圆锥曲线的过定点问题

圆锥曲线中的定点问题1求下列直线所经过的定点：（1）m＋3y－2＝0； （2）2＋my＋y＋4＝02.求证：点C(4,-3)在以为直径的圆上。C(4,-3)oyxC(4,-3)oyxC(4,-3)oyx:，过点作曲线C的切线，求切线的方程。xyoAB解法一：易知切线的斜率存在，则切线的方程可设为.与曲线方程联立，整理得因为直线与曲线相切，所以:，过点作曲线C的切线，求切线的方程。xyoAB则切线AB的方程可设为.把点D的坐标代入上式，整理得解法二：因为同理可得，4.已知曲线C:，过点作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程。xyoAB例11证明：直线AB过定点；yoDAB整理得2t1－2y1＋1＝0设B2，y2，同理可得2t2－2y2＋1＝0所以直线AB的方程为2t－2y＋1＝0xyoDAB点评：圆锥曲线中的定点问题解决圆锥曲线中的定点问题应注意1分清问题中哪些是定的，哪些是变动的；2注意“设而不求”思想的应用，引入参变量，最后看能否把变量消去；3“先猜后证”，也就是先利用特殊情况确定定点，然后验证，这样在整理式子时就有了明确的方向：y2＝2pp>0上一点P4，tt>0到焦点F的距离等于51求抛物线C的方程和实数t的值；解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4，将P4，tt>0代入抛物线方程解得t＝42若过F的直线交抛物线C于不同的两点A，B均与，，并说明理由AByxoPMNF2若过F的直线交抛物线C于不同的两点A，B均与，，并说明理由解:以MN为直径的圆一定过点F，理由如下：设A1，y1，B2，y2，设直线AB的方程为＝my＋1m∈R，代入抛物线C：y2＝4，化简整理得y2－4my－4＝0，由1知P4,4，AByxoPMNFAByxoPMNF圆锥曲线中定点问题的两种解法1引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．2特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．思维升华焦点，过点A2,0且与轴不垂直的直线l与抛物线C1交于1求抛物线C1的方程；解由题意可知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，坐标为1,0，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝42试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由例3PQyxoMA解法一因为点关于轴对称，所以设1，－y1，设直线Q的方程为y＝m＋n，代入y2＝4，得m22＋2mn－4＋n2＝0，所以直线MQ的方程为y＝m＋2，必过定点－2,02试问直线MQ是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由PQyxoMA方法二设3，y3，因为点关于轴对称，所以y3＝－y1，设直线Q的方程为＝my＋n，代入y2＝4得y2－4my－4n＝0，所以y2y3＝－4n，因为y3＝－y1，所以y2y3＝－y1y2＝－4n＝8，即n＝－2，所以直线MQ的方程为＝my－2，必过定点－2,0PQyxoMA师生共研1求C的方程；2设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．例4解:1由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．所以点P2在椭圆C上．2设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．得42＋12＋8m＋4m2－4＝0由题设可知Δ＝1642－m2＋1>0证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为1，2如果l与轴垂直，设l：＝t，由题设知t≠0，且|t|<2，从而可设l：y＝＋mm≠1．由题设知1＋2＝－1，故2＋112＋m－11＋2＝0设A1，y1，B2，y2，当且仅当m>－1时，Δ>0，所以l过定点2，－1．1求椭圆的标准方程；1解设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且2a2＋2b2＝22c2，又a2＝b2＋c2，∴a2＝32若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点．证明由题意设，Q0,0，M1，y1，N2，y2，设l方程为＝ty－m，∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋my1＋y2＝0， ①∴由题意知Δ＝4m2t4－4t2＋3t2m2－3>0， ②③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴mt2＝1，由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，得直线l方程为＝ty＋1，过定点1,0，即Q为定点．的顶点在原点，焦点在轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为51求该抛物线C的方程；解由题意设抛物线方程为y2＝2pp>0，∵到焦点的距离等于P到其准线的距离，∴抛物线C的方程为y2＝42已知抛物线上一点Mt,4，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．＝12－41＋2＋16＋y1y2－4y1＋y2＋16解由1可得点M4,4，可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为＝my＋t，则Δ＝16m2＋16t>0 *设D1，y1，E2，y2，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t＝t2－16m2－12t＋32－