变化率问题导数的概念新教材

第五章§51变化率与导数

511变化率问题512导数的概念学习目标1了解导数概念的实际背景2会求函数在某一点附近的平均变化率3会利用导数的定义求函数在某点处的导数问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数y＝f表示自变量表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f的坐标为1，y1，点B的坐标为2，y2思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量和函数值y的改变量分别是多少？答案自变量的改变量为2－1，记作Δ，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？梳理函数y＝f从1到2的平均变化率2实质：的增量与的增量之比3作用：刻画函数值在区间上变化的快慢4几何意义：已知P11，f1，P22，f2是函数y＝f的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的函数值自变量斜率思考2当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？知识点二瞬时速度思考1物体的路程s与时间t的关系是st＝1,1＋Δt]这段时间内的平均速度梳理瞬时速度1物体在的速度称为瞬时速度2一般地，设物体的运动规律是s＝st，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内某一时刻极限知识点三函数在某点处的导数f′(x0)或1在平均变化率中，函数值的增量为正值1，2]上变化快慢的物理量＝f在＝0处的导数值与Δ的正、负无关×√×题型探究类型一函数的平均变化率解答解在＝1附近的平均变化率为在＝2附近的平均变化率为在＝3附近的平均变化率为由于1<2<3，所以在＝3附近的平均变化率最大反思与感悟求平均变化率的主要步骤1先计算函数值的改变量Δy＝f2－f12再计算自变量的改变量Δ＝2－1跟踪训练11已知函数y＝f＝2＋2－5的图象上的一点A－1，－6及邻近一点B－1＋Δ，－6＋Δy，则＝____Δ答案解析2如图所示是函数y＝f的图象，则函数f在区间上的平均变化率为___答案解析∵Δy＝f1＋Δ－f1＝1＋Δ2－1＋Δ－12－1＝Δ＋Δ2，解答命题角度2平均变化率的几何意义例2过曲线y＝f＝2－上的两点P1,0和Q1＋Δ，Δy作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δ的值又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δ＝2，∴Δ＝1跟踪训练2甲、乙两人走过的路程s1t，s2t与时间t的关系如图所示，则在这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是Av甲>v乙 Bv甲<v乙Cv甲＝v乙 D大小关系不确定解析设直线AC，BC的斜率分别为AC，BC，由平均变化率的几何意义知，s1t在上的平均变化率v乙＝<BC，所以v甲<v乙解析答案√类型二求瞬时速度∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s解答例3某物体的运动路程s单位：m与时间t单位：s的关系可用函数st＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度引申探究1若例3中的条件不变，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度解答∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s2若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s解设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s解答则2t0＋1＝9，∴t0＝4则物体在4s时的瞬时速度为9m/s反思与感悟1不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误2求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝st0＋Δt－st0；跟踪训练3一质点M按运动方程st＝at2＋1做直线运动位移单位：m，时间单位：s，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值解质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率∵质点M在t＝2附近的平均变化率为解答类型三导数定义的应用解析答案√解答反思与感悟1用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤①求函数的增量Δy＝f0＋Δ－f0；2瞬时变化率的变形形式跟踪训练4已知f＝32，f′0＝6，求0解答又f′0＝6，∴60＝6，即0＝1达标检测＝f＝2－1，当自变量由1变为11时，函数的平均变化率为A21 B11C2 D0解析12345答案√A18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B18m/s是物体从3s到3＋Δts这段时间内的速度C18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D18m/s是物体从3s到3＋Δts这段时间内的平均速度12345答案√＝a＋3，若f′1＝3，则a等于A2 B－2C－3 D312345解析答案√因为f′1＝3，所以a＝3答案解析4如图，函数y＝f在这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________解析由平均变化率的定义可知，函数y＝f在区间上平均变化率分别为结合图象可以发现函数y＝f的平均变化率最大的一个区间是1234512345t＝7t2－13t＋8，则t0＝__时该物体的瞬时速度为1答案解