函数及其表示

文数课标版第一节函数及其表示1函数与映射的概念教材研读

函数映射两集合A、B设A、B是两个①非空数集

设A、B是两个②非空集合

对应关系f:A→B按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的③任意

一个数x,在集合B中都有④唯一确定

的数f(x)与之对应按某种确定的对应关系f,使对于集合A中的⑤任意

一个元素x,在集合B中都有⑥唯一确定

的元素y与之对应名称称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x),x∈A对应f:A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的⑦定义域

;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的⑧值域

.(2)函数的三要素:⑨定义域

、⑩值域

和

对应关系

.(3)相等函数:如果两个函数的

定义域

相同,且

对应关系

完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.(4)函数的表示法表示函数的常用方法:

解析法

、

图象法

、

列表法

.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的

对应关系

,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.

判断下列结论的正误正确的打“√”,错误的打“×”1函数y=f的图象与直线=a最多有2个交点 ×2函数f=2-2与gt=t2-2t是同一函数 √3若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数 ×4若A=R,B={|>0},f:→y=||,则对应f是从A到B的映射 ×5分段函数是由两个或几个函数组成的 ×6分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并

集 √

1下列是函数图象的有 

A1个

B2个

C3个

D4个答案

B①中,当>0时,每一个的值对应两个不同的y值,因此①不是

函数图象;②中,当=0时,y的值有两个,因此②不是函数图象;③④中,每

一个的值对应唯一的y值,因此③④是函数图象,故选B2.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列不能表示从P到Q的映射

的是

()A.f:x→y=

x

B.f:x→y=

xC.f:x→y=

x

D.f:x→y=

答案

C如果从P到Q能表示一个映射,根据映射的定义,对P中的任一

元素,按照对应关系f,在Q中有唯一元素和它对应,选项C中,当x=4时,y=

×4=

∉Q,故选C.3下列各组函数中,表示同一个函数的是 Ay=-1和y= 

By=0和y=1Cf=2和g=12

Df= 和g= 答案

D

A中两个函数的定义域不同;B中y=0的不能取0;C中两函数

= 的定义域为

答案[4,5∪5,∞解析要使函数f= 有意义,则 解之得≥4且≠5即函数的定义域为[4,5∪5,∞=f满足f1=2,且f1=3f,则f4=

答案54解析∵f1=2,f1=3f,∴f4=3f3=9f2=27f1=27×2=54= 则ff-4=

答案4解析

f-4= =16,又f16= =4,∴ff-4=4考点一求函数的定义域命题角度一求给定解析式的函数的定义域典例1

y= -log24-2的定义域是 A-2,0∪1,2

B-2,0]∪1,2C-2,0∪答案

C解析要使函数有意义,必须有 ∴∈-2,0∪[1,2考点突破1-1函数f=  的定义域为 A{|<1}

B{|0<<1}C{|0<≤1}

D{|>1}答案

B要使函数有意义,则必须满足 ∴0<<1,选B命题角度二求抽象函数的定义域典例2(1)若f(x)的定义域为[0,3],求函数f(x2-1)的定义域;(2)已知函数f(x2-1)的定义域为[0,3],求函数y=f(x)的定义域;(3)若f(x)的定义域为[0,3],求函数y=f(x2-1)+f(2x+1)的定义域.解析(1)因为f(x)的定义域为[0,3],所以0≤x2-1≤3,即1≤x2≤4,解得1≤

x≤2或-2≤x≤-1,故函数y=f(x2-1)的定义域为[-2,-1]∪[1,2].(2)因为函数f(x2-1)的定义域为[0,3],所以-1≤x2-1≤8,故函数y=f(x)的定

义域为[-1,8].(3)∵f(x)的定义域为[0,3],∴要使函数y=f(x2-1)+f(2x+1)有意义,则

即

得x=1.∴函数y=f(x2-1)+f(2x+1)的定义域为{1}.方法技巧1.简单函数定义域的求法求函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为

准则,列出不等式或不等式组,然后求其解集即可.2.抽象函数定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域可由不

等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上

的值域.1-2

2016黑龙江哈师大附中模拟已知函数f的定义域是,则y=ff-的定义域是 A

D答案

A∵函数f的定义域是,∴对于函数y=ff-有-1≤≤2,-1≤-≤2,∴-1≤≤1∴y=ff-的定义域是考点二求函数的解析式典例31已知f是一次函数,且满足3f1-2f-1=217,则f的解

析式为

2若函数f满足f 1=2 ,则函数f的解析式为

3若函数f满足2ff =3,则函数f的解析式为

答案1f=272f=2-1≥13f=2- ≠0解析1设f=aba≠0,则3f1-2f-1=3a3a3b-2a2a-2b=a5ab,则a5ab=217无论为何值都成立,∴ 解得 ∴f=27(2)解法一(配凑法):∵f(

+1)=x+2

=(

+1)2-1,

+1≥1,∴f(x)=x2-1(x≥1).解法二(换元法):令

+1=t,则t≥1,且x=(t-1)2,代入已知等式可得f(t)=t2-1(t≥1),∴f(x)=x2-1(x≥1).(3)∵2f(x)+f

=3x,

①把①中的x换成

,得2f

+f(x)=

,

②①×2-②,得3f(x)=6x-

,∴f(x)=2x-

(x≠0).方法技巧求函数解析式的常见方法1待定系数法:若已知函数的类型如一次函数、二次函数,则可用待

定系数法2配凑法:由已知条件fg=F,可将F改写成关于g的表达式,然后以替代g,便得f的解析式3换元法:已知复合函数fg的解析式,可用换元法,此时要注意新元

的取值范围4解方程组法:已知关于f与f 或f-的表达式,可根据已知条件再构造出一个等式组成方程组,通过解方程组求出f2-1定义在-1,1内的函数f满足2f-f-=lg1,求函数f的表达

式解析已知当∈-1,1时,有2f-f-=lg1, ①以-代换①中的得2f--f=lg-1, ②由①②消去f-得f= lg1 lg1-,∈-1,1考点三分段函数命题角度一求函数值典例41设函数f= 则f-2flog212= A3

B6

C9

D1222017天津六校联考已知函数f= 则f0flog232=

A19

B17

C15

D133已知f= 则f7=

答案(1)C(2)A(3)6解析(1)∵-2<1,∴f(-2)=1+log2[2-(-2)]=3;∵log212>1,∴f(log212)=

=

=6.∴f(-2)+f(log212)=9.(2)f(0)+f(log232)=log24+1+25-1=2+1+16=19.故选A.(3)∵7<9,∴f(7)=f[f(7+4)]=f[f(11)]=f(11-3)=f(8).又∵8<9,∴f(8)=f[f(12)]=f(9)=9-3=6.即f(7)=6.典例5(1)(2015课标全国Ⅰ,10,5分)已知函数f(x)=

且f(a)=-3,则f(6-a)=

()A.-

B.-

C.-

D.-

(2)已知f(x)=

则使f(x)≥-1成立的x的取值范围是

.命题角度二求参数或自变量的取值范围答案1A2解析1当a≤1时,fa=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,不成立,舍去;当a>1时,fa=-log2a1=-3,即log2a1=3,得a1=23=8,∴a=7,此时f