励。再次向帮助过我的所有老师、同学和朋友表示感谢。最后，谨向审阅本文的各位专家、教授的辛勤工作致以衷心感谢!附录1.直线倒立摆装配图2.控制算法源程序代码3.相关外文文献及翻译%LQR控制clear;A=[0100;%状态空间矩阵0-0.08831670.6293170;0001;00.23565527.82850];B=[0;0.883617;0;2.35655];%输入矩阵C=[1000;%输出矩阵0010];D=[0;0];%输出矩阵sys=ss(A,B,C,D);%系统1x=1;y=1;Q=[x000;0000;00y0;0000];R=1;[K]=lqr(sys,Q,R)Ac=[(A-B*K)];Bc=[B];Cc=[C];Dc=[D];T=0:0.005:5;%时间细分U=0.2*ones(size(T));%输入Cn=[1000];附录%计算输出匹配系数s=size(A,1);Z=[zeros([1,s])1];N=inv([A,B;Cn,0])*Z';Nx=N(1:s);Nu=N(1+s);Nbar=Nu+K*Nx;Bcn=[Nbar*B];sys_1=ss(Ac,Bcn,Cc,Dc)[Y,X]=lsim(sys_1,U,T);%求系统阶跃输入相应plot(T,Y(:,1),'b');holdon;plot(T,Y(:,2),'r');holdon;legend('小车位移','摆杆角度')Pid控制clear;symsst%符号变量a=0.02725;b=0.0102125;c=-0.26705;G_1=a/(b*s^2+c);%模型传递函数KD=15;%微分环节KP=40;%比例环节KI=1;%积分环节G_2=KD*s+KP+KI/s;%PIDG=G_1*G_2/(1+G_1*G_2);%PID控制系统的传递函数r=0*t+1;%阶跃输入r_s=laplace(r);%输入的拉式变换c_s=r_s*G;%输出的拉式变换c_r=ilaplace(c_s);%输出的时间信号n=0:0.02:4;c_n=subs(c_r,n);%输出plot(n,c_n)%输出显示title('倒摆PID控制的阶跃响应')附录xlabel('时间(s)')ylabel('幅值')%直线一级倒立摆状态极点配置程序clearall;formatlong;A=[0100;0-0.08831670.6293170;0001;00.23565527.82850];B=[0;0.883167;0;2.35655];C=[1000;0010];D=[0;0];P=[-10-0.0001*j,-10+0.0001*j,-2-2*sqrt(3)*j,-2+2*sqrt(3)*j];%极点配置K=place(A,B,P);%反馈增益矩阵Ac=A-B*K;[X_1,X_2]=eig(Ac);sys=ss(Ac,B,C,D);x0=[-0.1-0.2-0.10];t=0:0.01:5;u=t*0;[Y,X]=lsim(sys,u,t,x0);plot(t,Y(:,1),'b');holdon;plot(t,Y(:,2),'r');holdon;xlabel('时间t')legend('小车位置','摆角')function[sys,x0]